Cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {z^2} = 9\) và mặt phẳng \(\left( Q \right):x - y + z - 1 = 0\). Hai điểm \(M\) và \(N\) lần lượt di động trên mặt cầu \(\left( S \right)\) và mặt phẳng \(\left( Q \right)\). Xác định vector \(\overrightarrow {MN} \) khi \(MN\) đạt giá trị lớn nhất và vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right)\).
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm là \(I\left( {1;2;0} \right)\) và bán kính là \(R = 3\) \( \Rightarrow {d_{\left( {I,\left( Q \right)} \right)}} = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }} < R\)
\( \Rightarrow \) Mặt cầu \(\left( S \right)\) cắt \(\left( Q \right)\) và tâm \(I\) không thuộc mặt phẳng \(\left( Q \right)\).
Ta có hình vẽ minh họa như sau:
Vẽ hình, ta xác định được độ dài \(MN\) lớn nhất đồng thời vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right)\) như hình vẽ trên.
\( \Rightarrow \) \(I,M,N\) thẳng hàng.
Khi đó, \(MN:\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u = \overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} = \left( {1; - 1;1} \right)\\I\left( {1;2;0} \right) \in MN\end{array} \right.\) \( \Rightarrow MN:\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 1}} = \dfrac{z}{1}\).
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M\left( {1 + t;2 - t;t} \right) \in \left( S \right)\\N\left( {1 + u;2 - u;u} \right) \in \left( Q \right)\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {1 + t - 1} \right)^2} + {\left( {2 - t - 2} \right)^2} + {t^2} = 9\\1 + u - \left( {2 - u} \right) + u - 1 = 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}t = \sqrt 3 \\t = - \sqrt 3 \end{array} \right.\\u = \dfrac{2}{3}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}N\left( {\dfrac{5}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{2}{3}} \right)\\{M_1}\left( {1 + \sqrt 3 ;2 - \sqrt 3 ;\sqrt 3 } \right)\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}N\left( {\dfrac{5}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{2}{3}} \right)\\{M_2}\left( {1 - \sqrt 3 ;2 + \sqrt 3 ; - \sqrt 3 } \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\overrightarrow {{M_1}N} \left( {\dfrac{2}{3} - \sqrt 3 ;\sqrt 3 - \dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3} - \sqrt 3 } \right)\\\overrightarrow {{M_2}N} \left( {\dfrac{2}{3} + \sqrt 3 ; - \sqrt 3 - \dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3} + \sqrt 3 } \right)\end{array} \right.\)
Dễ dàng kiểm tra được \({M_2}N > {M_1}N\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {{M_2}N} = \left( {\dfrac{2}{3} + \sqrt 3 ; - \sqrt 3 - \dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3} + \sqrt 3 } \right)\)
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\), với \(a,b,c\) đều là các số thực dương. Biết mặt cầu \(\left( S \right)\) cắt 3 mặt phẳng tọa độ \(\left( {Oxy} \right),\left( {Oxz} \right),\left( {Oyz} \right)\) theo các giao tuyến là các đường tròn có bán kính bằng \(\sqrt {13} \) và mặt cầu \(\left( S \right)\) đi qua \(M\left( {2;0;1} \right)\). Tính \(a + b + c\)
\(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) có tâm \(I\left( {a;b;c} \right),\,\,\,\left( {a,b,c > 0} \right),\,\,R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} ,\,\,\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} > d} \right)\)
\(\begin{array}{l}M\left( {2;0;1} \right) \in \left( S \right) \Rightarrow {2^2} + {0^2} + {1^2} - 2a.2 - 2b.0 - 2c.1 + d = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 4a + 2c - d = 5 \Leftrightarrow d = 4a + 2c - 5\end{array}\)
Khi đó: \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - 4a - 2c + 5} \)
\(r_1^2 = {R^2} - {d^2}\left( {I;\left( {Oxy} \right)} \right) = {a^2} + {b^2} + {c^2} - 4a - 2c + 5 - {c^2}\)
\( \Rightarrow {a^2} + {b^2} - 4a - 2c + 5 = 13\)
\(\left( S \right)\) cắt 3 mặt phẳng tọa độ \(\left( {Oxy} \right),\left( {Oxz} \right),\left( {Oyz} \right)\) theo các giao tuyến là các đường tròn có bán kính bằng \(\sqrt {13} \) \(\begin{array}{l} \Rightarrow {a^2} + {b^2} = {b^2} + {c^2} = {c^2} + {a^2} = 13 \Rightarrow {a^2} = {b^2} = {c^2} \Leftrightarrow a = b = c > 0\\ \Rightarrow {a^2} + {b^2} - 4a - 2c + 5 = 13 \Leftrightarrow 2{a^2} - 6a - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 4\\a = - 1\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow a = b = c = 4 \Rightarrow a + b + c = 12.\end{array}\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $I(1; - 2;3)$. Phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oy là:
Gọi E là hình chiếu của I trên Oy $ \Rightarrow E\left( {0; - 2;0} \right)$
Suy ra bán kính mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oy là: $R = IE = \sqrt {{{\left( {1 - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 2 + 2} \right)}^2} + {{\left( {3 - 0} \right)}^2}} = \sqrt {10} $
Vậy phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oy là:$\;{(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 3)^2} = 10.$
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với $\left( S \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z - 2 = 0$ và song song với $\left( {\alpha {\rm{\;}}} \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 4x + 3y - 12z + 10 = 0$.
Gọi mặt phẳng $\left( P \right)$ là mặt phẳng cần tìm.$\left( P \right)//\left( {\alpha {\rm{\;}}} \right) \Rightarrow $ Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ có dạng $4x + 3y - 12z + D = 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {D \ne 10} \right)$
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1;2;3} \right)$, bán kính $R = 4$.
$\left( P \right)$ tiếp xúc với $\left( S \right) \Rightarrow d\left( {I;\left( P \right)} \right) = R$$ \Rightarrow \dfrac{{\left| {4.1 + 3.2 - 12.3 + D} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2} + {{\left( { - 12} \right)}^2}} }} = 4 \Leftrightarrow \left| {D - 26} \right| = 52 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}D = 78\\D = - 26\end{array} \right.$
Vậy mặt phẳng $\left( P \right)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán có phương trình $\left[ \begin{array}{l}4x + 3y - 12z - 26 = 0\\4x + 3y - 12z + 78 = 0\end{array} \right.$
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2y+4z-1=0\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x+y-z-m=0.\) Tìm tất cả m để \(\left( P \right)\) cắt \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính lớn nhất.
Mặt cầu (S) có tâm \(I\left( 1;1;-2 \right)\) và bán kính \(R=\sqrt{7}\).
Để mặt phẳng (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất thì \(d\left( I;\left( P \right) \right)\) nhỏ nhất.
Ta có \(d\left( I;\left( P \right) \right)=\frac{\left| 1+1-\left( -2 \right)-m \right|}{\sqrt{3}}=\frac{\left| 4-m \right|}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow d{{\left( I;\left( P \right) \right)}_{\min }}=0\Leftrightarrow m=4\)
Trong không gian tọa độ Oxyz, mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-4y-20=0\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):\,\,x+2y-2z+7=0\) cắt nhau theo một đường tròn có chu vi bằng:
Mặt cầu (S) có tâm \(I\left( 1;2;0 \right)\), bán kính R = 5.
\(d\left( I;\left( \alpha \right) \right)=\frac{\left| 1+2.2+7 \right|}{\sqrt{1+4+4}}=4=d\).
Do đó mặt phẳng \(\left( \alpha \right):\,\,x+2y-2z+7=0\) cắt nhau theo một đường tròn (C) có bán kính \(r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}}=3\).
Vậy chu vi đường tròn (C) bằng \(2\pi r=6\pi \).
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2x-4y-6z+m-3=0\). Tìm số thực m để \(\left( \beta \right):\,\,2x-y+2z-8=0\) cắt \(\left( S \right)\) theo một đường tròn có chu vi bằng \(8\pi \).
Mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo đường tròn có bán kính \(r=\frac{8\pi }{2\pi }=4\).
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( -1;2;3 \right)\), bán kính \(R=\sqrt{17-m}\).
Ta có \(d\left( I;\left( \beta \right) \right)=\frac{\left| -2-2+6-8 \right|}{\sqrt{4+1+4}}=2=d\)
Áp dụng định lí Pytago ta có \({{R}^{2}}={{r}^{2}}+{{d}^{2}}={{2}^{2}}+{{4}^{2}}=20\Leftrightarrow 17-m=20\Leftrightarrow m=-3\).
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho mặt cầu \(\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=9\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x-y-2z+1=0.\) Biết \(\left( P \right)\) cắt \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính \(r.\) Tính \(r.\)
Xét mặt cầu \(\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=9\) có tâm \(I\left( 1;2;2 \right),\) bán kính \(R=3.\)
Khoảng cách từ tâm \(I\,\,\xrightarrow{{}}\,\,mp\,\,\left( P \right)\) là \(d\left( I;\left( P \right) \right)=\frac{\left| 2.1-1.2-2.2+1 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -\,1 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}}=1.\)
Vậy bán kính đường tròn giao tuyến là \(r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}\left( I;\left( P \right) \right)}=2\sqrt{2}.\)
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 4z = 0\). Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\) tại \(A\left( {3;4;3} \right)\) có phương trình là:
Mặt cầu \(\left( S \right):\,\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 4z = 0\) có tâm \(I\left( {1;2;2} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {3^2} - 0} = \sqrt {14} \).
Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\) tại \(A\left( {3;4;3} \right)\), khi đó ta có \(IA \bot \left( P \right)\) nên \(\left( P \right)\) nhận \(\overrightarrow {IA} = \left( {2;2;1} \right)\) là 1 VTPT.
Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A\left( {3;4;3} \right)\) và có 1 VTPT \(\overrightarrow {IA} = \left( {2;2;1} \right)\) là:
\(2\left( {x - 3} \right) + 2\left( {y - 4} \right) + 1\left( {z - 3} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 2x + 2y + z - 17 = 0\).
Một quả cầu (S) có tâm \(I\left( -1;2;1 \right)\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x-2y-2z-2=0\) có phương trình là:
Ta có \(d\left( I;\left( P \right) \right)=\frac{\left| -1-2.2-2.1-2 \right|}{\sqrt{1+4+4}}=3=R\).
Vậy phương trình mặt cầu là: \(\left( S \right):\,\,{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=9\)
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho điểm \(A\left( 1;-\,2;3 \right).\) Gọi \(\left( S \right)\) là mặt cầu chứa \(A,\) có tâm \(I\) thuộc tia \(Ox\) và bán kính 7. Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) là
Vì \(I\) thuộc tia \(Ox\)\(\Rightarrow \) \(I\left( a;0;0 \right)\,\,\,\,\left( a>0 \right)\)\(\Rightarrow \) \(\overrightarrow{AI}=\left( a-1;2;-\,3 \right)\Rightarrow \,\,IA=\sqrt{{{\left( a-1 \right)}^{2}}+13}.\)
Mà \(A\) thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\)\(\Rightarrow \,\,R=IA\Leftrightarrow I{{A}^{2}}=49\Leftrightarrow \,\,{{\left( a-1 \right)}^{2}}=36\Leftrightarrow \,\,a=7.\)
Vậy phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) là \({{\left( x-7 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=49.\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A\left( a;0;0 \right),\,\,B\left( 0;b;0 \right),\,\,C\left( 0;0;c \right)\) với \(a,b,c>0\). Biết rằng \(\left( ABC \right)\) đi qua điểm \(M\left( \frac{1}{7};\frac{2}{7};\frac{3}{7} \right)\) và tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=\frac{72}{7}\) . Tính \(\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}\)
\(\left( ABC \right):\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\) \(\begin{align} M\left( \frac{1}{7};\frac{2}{7};\frac{3}{7} \right)\in \left( ABC \right)\Rightarrow \frac{1}{7a}+\frac{2}{7b}+\frac{3}{7c}=1\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=7 \\ \end{align}\)
\(\left( ABC \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( 1;2;3 \right)\) và bán kính \(R=\sqrt{\frac{72}{7}}\)
\(\begin{align} \Rightarrow d\left( I;\left( ABC \right) \right)=R\Leftrightarrow \frac{\left| \frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}-1 \right|}{\sqrt{\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}}}=\sqrt{\frac{72}{7}} \\ \Leftrightarrow \frac{6}{\sqrt{\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}}}=\sqrt{\frac{72}{7}}\Rightarrow \sqrt{\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}}=\frac{\sqrt{14}}{2} \\ \end{align}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}=\frac{7}{2}\)
Trong không gian Oxyz, mặt cầu tâm \(I\left( 1;\ 2;\ -1 \right)\) và cắt mặt phẳng \(\left( P \right):\ 2x-y+2z-1=0\) theo một đường tròn bán kính bằng \(\sqrt{8}\) có phương trình là:
Theo đề bài ta có: \(r=\sqrt{8}.\)
\(OI=d\left( I;\ \left( P \right) \right)=\frac{\left| 2.1-2+2.\left( -1 \right)-1 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}}=\frac{\left| -3 \right|}{\sqrt{9}}=1.\)
Khi đó ta có: \(R=\sqrt{O{{I}^{2}}+{{r}^{2}}}=\sqrt{1+8}=3.\)
Ta có phương trình mặt cầu cần tìm là: \({{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=9.\)
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 25.\) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\) tại điểm \(H\left( {4;\,\,2;\,\,3} \right)\) có phương trình là:
Mặt cầu \(\left( S \right):\,\,\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 25\) có tâm \(I\left( {1; - 2;\,\,3} \right)\) và bán kính \(R = 5.\)
Ta có: \(\overrightarrow {IH} = \left( {3;\,\,4;\,\,0} \right).\)
Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) cần tìm đi qua \(H\left( {4;\,\,2;\,\,3} \right)\) và tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\) nhận \(\overrightarrow {IH} \) làm VTPT.
\( \Rightarrow \left( P \right):\,\,\,3\left( {x - 4} \right) + 4\left( {y - 2} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 3x + 4y - 20 = 0.\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu có tâm \(I(1;2;-1)\) và tiếp xúc với \((P):x-2y-2z-8=0\)?
\(d\left( I;\left( P \right) \right)=\frac{\left| 1-2.2-2.(-1)-8 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{2}^{2}}}}=3\)
\((P):x-2y-2z-8=0\) tiếp xúc với mặt cầu \(\Leftrightarrow R=d\left( I;\left( \alpha \right) \right)=3\)
\(\Rightarrow \) Phương trình mặt cầu đó là: \({{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z+1)}^{2}}=9\)
Trong không gian \(Oxyz,\) mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( { - 2;\,\,5;\,\,1} \right)\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,\,2x + 2y - z + 7 = 0\) có phương trình là:
Ta có: \(I\left( { - 2;\,\,5;\,\,1} \right)\) và \(\left( P \right):\,\,\,2x + 2y - z + 7 = 0\)
Mặt cầu \(\left( S \right)\) tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) \( \Leftrightarrow d\left( {I;\,\,\left( P \right)} \right) = R.\)
\( \Leftrightarrow R = \dfrac{{\left| {2.\left( { - 2} \right) + 2.5 - 1 + 7} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \dfrac{{12}}{3} = 4.\)
\( \Rightarrow \) Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) cần tìm là: \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 16.\)
Trong không gian Oxyz cho I(2;1;1) và mặt phẳng (P): 2x + y + 2z – 1 = 0. Mặt cầu (S) có tâm I cắt (P) theo một đường tròn có bán kính r = 4. Phương trình của mặt cầu (S) là:
Ta có: \(d = d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2.2 + 1 + 2.1 - 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} }} = \dfrac{6}{3} = 2\).
Áp dụng định lí Pytago ta có: \({R^2} = {d^2} + {r^2} = {2^2} + {4^2} = 20\) \( \Rightarrow R = 2\sqrt 5 \).
Vậy phương trình mặt cầu là: \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 20\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z = 0\). Đường tròn giao tuyến của \(\left( S \right)\) với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có bán kính là:
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {3^2}} = \sqrt {14} \).
Ta có: \(d = d\left( {I;\left( {Oxy} \right)} \right) = \left| {{z_I}} \right| = 3\).
Gọi \(r\) là bán kính đường tròn giao tuyến của \(\left( S \right)\) và \(\left( {Oxy} \right)\), áp dụng định lí Pytago ta có:
\({R^2} = {r^2} + {d^2} \Leftrightarrow {r} = \sqrt {{R^2} - {d^2}} = \sqrt {14 - 9} = \sqrt 5 \).
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;0 - 4} \right)\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\). Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) là:
Phương trình mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) là \(z = 0\) \( \Rightarrow d\left( {I;\left( {Oxy} \right)} \right) = \dfrac{{\left| { - 4} \right|}}{1} = 4\).
Vì \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;0 - 4} \right)\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) nên bán kính mặt cầu \(\left( S \right)\) là \(R = d\left( {I;\left( {Oxy} \right)} \right) = 4\).
Vậy phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\left( {1;0 - 4} \right)\), bán kính \(R = 4\) là:
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 16\)
Trong không gian \(Oxyz,\) cho điểm \(I\left( {1;\,\,2;\,\,5} \right)\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):\,\,\,x - 2y + 2z + 2 = 0.\) Phương trình mặt cầu tâm \(I\) và tiếp xúc với \(\left( \alpha \right)\) là:
Gọi \(R\) là bán kính mặt cầu cần tìm \( \Rightarrow R = d\left( {I;\,\,\left( \alpha \right)} \right) = \dfrac{{\left| {1 - 2.2 + 2.5 + 2} \right|}}{{\sqrt {1 + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} }} = \dfrac{9}{3} = 3.\)
Vậy mặt cầu tâm \(I\) và tiếp xúc với \(\left( \alpha \right)\) có phương trình là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = 9.\)