Tổng hợp câu hay và khó chương 4 phần 4

Lời giải chi tiết.Giả sử số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán có dạng \(z = a + bi,\,\left( {a,b \in } \right).\)  Khi đó ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}\left| {z - 2i} \right| = \left| {\left( {a + bi} \right) - 2i} \right| = \sqrt {{a^2} + {{\left( {b - 2} \right)}^2}} \\\left| {z - 4i} \right| = \left| {\left( {a + bi} \right) - 4i} \right| = \sqrt {{a^2} + {{\left( {b - 4} \right)}^2}} \\\left| {z - 3 - 3i} \right| = \left| {\left( {a + bi} \right) - 3 - 3i} \right| = \sqrt {{{\left( {a - 3} \right)}^2} + {{\left( {b - 3} \right)}^2}} \\\left| {z - 2} \right| = \left| {\left( {a + bi} \right) - 2} \right| = \sqrt {{{\left( {a - 2} \right)}^2} + {b^2}} \end{array} \right.\)

Từ giả thiết ta suy ra

\(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{a^2} + {{\left( {b - 2} \right)}^2}} \le \sqrt {{a^2} + {{\left( {b - 4} \right)}^2}} \\{\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {b - 2} \right)^2} \le {\left( {b - 4} \right)^2}\\{\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}b - 2 \le b - 4\,\,\left( {VN} \right)\\b - 2 \le - b + 4\end{array} \right.\\{\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b \le 3\\{\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} = 1\end{array} \right..\)

Từ\({\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} = 1 \Rightarrow {\left( {a - 3} \right)^2} \le 1 \Rightarrow 2 \le a \le 4 \Rightarrow 0 \le a - 2 \le 2.\)

Do đó \(P = \left| {z - 2} \right| = \sqrt {{{\left( {a - 2} \right)}^2} + {b^2}}  \le \sqrt {{2^2} + {3^2}}  = \sqrt {13} .\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

\(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 2} \right)^2} = {2^2}\\b = 3\\{\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 3\end{array} \right..\)

Ta có \({{z}^{2}}-2z+5={{\left( z-1 \right)}^{2}}+4={{\left( z-1 \right)}^{2}}-{{\left( 2i \right)}^{2}}=\left( z-1+2i \right)\left( z-1-2i \right)\)

Do đó \(\left| {{z}^{2}}-2z+5 \right|=\left| \left( z-1+2i \right)\left( z+3i-1 \right) \right|\)

\(\Leftrightarrow \left| \left( z-1+2i \right)\left( z-1-2i \right) \right|=\left| \left( z-1+2i \right)\left( z+3i-1 \right) \right|\)

$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left| {z - 1 + 2i} \right|\left| {z - 1 - 2i} \right| = \left| {z - 1 + 2i} \right|\left| {z + 3i - 1} \right|\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left| {z - 1 + 2i} \right| = 0\\
\left| {z - 1 - 2i} \right| = \left| {z + 3i - 1} \right|
\end{array} \right.
\end{array}$

TH1:

$\begin{array}{l}
\left| {z - 1 + 2i} \right| = 0 \Leftrightarrow z = 1 - 2i\\
\Rightarrow w = 1 - 2i - 2 + 2i = - 1\\
\Rightarrow \left| w \right| = 1
\end{array}$

TH2: 

\(\left| z-1-2i \right|=\left| z+3i-1 \right|\)

\(\Leftrightarrow \left| x-1+\left( y-2 \right)i \right|=\left| x-1+\left( y+3 \right)i \right|\)

với \(z=x+yi\,\,\,\,\left( x,y\in \mathbb{R} \right).\)

\(\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}={{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}\)

\(\Leftrightarrow y=-\dfrac{1}{2}\) \(\Rightarrow z=x-\dfrac{1}{2}i.\)

Khi đó \(\left| w \right|=\left| z-2+2i \right|=\left| x-2+\dfrac{3}{2}i \right|=\sqrt{{{\left( x-2 \right)}^{2}}+\dfrac{9}{4}}\ge \dfrac{3}{2}.\)

Vậy \(\min \left| w \right|=1\).

Tập hợp các điểm z thỏa mãn điều kiện \(\left| z-1 \right|=\sqrt{2}\) là đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(I\left( 1;0 \right)\) bán kính \(R=\sqrt{2}\).

\(T=\left| z+i \right|+\left| z-2-i \right|=\left| z-\left( -1 \right) \right|+\left| z-\left( 2+i \right) \right|\)

Gọi M là điểm biểu diễn cho số phức z, \(A\left( 0;-1 \right)\) là điểm biểu diễn cho số phức \(-i\), \(B\left( 2;1 \right)\) là điểm biểu diễn cho số phức \(2+i\). Dễ thấy \(A,B\in \left( C \right)\) và \(AB=\sqrt{{{2}^{2}}+{{2}^{2}}}=2\sqrt{2}=2R\Rightarrow AB\) là đường kính của đường tròn \(\left( C \right)\Rightarrow \Delta MAB\) vuông tại M \(\Rightarrow M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}=A{{B}^{2}}=8\Rightarrow MB=\sqrt{8-M{{A}^{2}}}\)

Ta có: \(T=\left| \overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA} \right|+\left| \overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OB} \right|=MA+MB=MA+\sqrt{8-M{{A}^{2}}}\)

Đặt \(MA=x\,\,\left( 0\le x\le 2\sqrt{2} \right)\), xét hàm số \(f\left( x \right)=x+\sqrt{8-{{x}^{2}}}\) trên \(\left[ 0;2\sqrt{2} \right]\) ta có:

\(f'\left( x \right)=1-\frac{x}{\sqrt{8-{{x}^{2}}}}=\frac{\sqrt{8-{{x}^{2}}}-x}{\sqrt{8-{{x}^{2}}}}=0\Leftrightarrow \sqrt{8-{{x}^{2}}}=x\Leftrightarrow 8-{{x}^{2}}={{x}^{2}}\Leftrightarrow x=2\)

\(\begin{align}  & f\left( 0 \right)=\sqrt{2},\,\,f\left( 2\sqrt{2} \right)=2\sqrt{2};\,\,f\left( 2 \right)=4 \\  & \Rightarrow \underset{\left[ 0;2\sqrt{2} \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=f\left( 2 \right)=4 \\ \end{align}\)

Vậy \(\max T=4\).

\(\begin{align} & \,\,\,\,\,\left( 1+2i \right)\left| z \right|=\dfrac{\sqrt{10}}{z}-2+i \\  & \Leftrightarrow \left( 1+2i \right)\left| z \right|+2-i=\dfrac{\sqrt{10}}{z} \\  & \Leftrightarrow \left( \left| z \right|+2 \right)+\left( 2\left| z \right|-1 \right)i=\dfrac{\sqrt{10}}{z} \\  & \Leftrightarrow {{\left( \left| z \right|+2 \right)}^{2}}+{{\left( 2\left| z \right|-1 \right)}^{2}}=\dfrac{10}{{{\left| z \right|}^{2}}} \\  & \Leftrightarrow {{\left| z \right|}^{2}}+4\left| z \right|+4+4{{\left| z \right|}^{2}}-4\left| z \right|+1=\dfrac{10}{{{\left| z \right|}^{2}}} \\  & \Leftrightarrow 5{{\left| z \right|}^{4}}+5{{\left| z \right|}^{2}}-10=0\Leftrightarrow \left| z \right|=1\in \left( \dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2} \right) \\ \end{align}\)

Cho số phức \(z=x+yi,\,\,\left( x,y\in R \right)\), \(S(x;y)\)là điểm biểu diễn của z trên hệ trục tọa độ Oxy.

\(\left| z-2+3i \right|+\left| z+2+i \right|=4\sqrt{5}\Leftrightarrow \sqrt{{{(x-2)}^{2}}+{{(y+3)}^{2}}}+\sqrt{{{(x+2)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}}=4\sqrt{5}\,\)(1)

Lấy các điểm \(A(2;-3),\,\,B(-2;-1)\). Phương trình (1) \(\Leftrightarrow SA+SB=4\sqrt{5}\)

\(\Rightarrow \) Tập hợp các điểm S là đường elip (E) có tiêu điểm \(A(2;-3),\,\,B(-2;-1)\) và có độ dài trục lớn là \(2a=4\sqrt{5}\Rightarrow a=2\sqrt{5}\).

Lấy \(M(4;-4)\). Dễ dàng kiểm tra được \(\left\{ \begin{align}  & \overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{MA} \\ & MA+MB=4\sqrt{5}=2a \\\end{align} \right.\)

Suy ra, M là một đỉnh và nằm trên trục lớn của elip (E).

Gọi I là trung điểm AB \(\Rightarrow I\left( 0;-2 \right)\), N là điểm đối xứng của M qua I. Khi đó, với mọi điểm \(S\in \left( E \right)\): \(SM\le MN=2a=4\sqrt{5}\)

\(S{{M}_{\max }}=4\sqrt{5}\,\,\)khi và chỉ khi S trùng N \(\Leftrightarrow {{P}_{\max }}=4\sqrt{5}\) khi và chỉ khi \(S\equiv N(-4;0)\Leftrightarrow z=-4\)

Gọi \(z=x+yi\) ta có:
\(\begin{align} & \left| x+yi \right|=\left| x-yi+4-3i \right| \\ & \Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}} \\ & \Leftrightarrow 8x+6y=-25 \\ \end{align}\)
Gọi điểm \(M\left( x;y \right)\) là điểm biểu diễn cho số phức z và \(A\left( -1;1 \right);\,\,B\left( 2;-3 \right)\) ta có:
\(\left| z+1-i \right|+\left| z-2+3i \right|=MA+MB\) nhỏ nhất.
Ta có : \(MA+MB\ge 2\sqrt{MA.MB}\), dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow MA=MB\Rightarrow \) M thuộc trung trực của AB.
Gọi \(I\) là trung điểm của AB ta có \(I\left( \dfrac{1}{2};-1 \right)\) và \(\overrightarrow{AB}=\left( 3;-4 \right)\)
Phương trình đường trung trực của AB là \(3\left( x-\dfrac{1}{2} \right)-4\left( y+1 \right)=0\Leftrightarrow 3x-4y-\dfrac{11}{2}=0\)
Để \({{\left( MA+MB \right)}_{\min }}\Leftrightarrow \) Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}
8x + 6y = - 25\\
3x - 4y = \dfrac{{11}}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = - \dfrac{{67}}{{50}}\\
y = - \dfrac{{119}}{{50}}
\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow z = - \dfrac{{67}}{{50}} - \dfrac{{119}}{{50}}i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = - \dfrac{{67}}{{50}}\\
b = - \dfrac{{119}}{{50}}
\end{array} \right. \Rightarrow P = a + 2b = - \dfrac{{61}}{{10}}\)

Đặt \(z=x+yi\,\,\,\,\left( x,y\in \mathbb{R} \right)\) suy ra tập hợp các điểm \(M\left( z \right)=\left( x;y \right)\) là đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( 3;4 \right)\) và bán kính \(R=\sqrt{5}.\) Ta có \(P={{\left| z+2 \right|}^{2}}-{{\left| z-i \right|}^{2}}={{\left| x+2+yi \right|}^{2}}-{{\left| x+\left( y-1 \right)i \right|}^{2}}={{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}-{{x}^{2}}-{{\left( y-1 \right)}^{2}}\)
\(={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4x+4-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}+2y-1=4x+2y+3\,\,\xrightarrow{{}}\,\,\left( \Delta \right):4x+2y+3-P=0.\)
Ta cần tìm \(P\) sao cho đường thẳng \(\left( \Delta \right)\) và đường tròn \(\left( C \right)\) có điểm chung \(\Leftrightarrow \)\(d\left( I;\left( \Delta \right) \right)\le R.\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{\left| 4.3+2.4+3-P \right|}{\sqrt{{{4}^{2}}+{{2}^{2}}}}\le \sqrt{5}\Leftrightarrow \left| 23-P \right|\le 10\Leftrightarrow -\,10\le 23-P\le 10\Leftrightarrow 13\le P\le 33.\)
Do đó, \(\left\{ \begin{align} \max P=33 \\ \min P=13 \\ \end{align} \right.\Rightarrow \,\,w=M+mi=33+13i.\) Vậy \(\left| w \right|=\sqrt{1258}.\)

Đặt \({{z}_{3}}=i{{z}_{2}}\Rightarrow z_{3}^{2}=-z_{2}^{2}\Rightarrow S=\left| z_{1}^{2}+4z_{2}^{2} \right|=\left| z_{1}^{2}-4z_{3}^{2} \right|=\left| {{z}_{1}}-2{{z}_{3}} \right|\left| {{z}_{1}}+2{{z}_{3}} \right|\)M, N là các điểm biểu diễn cho \({{z}_{1}},{{z}_{3}}\Rightarrow OM=2,\,\,ON=\left| {{z}_{3}} \right|=\left| i{{z}_{2}} \right|=\left| i \right|.\left| {{z}_{2}} \right|=\sqrt{3}\).Gọi P là điểm biểu diễn cho \(2{{z}_{3}}\) và \(Q\) là điểm biểu diễn cho \(-2{{z}_{3}}\) , ta có N là trung điểm của OP và P, Q đối xứng nhau qua O. Khi đó \(S=MP.MQ\).
Áp dụng định lí Cosin trong \(\Delta OMP\) có:
\(M{{P}^{2}}=O{{P}^{2}}+O{{M}^{2}}-2OP.OM.\cos 30=12+4-2.2\sqrt{3}.2.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=4\Rightarrow MP=2\)Áp dụng định lí Cosin trong \(\Delta OMQ\) có:
\(\begin{align} M{{Q}^{2}}=O{{M}^{2}}+O{{Q}^{2}}-2OM.OQ.\cos {{150}^{0}} \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=4+12+2.2.2\sqrt{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{7} \\ \Rightarrow S=MP.MQ=2.2\sqrt{7}=4\sqrt{7} \\ \end{align}\)

Ta có: \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \left| {i{z_2} - {z_2}} \right| = \left| {{z_2}\left( {1 - i} \right)} \right| = \sqrt 2 \left| {{z_1}} \right|\)

Mà \(\left| {{z_1}} \right| - \left| {1 - i} \right| \le \left| {{z_1} + 1 - i} \right| \le \left| {{z_1}} \right| + \left| {1 - i} \right|\)\( \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| - \sqrt 2  \le 2 \le \left| {{z_1}} \right| + \sqrt 2 \)\( \Rightarrow 2 - \sqrt 2  \le \left| {{z_1}} \right| \le 2 + \sqrt 2 \)

\( \Rightarrow \sqrt 2 \left( {2 - \sqrt 2 } \right) \le \sqrt 2 \left| {{z_1}} \right| \le \sqrt 2 \left( {2 + \sqrt 2 } \right)\)\( \Rightarrow 2\sqrt 2  - 2 \le \sqrt 2 \left| {{z_1}} \right| \le 2\sqrt 2  + 2\)

Vậy \(M = 2\sqrt 2  + 2\).

Gọi \(I\left( 1;1 \right),\,\,J(-1;-3),\,\,A(2;3)\). Xét số phức \(z=x+yi,\,\,\left( x,y\in R \right)\), có điểm biểu diễn là \(M(x;y)\).

\(\left| z-1-i \right|+\left| z+1+3i \right|=6\sqrt{5}\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{{{(x-1)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}}+\sqrt{{{(x+1)}^{2}}+{{(y+3)}^{2}}}=6\sqrt{5}\) (1)

\(\Leftrightarrow MI+MJ=6\sqrt{5}\Rightarrow M\)di chuyển trên đường elip có tiêu điểm \(I\) và \(J\), độ dài trục lớn là \(3\sqrt{5}\) (như hình vẽ).

Tìm giá trị lớn nhất của \(\left| z-2-3i \right|\) tức là tìm độ dài lớn nhất của đoạn AM khi M di chuyển trên elip.

Ta có: \(\overrightarrow{IA}=(1;2),\,\,\overrightarrow{JA}=(3;6)\Rightarrow \overrightarrow{JA}=3\overrightarrow{IA}\), điểm A nằm trên trục lớn của elip.

\(\Rightarrow AM\) đạt độ dài lớn nhất khi và chỉ khi M trùng với B, là đỉnh của elip nằm trên trục lớn và khác phía A so với điểm I.

Gọi S là trung điểm của IJ \(\Rightarrow S\left( 0;-1 \right)\).

Độ dài đoạn \(AB=SA+SB\)

Mà \(\overrightarrow{AS}=\left( -2;-4 \right)\Rightarrow AS=2\sqrt{5}\),  \(SB=\dfrac{6\sqrt{5}}{2}=3\sqrt{5}\) \(\Rightarrow AB=5\sqrt{5}\)

Vậy \({{\left| z-2-3i \right|}_{\max }}=5\sqrt{5}\).

Ta có \(\left| {{z}_{1}}-3i+5 \right|=2\Leftrightarrow \left| 2i\left( {{z}_{1}}-3i+5 \right) \right|=2.\left| 2i \right|\Leftrightarrow \left| 2i{{z}_{1}}+6+10i \right|=4.\)Và \(\left| i{{z}_{2}}-1+2i \right|=4\Leftrightarrow \left| {{z}_{2}}-\dfrac{1-2i}{i} \right|=4\Leftrightarrow \left| {{z}_{2}}+2+i \right|=4\Leftrightarrow \left| -\,3{{z}_{2}}-6-3i \right|=12.\)Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}
u = 2i{z_1}\\
v = - \,3{z_2}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left| {u + 6 + 10i} \right| = 4\\
\left| {v - 6 - 3i} \right| = 12
\end{array} \right.\) và \(T=\left| 2i{{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|=\left| 2i{{z}_{1}}-\left( -\,3{{z}_{2}} \right) \right|=\left| u-v \right|.\)Tập hợp điểm \(M\) biểu diễn số phức \(u\) là đường tròn \({{\left( x+6 \right)}^{2}}+{{\left( y+10 \right)}^{2}}=16\) tâm \({{I}_{1}}\left( -\,6;-\,10 \right),\,\,{{R}_{1}}=4.\)Tập hợp điểm \(N\) biểu diễn số phức \(v\) là đường tròn \({{\left( x-6 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=144\) tâm \({{I}_{2}}\left( 6;3 \right),\,\,{{R}_{2}}=12.\)
Khi đó \(T=M{{N}_{\max }}\,\Leftrightarrow \,\,MN={{I}_{1}}{{I}_{2}}+{{R}_{1}}+{{R}_{2}}=\sqrt{{{12}^{2}}+{{13}^{2}}}+4+12=\sqrt{313}+16.\)

Gọi \(z=x+yi\Rightarrow {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}=5\,\,\left( 1 \right)\)\(T={{\left| x+yi+2 \right|}^{2}}-{{\left| x+yi-i \right|}^{2}}={{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}-{{x}^{2}}-{{\left( y-1 \right)}^{2}}=4x+2y+3=4\left( x-3 \right)+2\left( y-4 \right)+23\)Ta có: \({{\left[ 4\left( x-3 \right)+2\left( y-4 \right) \right]}^{2}}\le \left( {{4}^{2}}+{{2}^{2}} \right)\left[ {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}} \right]=180\Leftrightarrow 4\left( x-3 \right)+2\left( y-4 \right)\le 6\sqrt{5}\)Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow \dfrac{x-3}{4}=\dfrac{y-4}{2}\Leftrightarrow x-3=2y-8\Leftrightarrow x=2y-5\)Thay vào (1) ta có:
\(\begin{array}{l}{\left( {2y - 8} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 5 \Leftrightarrow 5{\left( {y - 4} \right)^2} = 5 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y - 4 = 1\\y - 4 = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 5\\y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 5\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 3\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 5 + 5i\\z = 1 + 3i\end{array} \right.\\z = 5 + 5i \Rightarrow T = 33(TM)\\z = 1 + 3i \Rightarrow T = 13 < 33(KTM)\end{array}\)

\(=>z=5+5i\)\(=> \left| z \right| =5 \sqrt {2}\)

Đặt \(A(3;2),\,\,B(-1;-2),\,\,C(2;1)\). Gọi M, N lần lượt là điểm biểu diến của z, w.

Vì \(\left| z-3-2i \right|\le 1\) nên tập hợp điểm biểu diễn của z trên hệ trục Oxy là hình tròn tâm A bán kính 1.

Vì \(\left| \text{w}+1+2i \right|\le \left| \text{w}-2-i \right|\) nên tập hợp điểm biểu diễn của w trên hệ trục Oxy là nửa mặt phẳng bờ d chứa B và đường thẳng d. Trong đó d là trung trực của đoạn thẳng BC.

\(P=\left| z-\text{w} \right|=MN\), \({{P}_{\min }}=M{{N}_{\min }}\).

Dễ dàng kiểm tra được A, B, C thẳng hàng và MN ngắn nhất khi MN trùng với \({{M}_{0}}{{N}_{0}}\).

Trong đó, \({{N}_{0}}\): trung điểm của BC, \({{M}_{0}}\): giao của AB và đường tròn \(\left( A;1 \right)\).

Độ dài đoạn \({{M}_{0}}{{N}_{0}}=d\left( A;d \right)-R=d(A;d)-1\)

*) Phương trình đường thẳng d:

\({{N}_{0}}\) là trung điểm BC \(\Rightarrow {{N}_{0}}\left( \dfrac{1}{2};\dfrac{-1}{2} \right)\)

\(\overrightarrow{BC}=(3;3)\Rightarrow d\)có 1 VTPT là \(\left( 1;1 \right)\)

Phương trình đường thẳng d: \(1(x-\dfrac{1}{2})+1(y-\dfrac{-1}{2})=0\Leftrightarrow x+y=0\)

\(d\left( A;d \right)=\dfrac{\left| 3+2 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\dfrac{5}{\sqrt{2}}\Rightarrow {{M}_{o}}{{N}_{0}}=\dfrac{5}{\sqrt{2}}-1=\dfrac{5\sqrt{2}-2}{2}\)

Vậy, \({{P}_{\min }}=\dfrac{5\sqrt{2}-2}{2}\)

Ta có 

\(\begin{array}{l}
\left| {{z^2} + 1} \right| = 2\left| z \right| \Leftrightarrow {\left| {{z^2} + 1} \right|^2} = 4{\left| z \right|^2} \Leftrightarrow \left( {{z^2} + 1} \right)\left( {\overline {{z^2} + 1} } \right) = 4z\overline z \\
\Leftrightarrow \left( {{z^2} + 1} \right)\left( {{{\overline z }^2} + 1} \right) = 4z\overline z \Leftrightarrow {\left( {z\overline z } \right)^2} + {z^2} + {\overline z ^2} + 1 - 4z\overline z = 0\\
\Leftrightarrow {\left( {z + \overline z } \right)^2} + {\left( {z\overline z } \right)^2} - 6z\overline z + 1 = 0\\
\Leftrightarrow {\left( {z + \overline z } \right)^2} + {\left| z \right|^4} - 6{\left| z \right|^2} + 1 = 0\\
\Leftrightarrow {\left| z \right|^4} - 6{\left| z \right|^2} + 1 = - {\left( {z + \overline z } \right)^2} \le 0\\
\Leftrightarrow 3 - 2\sqrt 2 \le {\left| z \right|^2} \le 3 + 2\sqrt 2 \\
\Leftrightarrow \sqrt 2 - 1 \le \left| z \right| \le \sqrt 2 + 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left| {{z_1}} \right| = \sqrt 2 - 1\\
\left| {{z_2}} \right| = \sqrt 2 + 1
\end{array} \right.
\end{array}\)

Dấu = xảy ra 

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left| {{z_1}} \right| = \sqrt 2 - 1\\
\left| {{z_2}} \right| = \sqrt 2 + 1\\
z + \overline z = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
{z_1} = \left( {\sqrt 2 - 1} \right)i\\
{z_1} = \left( {1 - \sqrt 2 } \right)i
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l}
{z_2} = \left( {\sqrt 2 + 1} \right)i\\
{z_2} = \left( { - \sqrt 2 - 1} \right)i
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left| w \right| = \left| {{z_1} + {z_2}} \right| = 2\sqrt 2 \\
\left| w \right| = \left| {{z_1} + {z_2}} \right| = 2
\end{array} \right.\)

Gọi \({{z}_{1}}=x+yi\) ta có:

\(2\left| x-yi+i \right|=\left| x-yi-x-yi-2i \right| \) \(\Leftrightarrow 2\left| x-yi+i \right|=2\left| yi+i \right|\) \(\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}={{\left( y+1 \right)}^{2}}\) \(\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2y+1={{y}^{2}}+2y+1\) \(\Leftrightarrow {{x}^{2}}=4y\) \(\Leftrightarrow y=\dfrac{{{x}^{2}}}{4}\)
\(\Rightarrow \) Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức \({{z}_{1}}\) là parabol \(y=\dfrac{{{x}^{2}}}{4}\).
Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức \({{z}_{2}}\) là là đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(I\left( 10;1 \right)\) bán kính \(R=1\).
\(\Rightarrow \left( C \right):\,\,{{\left( x-10 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=1\).
Gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn cho số phức \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\Rightarrow \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\left| \overrightarrow{OM}-\overrightarrow{ON} \right|=MN\)
\(\Rightarrow {{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}_{\min }}\Leftrightarrow M{{N}_{\min }}\).

Dựa vào hình vẽ ta thấy \(M{{N}_{\min }}\Leftrightarrow MN\bot \) tiếp tuyến tại M của parabol \(y=\dfrac{{{x}^{2}}}{4}\) và đi qua I.
Ta có \(y'=\dfrac{x}{2}\) . Gọi \(M\left( m;\dfrac{{{m}^{2}}}{4} \right)\,\,\left( m>0 \right)\Rightarrow y'\left( m \right)=\dfrac{m}{2}\Rightarrow pttt:\,\,y=\left( x-m \right)+\dfrac{{{m}^{2}}}{4}=\dfrac{m}{2}x-\dfrac{{{m}^{2}}}{4}\,\,\left( d \right)\)
\(\begin{align} \Rightarrow MN\ge d\left( I;d \right)-1\Rightarrow M{{N}_{\min }}\Leftrightarrow d\left( I;d \right)=IM \\ \Leftrightarrow \dfrac{\left| 5m-1-\dfrac{{{m}^{2}}}{4} \right|}{\sqrt{1+\dfrac{{{m}^{2}}}{4}}}=\sqrt{{{\left( m-10 \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{{{m}^{2}}}{4}-1 \right)}^{2}}} \\ \Leftrightarrow \dfrac{{{\left( 5m-1-\dfrac{{{m}^{2}}}{4} \right)}^{2}}}{1+\dfrac{{{m}^{2}}}{4}}={{\left( m-10 \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{{{m}^{2}}}{4}-1 \right)}^{2}} \\ \end{align}\)
Giải phương trình trên ra tìm được \(m=4\), khi đó \(IM=3\sqrt{5}\Rightarrow M{{N}_{\min }}=3\sqrt{5}-1\) .

Ta có \(\left| {{z}_{1}}-3i+5 \right|=2\Leftrightarrow \left| 2i\left( {{z}_{1}}-3i+5 \right) \right|=2.\left| 2i \right|\Leftrightarrow \left| 2i{{z}_{1}}+6+10i \right|=4.\)Và \(\left| i{{z}_{2}}-1+2i \right|=4\Leftrightarrow \left| {{z}_{2}}-\frac{1-2i}{i} \right|=4\Leftrightarrow \left| {{z}_{2}}+2+i \right|=4\Leftrightarrow \left| -\,3{{z}_{2}}-6-3i \right|=12.\)Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}
u = 2i{z_1}\\
v = - \,3{z_2}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left| {u + 6 + 10i} \right| = 4\\
\left| {v - 6 - 3i} \right| = 12
\end{array} \right.\) và \(T=\left| 2i{{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|=\left| 2i{{z}_{1}}-\left( -\,3{{z}_{2}} \right) \right|=\left| u-v \right|.\)Tập hợp điểm \(M\) biểu diễn số phức \(u\) là đường tròn \({{\left( x+6 \right)}^{2}}+{{\left( y+10 \right)}^{2}}=16\) tâm \({{I}_{1}}\left( -\,6;-\,10 \right),\,\,{{R}_{1}}=4.\)Tập hợp điểm \(N\) biểu diễn số phức \(v\) là đường tròn \({{\left( x-6 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=144\) tâm \({{I}_{2}}\left( 6;3 \right),\,\,{{R}_{2}}=12.\)Khi đó \(T=M{{N}_{\max }}\,\Leftrightarrow \,\,MN={{I}_{1}}{{I}_{2}}+{{R}_{1}}+{{R}_{2}}=\sqrt{{{12}^{2}}+{{13}^{2}}}+4+12=\sqrt{313}+16.\)