Tổng hợp câu hay và khó chương 4 phần 4

Lời giải chi tiết.Giả sử số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán có dạng $z = a + bi,\,\left( {a,b \in } \right).$  Khi đó ta có

$\left\{ \begin{array}{l}\left| {z - 2i} \right| = \left| {\left( {a + bi} \right) - 2i} \right| = \sqrt {{a^2} + {{\left( {b - 2} \right)}^2}} \\\left| {z - 4i} \right| = \left| {\left( {a + bi} \right) - 4i} \right| = \sqrt {{a^2} + {{\left( {b - 4} \right)}^2}} \\\left| {z - 3 - 3i} \right| = \left| {\left( {a + bi} \right) - 3 - 3i} \right| = \sqrt {{{\left( {a - 3} \right)}^2} + {{\left( {b - 3} \right)}^2}} \\\left| {z - 2} \right| = \left| {\left( {a + bi} \right) - 2} \right| = \sqrt {{{\left( {a - 2} \right)}^2} + {b^2}} \end{array} \right.$

Từ giả thiết ta suy ra

$\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{a^2} + {{\left( {b - 2} \right)}^2}} \le \sqrt {{a^2} + {{\left( {b - 4} \right)}^2}} \\{\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {b - 2} \right)^2} \le {\left( {b - 4} \right)^2}\\{\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}b - 2 \le b - 4\,\,\left( {VN} \right)\\b - 2 \le - b + 4\end{array} \right.\\{\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b \le 3\\{\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} = 1\end{array} \right..$

Từ${\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} = 1 \Rightarrow {\left( {a - 3} \right)^2} \le 1 \Rightarrow 2 \le a \le 4 \Rightarrow 0 \le a - 2 \le 2.$

Do đó $P = \left| {z - 2} \right| = \sqrt {{{\left( {a - 2} \right)}^2} + {b^2}}  \le \sqrt {{2^2} + {3^2}}  = \sqrt {13} .$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

$\left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 2} \right)^2} = {2^2}\\b = 3\\{\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 3\end{array} \right..$

Ta có ${{z}^{2}}-2z+5={{\left( z-1 \right)}^{2}}+4={{\left( z-1 \right)}^{2}}-{{\left( 2i \right)}^{2}}=\left( z-1+2i \right)\left( z-1-2i \right)$

Do đó $\left| {{z}^{2}}-2z+5 \right|=\left| \left( z-1+2i \right)\left( z+3i-1 \right) \right|$

$\Leftrightarrow \left| \left( z-1+2i \right)\left( z-1-2i \right) \right|=\left| \left( z-1+2i \right)\left( z+3i-1 \right) \right|$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {z - 1 + 2i} \right|\left| {z - 1 - 2i} \right| = \left| {z - 1 + 2i} \right|\left| {z + 3i - 1} \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left| {z - 1 + 2i} \right| = 0\\ \left| {z - 1 - 2i} \right| = \left| {z + 3i - 1} \right| \end{array} \right. \end{array}$

TH1:

$\begin{array}{l} \left| {z - 1 + 2i} \right| = 0 \Leftrightarrow z = 1 - 2i\\ \Rightarrow w = 1 - 2i - 2 + 2i = - 1\\ \Rightarrow \left| w \right| = 1 \end{array}$

TH2: 

$\left| z-1-2i \right|=\left| z+3i-1 \right|$

$\Leftrightarrow \left| x-1+\left( y-2 \right)i \right|=\left| x-1+\left( y+3 \right)i \right|$

với $z=x+yi\,\,\,\,\left( x,y\in \mathbb{R} \right).$

$\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}={{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}$

$\Leftrightarrow y=-\dfrac{1}{2}$ $\Rightarrow z=x-\dfrac{1}{2}i.$

Khi đó $\left| w \right|=\left| z-2+2i \right|=\left| x-2+\dfrac{3}{2}i \right|=\sqrt{{{\left( x-2 \right)}^{2}}+\dfrac{9}{4}}\ge \dfrac{3}{2}.$

Vậy $\min \left| w \right|=1$.

Tập hợp các điểm z thỏa mãn điều kiện $\left| z-1 \right|=\sqrt{2}$ là đường tròn $\left( C \right)$ tâm $I\left( 1;0 \right)$ bán kính $R=\sqrt{2}$.

$T=\left| z+i \right|+\left| z-2-i \right|=\left| z-\left( -1 \right) \right|+\left| z-\left( 2+i \right) \right|$

Gọi M là điểm biểu diễn cho số phức z, $A\left( 0;-1 \right)$ là điểm biểu diễn cho số phức $-i$, $B\left( 2;1 \right)$ là điểm biểu diễn cho số phức $2+i$. Dễ thấy $A,B\in \left( C \right)$ và $AB=\sqrt{{{2}^{2}}+{{2}^{2}}}=2\sqrt{2}=2R\Rightarrow AB$ là đường kính của đường tròn $\left( C \right)\Rightarrow \Delta MAB$ vuông tại M $\Rightarrow M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}=A{{B}^{2}}=8\Rightarrow MB=\sqrt{8-M{{A}^{2}}}$

Ta có: $T=\left| \overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA} \right|+\left| \overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OB} \right|=MA+MB=MA+\sqrt{8-M{{A}^{2}}}$

Đặt $MA=x\,\,\left( 0\le x\le 2\sqrt{2} \right)$, xét hàm số $f\left( x \right)=x+\sqrt{8-{{x}^{2}}}$ trên $\left[ 0;2\sqrt{2} \right]$ ta có:

$f'\left( x \right)=1-\frac{x}{\sqrt{8-{{x}^{2}}}}=\frac{\sqrt{8-{{x}^{2}}}-x}{\sqrt{8-{{x}^{2}}}}=0\Leftrightarrow \sqrt{8-{{x}^{2}}}=x\Leftrightarrow 8-{{x}^{2}}={{x}^{2}}\Leftrightarrow x=2$

$\begin{align}  & f\left( 0 \right)=\sqrt{2},\,\,f\left( 2\sqrt{2} \right)=2\sqrt{2};\,\,f\left( 2 \right)=4 \\  & \Rightarrow \underset{\left[ 0;2\sqrt{2} \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=f\left( 2 \right)=4 \\ \end{align}$

Vậy $\max T=4$.

$\begin{align} & \,\,\,\,\,\left( 1+2i \right)\left| z \right|=\dfrac{\sqrt{10}}{z}-2+i \\  & \Leftrightarrow \left( 1+2i \right)\left| z \right|+2-i=\dfrac{\sqrt{10}}{z} \\  & \Leftrightarrow \left( \left| z \right|+2 \right)+\left( 2\left| z \right|-1 \right)i=\dfrac{\sqrt{10}}{z} \\  & \Leftrightarrow {{\left( \left| z \right|+2 \right)}^{2}}+{{\left( 2\left| z \right|-1 \right)}^{2}}=\dfrac{10}{{{\left| z \right|}^{2}}} \\  & \Leftrightarrow {{\left| z \right|}^{2}}+4\left| z \right|+4+4{{\left| z \right|}^{2}}-4\left| z \right|+1=\dfrac{10}{{{\left| z \right|}^{2}}} \\  & \Leftrightarrow 5{{\left| z \right|}^{4}}+5{{\left| z \right|}^{2}}-10=0\Leftrightarrow \left| z \right|=1\in \left( \dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2} \right) \\ \end{align}$

Cho số phức $z=x+yi,\,\,\left( x,y\in R \right)$, $S(x;y)$là điểm biểu diễn của z trên hệ trục tọa độ Oxy.

$\left| z-2+3i \right|+\left| z+2+i \right|=4\sqrt{5}\Leftrightarrow \sqrt{{{(x-2)}^{2}}+{{(y+3)}^{2}}}+\sqrt{{{(x+2)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}}=4\sqrt{5}\,$(1)

Lấy các điểm $A(2;-3),\,\,B(-2;-1)$. Phương trình (1) $\Leftrightarrow SA+SB=4\sqrt{5}$

$\Rightarrow$ Tập hợp các điểm S là đường elip (E) có tiêu điểm $A(2;-3),\,\,B(-2;-1)$ và có độ dài trục lớn là $2a=4\sqrt{5}\Rightarrow a=2\sqrt{5}$.

Lấy $M(4;-4)$. Dễ dàng kiểm tra được $\left\{ \begin{align}  & \overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{MA} \\ & MA+MB=4\sqrt{5}=2a \\\end{align} \right.$

Suy ra, M là một đỉnh và nằm trên trục lớn của elip (E).

Gọi I là trung điểm AB $\Rightarrow I\left( 0;-2 \right)$, N là điểm đối xứng của M qua I. Khi đó, với mọi điểm $S\in \left( E \right)$: $SM\le MN=2a=4\sqrt{5}$

$S{{M}_{\max }}=4\sqrt{5}\,\,$khi và chỉ khi S trùng N $\Leftrightarrow {{P}_{\max }}=4\sqrt{5}$ khi và chỉ khi $S\equiv N(-4;0)\Leftrightarrow z=-4$

Gọi $z=x+yi$ ta có:
$\begin{align} & \left| x+yi \right|=\left| x-yi+4-3i \right| \\ & \Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}} \\ & \Leftrightarrow 8x+6y=-25 \\ \end{align}$
Gọi điểm $M\left( x;y \right)$ là điểm biểu diễn cho số phức z và $A\left( -1;1 \right);\,\,B\left( 2;-3 \right)$ ta có:
$\left| z+1-i \right|+\left| z-2+3i \right|=MA+MB$ nhỏ nhất.
Ta có : $MA+MB\ge 2\sqrt{MA.MB}$, dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow MA=MB\Rightarrow$ M thuộc trung trực của AB.
Gọi $I$ là trung điểm của AB ta có $I\left( \dfrac{1}{2};-1 \right)$ và $\overrightarrow{AB}=\left( 3;-4 \right)$
Phương trình đường trung trực của AB là $3\left( x-\dfrac{1}{2} \right)-4\left( y+1 \right)=0\Leftrightarrow 3x-4y-\dfrac{11}{2}=0$
Để ${{\left( MA+MB \right)}_{\min }}\Leftrightarrow$ Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình
$\left\{ \begin{array}{l} 8x + 6y = - 25\\ 3x - 4y = \dfrac{{11}}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - \dfrac{{67}}{{50}}\\ y = - \dfrac{{119}}{{50}} \end{array} \right.$
$\Rightarrow z = - \dfrac{{67}}{{50}} - \dfrac{{119}}{{50}}i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = - \dfrac{{67}}{{50}}\\ b = - \dfrac{{119}}{{50}} \end{array} \right. \Rightarrow P = a + 2b = - \dfrac{{61}}{{10}}$

Đặt $z=x+yi\,\,\,\,\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$ suy ra tập hợp các điểm $M\left( z \right)=\left( x;y \right)$ là đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( 3;4 \right)$ và bán kính $R=\sqrt{5}.$ Ta có $P={{\left| z+2 \right|}^{2}}-{{\left| z-i \right|}^{2}}={{\left| x+2+yi \right|}^{2}}-{{\left| x+\left( y-1 \right)i \right|}^{2}}={{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}-{{x}^{2}}-{{\left( y-1 \right)}^{2}}$
$={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4x+4-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}+2y-1=4x+2y+3\,\,\xrightarrow{{}}\,\,\left( \Delta \right):4x+2y+3-P=0.$
Ta cần tìm $P$ sao cho đường thẳng $\left( \Delta \right)$ và đường tròn $\left( C \right)$ có điểm chung $\Leftrightarrow$$d\left( I;\left( \Delta \right) \right)\le R.$
$\Leftrightarrow \dfrac{\left| 4.3+2.4+3-P \right|}{\sqrt{{{4}^{2}}+{{2}^{2}}}}\le \sqrt{5}\Leftrightarrow \left| 23-P \right|\le 10\Leftrightarrow -\,10\le 23-P\le 10\Leftrightarrow 13\le P\le 33.$
Do đó, $\left\{ \begin{align} \max P=33 \\ \min P=13 \\ \end{align} \right.\Rightarrow \,\,w=M+mi=33+13i.$ Vậy $\left| w \right|=\sqrt{1258}.$

Đặt ${{z}_{3}}=i{{z}_{2}}\Rightarrow z_{3}^{2}=-z_{2}^{2}\Rightarrow S=\left| z_{1}^{2}+4z_{2}^{2} \right|=\left| z_{1}^{2}-4z_{3}^{2} \right|=\left| {{z}_{1}}-2{{z}_{3}} \right|\left| {{z}_{1}}+2{{z}_{3}} \right|$M, N là các điểm biểu diễn cho ${{z}_{1}},{{z}_{3}}\Rightarrow OM=2,\,\,ON=\left| {{z}_{3}} \right|=\left| i{{z}_{2}} \right|=\left| i \right|.\left| {{z}_{2}} \right|=\sqrt{3}$.Gọi P là điểm biểu diễn cho $2{{z}_{3}}$ và $Q$ là điểm biểu diễn cho $-2{{z}_{3}}$ , ta có N là trung điểm của OP và P, Q đối xứng nhau qua O. Khi đó $S=MP.MQ$.
Áp dụng định lí Cosin trong $\Delta OMP$ có:
$M{{P}^{2}}=O{{P}^{2}}+O{{M}^{2}}-2OP.OM.\cos 30=12+4-2.2\sqrt{3}.2.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=4\Rightarrow MP=2$Áp dụng định lí Cosin trong $\Delta OMQ$ có:
$\begin{align} M{{Q}^{2}}=O{{M}^{2}}+O{{Q}^{2}}-2OM.OQ.\cos {{150}^{0}} \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=4+12+2.2.2\sqrt{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{7} \\ \Rightarrow S=MP.MQ=2.2\sqrt{7}=4\sqrt{7} \\ \end{align}$

Ta có: $\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \left| {i{z_2} - {z_2}} \right| = \left| {{z_2}\left( {1 - i} \right)} \right| = \sqrt 2 \left| {{z_1}} \right|$

Mà $\left| {{z_1}} \right| - \left| {1 - i} \right| \le \left| {{z_1} + 1 - i} \right| \le \left| {{z_1}} \right| + \left| {1 - i} \right|$$\Rightarrow \left| {{z_1}} \right| - \sqrt 2  \le 2 \le \left| {{z_1}} \right| + \sqrt 2$$\Rightarrow 2 - \sqrt 2  \le \left| {{z_1}} \right| \le 2 + \sqrt 2$

$\Rightarrow \sqrt 2 \left( {2 - \sqrt 2 } \right) \le \sqrt 2 \left| {{z_1}} \right| \le \sqrt 2 \left( {2 + \sqrt 2 } \right)$$\Rightarrow 2\sqrt 2  - 2 \le \sqrt 2 \left| {{z_1}} \right| \le 2\sqrt 2  + 2$

Vậy $M = 2\sqrt 2  + 2$.

Gọi $I\left( 1;1 \right),\,\,J(-1;-3),\,\,A(2;3)$. Xét số phức $z=x+yi,\,\,\left( x,y\in R \right)$, có điểm biểu diễn là $M(x;y)$.

$\left| z-1-i \right|+\left| z+1+3i \right|=6\sqrt{5}$

$\Leftrightarrow \sqrt{{{(x-1)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}}+\sqrt{{{(x+1)}^{2}}+{{(y+3)}^{2}}}=6\sqrt{5}$ (1)

$\Leftrightarrow MI+MJ=6\sqrt{5}\Rightarrow M$di chuyển trên đường elip có tiêu điểm $I$ và $J$, độ dài trục lớn là $3\sqrt{5}$ (như hình vẽ).

Tìm giá trị lớn nhất của $\left| z-2-3i \right|$ tức là tìm độ dài lớn nhất của đoạn AM khi M di chuyển trên elip.

Ta có: $\overrightarrow{IA}=(1;2),\,\,\overrightarrow{JA}=(3;6)\Rightarrow \overrightarrow{JA}=3\overrightarrow{IA}$, điểm A nằm trên trục lớn của elip.

$\Rightarrow AM$ đạt độ dài lớn nhất khi và chỉ khi M trùng với B, là đỉnh của elip nằm trên trục lớn và khác phía A so với điểm I.

Gọi S là trung điểm của IJ $\Rightarrow S\left( 0;-1 \right)$.

Độ dài đoạn $AB=SA+SB$

Mà $\overrightarrow{AS}=\left( -2;-4 \right)\Rightarrow AS=2\sqrt{5}$,  $SB=\dfrac{6\sqrt{5}}{2}=3\sqrt{5}$ $\Rightarrow AB=5\sqrt{5}$

Vậy ${{\left| z-2-3i \right|}_{\max }}=5\sqrt{5}$.

Ta có $\left| {{z}_{1}}-3i+5 \right|=2\Leftrightarrow \left| 2i\left( {{z}_{1}}-3i+5 \right) \right|=2.\left| 2i \right|\Leftrightarrow \left| 2i{{z}_{1}}+6+10i \right|=4.$Và $\left| i{{z}_{2}}-1+2i \right|=4\Leftrightarrow \left| {{z}_{2}}-\dfrac{1-2i}{i} \right|=4\Leftrightarrow \left| {{z}_{2}}+2+i \right|=4\Leftrightarrow \left| -\,3{{z}_{2}}-6-3i \right|=12.$Đặt $\left\{ \begin{array}{l} u = 2i{z_1}\\ v = - \,3{z_2} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left| {u + 6 + 10i} \right| = 4\\ \left| {v - 6 - 3i} \right| = 12 \end{array} \right.$ và $T=\left| 2i{{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|=\left| 2i{{z}_{1}}-\left( -\,3{{z}_{2}} \right) \right|=\left| u-v \right|.$Tập hợp điểm $M$ biểu diễn số phức $u$ là đường tròn ${{\left( x+6 \right)}^{2}}+{{\left( y+10 \right)}^{2}}=16$ tâm ${{I}_{1}}\left( -\,6;-\,10 \right),\,\,{{R}_{1}}=4.$Tập hợp điểm $N$ biểu diễn số phức $v$ là đường tròn ${{\left( x-6 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=144$ tâm ${{I}_{2}}\left( 6;3 \right),\,\,{{R}_{2}}=12.$
Khi đó $T=M{{N}_{\max }}\,\Leftrightarrow \,\,MN={{I}_{1}}{{I}_{2}}+{{R}_{1}}+{{R}_{2}}=\sqrt{{{12}^{2}}+{{13}^{2}}}+4+12=\sqrt{313}+16.$

Gọi $z=x+yi\Rightarrow {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}=5\,\,\left( 1 \right)$$T={{\left| x+yi+2 \right|}^{2}}-{{\left| x+yi-i \right|}^{2}}={{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}-{{x}^{2}}-{{\left( y-1 \right)}^{2}}=4x+2y+3=4\left( x-3 \right)+2\left( y-4 \right)+23$Ta có: ${{\left[ 4\left( x-3 \right)+2\left( y-4 \right) \right]}^{2}}\le \left( {{4}^{2}}+{{2}^{2}} \right)\left[ {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}} \right]=180\Leftrightarrow 4\left( x-3 \right)+2\left( y-4 \right)\le 6\sqrt{5}$Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \dfrac{x-3}{4}=\dfrac{y-4}{2}\Leftrightarrow x-3=2y-8\Leftrightarrow x=2y-5$Thay vào (1) ta có:
$\begin{array}{l}{\left( {2y - 8} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 5 \Leftrightarrow 5{\left( {y - 4} \right)^2} = 5 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y - 4 = 1\\y - 4 = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 5\\y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 5\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 3\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 5 + 5i\\z = 1 + 3i\end{array} \right.\\z = 5 + 5i \Rightarrow T = 33(TM)\\z = 1 + 3i \Rightarrow T = 13 < 33(KTM)\end{array}$

$=>z=5+5i$$=> \left| z \right| =5 \sqrt {2}$

Đặt $A(3;2),\,\,B(-1;-2),\,\,C(2;1)$. Gọi M, N lần lượt là điểm biểu diến của z, w.

Vì $\left| z-3-2i \right|\le 1$ nên tập hợp điểm biểu diễn của z trên hệ trục Oxy là hình tròn tâm A bán kính 1.

Vì $\left| \text{w}+1+2i \right|\le \left| \text{w}-2-i \right|$ nên tập hợp điểm biểu diễn của w trên hệ trục Oxy là nửa mặt phẳng bờ d chứa B và đường thẳng d. Trong đó d là trung trực của đoạn thẳng BC.

$P=\left| z-\text{w} \right|=MN$, ${{P}_{\min }}=M{{N}_{\min }}$.

Dễ dàng kiểm tra được A, B, C thẳng hàng và MN ngắn nhất khi MN trùng với ${{M}_{0}}{{N}_{0}}$.

Trong đó, ${{N}_{0}}$: trung điểm của BC, ${{M}_{0}}$: giao của AB và đường tròn $\left( A;1 \right)$.

Độ dài đoạn ${{M}_{0}}{{N}_{0}}=d\left( A;d \right)-R=d(A;d)-1$

*) Phương trình đường thẳng d:

${{N}_{0}}$ là trung điểm BC $\Rightarrow {{N}_{0}}\left( \dfrac{1}{2};\dfrac{-1}{2} \right)$

$\overrightarrow{BC}=(3;3)\Rightarrow d$có 1 VTPT là $\left( 1;1 \right)$

Phương trình đường thẳng d: $1(x-\dfrac{1}{2})+1(y-\dfrac{-1}{2})=0\Leftrightarrow x+y=0$

$d\left( A;d \right)=\dfrac{\left| 3+2 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\dfrac{5}{\sqrt{2}}\Rightarrow {{M}_{o}}{{N}_{0}}=\dfrac{5}{\sqrt{2}}-1=\dfrac{5\sqrt{2}-2}{2}$

Vậy, ${{P}_{\min }}=\dfrac{5\sqrt{2}-2}{2}$

Ta có 

$\begin{array}{l} \left| {{z^2} + 1} \right| = 2\left| z \right| \Leftrightarrow {\left| {{z^2} + 1} \right|^2} = 4{\left| z \right|^2} \Leftrightarrow \left( {{z^2} + 1} \right)\left( {\overline {{z^2} + 1} } \right) = 4z\overline z \\ \Leftrightarrow \left( {{z^2} + 1} \right)\left( {{{\overline z }^2} + 1} \right) = 4z\overline z \Leftrightarrow {\left( {z\overline z } \right)^2} + {z^2} + {\overline z ^2} + 1 - 4z\overline z = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {z + \overline z } \right)^2} + {\left( {z\overline z } \right)^2} - 6z\overline z + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {z + \overline z } \right)^2} + {\left| z \right|^4} - 6{\left| z \right|^2} + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left| z \right|^4} - 6{\left| z \right|^2} + 1 = - {\left( {z + \overline z } \right)^2} \le 0\\ \Leftrightarrow 3 - 2\sqrt 2 \le {\left| z \right|^2} \le 3 + 2\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow \sqrt 2 - 1 \le \left| z \right| \le \sqrt 2 + 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left| {{z_1}} \right| = \sqrt 2 - 1\\ \left| {{z_2}} \right| = \sqrt 2 + 1 \end{array} \right. \end{array}$

Dấu = xảy ra 

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left| {{z_1}} \right| = \sqrt 2 - 1\\ \left| {{z_2}} \right| = \sqrt 2 + 1\\ z + \overline z = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} {z_1} = \left( {\sqrt 2 - 1} \right)i\\ {z_1} = \left( {1 - \sqrt 2 } \right)i \end{array} \right.\\ \left[ \begin{array}{l} {z_2} = \left( {\sqrt 2 + 1} \right)i\\ {z_2} = \left( { - \sqrt 2 - 1} \right)i \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left| w \right| = \left| {{z_1} + {z_2}} \right| = 2\sqrt 2 \\ \left| w \right| = \left| {{z_1} + {z_2}} \right| = 2 \end{array} \right.$

Gọi ${{z}_{1}}=x+yi$ ta có:

$2\left| x-yi+i \right|=\left| x-yi-x-yi-2i \right|$ $\Leftrightarrow 2\left| x-yi+i \right|=2\left| yi+i \right|$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}={{\left( y+1 \right)}^{2}}$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2y+1={{y}^{2}}+2y+1$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}=4y$ $\Leftrightarrow y=\dfrac{{{x}^{2}}}{4}$
$\Rightarrow$ Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức ${{z}_{1}}$ là parabol $y=\dfrac{{{x}^{2}}}{4}$.
Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức ${{z}_{2}}$ là là đường tròn $\left( C \right)$ tâm $I\left( 10;1 \right)$ bán kính $R=1$.
$\Rightarrow \left( C \right):\,\,{{\left( x-10 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=1$.
Gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn cho số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}\Rightarrow \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\left| \overrightarrow{OM}-\overrightarrow{ON} \right|=MN$
$\Rightarrow {{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}_{\min }}\Leftrightarrow M{{N}_{\min }}$.

Dựa vào hình vẽ ta thấy $M{{N}_{\min }}\Leftrightarrow MN\bot$ tiếp tuyến tại M của parabol $y=\dfrac{{{x}^{2}}}{4}$ và đi qua I.
Ta có $y'=\dfrac{x}{2}$ . Gọi $M\left( m;\dfrac{{{m}^{2}}}{4} \right)\,\,\left( m>0 \right)\Rightarrow y'\left( m \right)=\dfrac{m}{2}\Rightarrow pttt:\,\,y=\left( x-m \right)+\dfrac{{{m}^{2}}}{4}=\dfrac{m}{2}x-\dfrac{{{m}^{2}}}{4}\,\,\left( d \right)$
$\begin{align} \Rightarrow MN\ge d\left( I;d \right)-1\Rightarrow M{{N}_{\min }}\Leftrightarrow d\left( I;d \right)=IM \\ \Leftrightarrow \dfrac{\left| 5m-1-\dfrac{{{m}^{2}}}{4} \right|}{\sqrt{1+\dfrac{{{m}^{2}}}{4}}}=\sqrt{{{\left( m-10 \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{{{m}^{2}}}{4}-1 \right)}^{2}}} \\ \Leftrightarrow \dfrac{{{\left( 5m-1-\dfrac{{{m}^{2}}}{4} \right)}^{2}}}{1+\dfrac{{{m}^{2}}}{4}}={{\left( m-10 \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{{{m}^{2}}}{4}-1 \right)}^{2}} \\ \end{align}$
Giải phương trình trên ra tìm được $m=4$, khi đó $IM=3\sqrt{5}\Rightarrow M{{N}_{\min }}=3\sqrt{5}-1$ .

Ta có $\left| {{z}_{1}}-3i+5 \right|=2\Leftrightarrow \left| 2i\left( {{z}_{1}}-3i+5 \right) \right|=2.\left| 2i \right|\Leftrightarrow \left| 2i{{z}_{1}}+6+10i \right|=4.$Và $\left| i{{z}_{2}}-1+2i \right|=4\Leftrightarrow \left| {{z}_{2}}-\frac{1-2i}{i} \right|=4\Leftrightarrow \left| {{z}_{2}}+2+i \right|=4\Leftrightarrow \left| -\,3{{z}_{2}}-6-3i \right|=12.$Đặt $\left\{ \begin{array}{l} u = 2i{z_1}\\ v = - \,3{z_2} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left| {u + 6 + 10i} \right| = 4\\ \left| {v - 6 - 3i} \right| = 12 \end{array} \right.$ và $T=\left| 2i{{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|=\left| 2i{{z}_{1}}-\left( -\,3{{z}_{2}} \right) \right|=\left| u-v \right|.$Tập hợp điểm $M$ biểu diễn số phức $u$ là đường tròn ${{\left( x+6 \right)}^{2}}+{{\left( y+10 \right)}^{2}}=16$ tâm ${{I}_{1}}\left( -\,6;-\,10 \right),\,\,{{R}_{1}}=4.$Tập hợp điểm $N$ biểu diễn số phức $v$ là đường tròn ${{\left( x-6 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=144$ tâm ${{I}_{2}}\left( 6;3 \right),\,\,{{R}_{2}}=12.$Khi đó $T=M{{N}_{\max }}\,\Leftrightarrow \,\,MN={{I}_{1}}{{I}_{2}}+{{R}_{1}}+{{R}_{2}}=\sqrt{{{12}^{2}}+{{13}^{2}}}+4+12=\sqrt{313}+16.$