Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm \(A( - 2;2; - 2)\) và điểm \(B(3; - 3;3)\). Điểm \(M\) thay đổi trong không gian thỏa mãn \(\dfrac{{MA}}{{MB}} = \dfrac{2}{3}\). Điểm \(N(a;b;c)\) thuộc mặt phẳng \((P): - x + 2y - 2z + 6 = 0\) sao cho MN nhỏ nhất. Tính tổng \(T = a + b + c\).
Bước 1: Gọi \(M(x;y;z)\). Tìm quỹ tích của M
Gọi \(M(x;y;z)\). Ta có \(\dfrac{{MA}}{{MB}} = \dfrac{2}{3}\)
\( \Leftrightarrow 9M{A^2} = 4M{B^2} \Leftrightarrow {(x + 6)^2} + {(y - 6)^2} + {(z + 6)^2} = 108\).
Vây điểm \(M\) thuộc mặt cầu tâm \(I( - 6;6; - 6)\), bán kính \(R = 6\sqrt 3 \).
Vậy MN nhỏ nhất khi M, N thuộc đường thẳng đi qua tâm \(I\) và vuông góc với mặt phẳng (P).
Bước 2: Tìm điểm N và tính T.
Gọi \((d)\) là đường thẳng đi qua tâm \(I\) và vuông góc với mặt phẳng (P).
Khi đó \((d):\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 6 - t}\\{y = 6 + 2t}\\{z = - 6 - 2t}\end{array}} \right.\).
Tọa độ điểm \(N\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 6 - t}\\{y = 6 + 2t}\\{z = - 6 - 2t}\\{ - x + 2y - 2z + 6 = 0}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 6 - t\\y = 6 + 2t\\z = - 6 - 2t\\6 + t + 12 + 4t + 12 + 4t + 6 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 2}\\{y = - 2}\\{z = 2}\\{t = - 4}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow N\left( { - 2; - 2;2} \right)\)
Do đó \(T = - 2 - 2 + 2 = - 2\)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu \((S)\) : \({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + \) \({(z - 3)^2} = 9\) tâm \(I\) và mặt phẳng \((P):2x + 2y - z + 24 = 0\). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) trên \((P)\). Điểm \(M\) thuộc \((S)\) sao cho đoạn $M H$ có độ dài lớn nhất. Tìm tọa độ điểm \(M\).
Bước 1: Tìm phương trình IH
Ta có tâm \(I(1;2;3)\) và bán kính \(R = 3\). Do \(d(I;(P)) = 9 > R\) nên mặt phẳng \(M\) lớn nhất nên \(M\) \((P)\) không cắt mặt cầu \((S)\). Do \(H\) là hình chiếu của \(I\) lên (P) và MH lớn nhất nên M là giao điểm của đường thẳng IH với mặt cầu (S). Đường thẳng IH nhận \(\overrightarrow {{n_{(P)}}} = (2;2; - 1)\) làm vecto chỉ phương. Phương trình đường thẳng IH là:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = 2 + 2t.}\\{z = 3 - t}\end{array}} \right.\)
Bước 2: Tìm M.
Vì M là giao điểm của đường thẳng IH với mặt cầu (S)\( \Rightarrow 9{t^2} = 9 \Leftrightarrow t = \pm 1\)\( \Rightarrow {M_1}\left( {3;4;2} \right)\) và \({M_2}( - 1;0;4).\)
\({M_1}H = d\left( {{M_1};(P)} \right) = 12;{M_2}H = d\left( {{M_2};(P)} \right) = 6\). Vậy điểm cần tìm là \(M(3;4;2)\).
Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc \(Oxyz,\)cho mặt phẳng\(\left( P \right): - x + 2y + 2x - 3 = 0\), mặt cầu\(\left( S \right):{x^2} + {\rm{ }}{y^2} + {z^2} - 10x - 4y - 6z + 2 = 0\). Gọi \(\Delta \) là đường thẳng nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\), đi qua \(A\left( {3;1;2} \right)\) và cắt \(\left( S \right)\) tại 2 điểm \(M,N\). Độ dài đoạn thẳng \(MN\) nhỏ nhất là
Mặt cầu (S) có:
\(I\left( {5;2;3} \right);R = \sqrt {{5^2} + {2^2} + {3^2} - 2} = 6\)
Mặt phẳng (P) có \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( { - 1;2;2} \right)\)
\(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| { - 5 + 2.2 + 2.3 - 3} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \dfrac{2}{3} < R\)
=> Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S)
\(IA = \sqrt {{{\left( {3 - 5} \right)}^2} + {{\left( {1 - 2} \right)}^2} + {{\left( {2 - 3} \right)}^2}} \)\( = \sqrt 6 < R\)
=> Điểm A nằm trong mặt cầu.
Gọi H là trung điểm của MN
Khi đó IH vuông góc với MN
\( \Rightarrow MN = 2HN\)\( = 2\sqrt {I{N^2} - I{H^2}} = 2\sqrt {36 - I{H^2}} \)
MN min\( \Leftrightarrow \)IH max
Tam giác IAH vuông tại H
=>\(IH \le IA\)
=> MN min ⬄ \(IH = IA = \sqrt 6 \)
\( \Rightarrow MN = 2\sqrt {36 - 6} = 2\sqrt {30} \)
Trong không gian Oxyz, cho \((P):x + 2y - 2z + 5 = 0\) và 2 mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right)\):\({(x - 2)^2} + {y^2} + {(z + 1)^2} = 1,\)\(\left( {{S_2}} \right):{(x + 4)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 3)^2} = 4\). Gọi M, A, B lần lượt thuộc mặt phẳng \((P)\) và hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right),\left( {{S_2}} \right)\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(S = MA + MB.\)
Bước 1: Xác định các yếu tố của \(\left( P \right),\left( {{S_1}} \right),\left( {{S_2}} \right)\)
Mặt phẳng \((P)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_P}} = (1;2; - 2)\).
Mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right)\) có tâm \({I_1}(2;0; - 1)\) và bán kính \({R_1} = 1\).
Mặt cầu \(\left( {{S_2}} \right)\) có tâm \({I_2}( - 4; - 2;3)\) và bán kính \({R_2} = 2\).
Bước 2: Nhận xét vị trí tương đối của \(\left( {{S_1}} \right),\left( {{S_2}} \right)\) so với nhau và vị trí của hai điểm \({I_1},{I_2}\) đối với mặt phẳng \((P)\)
Ta có \(\overrightarrow {{I_1}{I_2}} = ( - 6; - 2;4)\)\( \Rightarrow {I_1}{I_2} = 2\sqrt {14} > {R_1} + {R_2}\) suy ra \(\left( {{S_1}} \right),\left( {{S_2}} \right)\) nằm ngoài nhau.
Ta có \(\left( {{x_{{I_1}}} + 2{y_{{I_1}}} - 2{z_{{I_1}}} + 5} \right)\)\(\left( {{x_{{I_2}}} + 2{y_{{I_2}}} - 2{z_{{I_2}}} + 5} \right) < 0\) nên \({I_1},{I_2}\) nằm về hai phía đối với mặt phẳng \((P)\).
Bước 3: Gọi P, N, H lần lượt là giao điểm của đoạn thẳng \({I_1}{I_2}\) với hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right),\left( {{S_2}} \right)\) và \((P)\). Tìm \({(MA + MB)_{\min }}\)
Ngoài га \(d\left[ {{I_1},(P)} \right] = 3 > {R_1},d\left[ {{I_2},(P)} \right] = 3 > {R_2}\).
Gọi P, N, H lần lượt là giao điểm của đoạn thẳng \({I_1}{I_2}\) với hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right),\left( {{S_2}} \right)\) và \((P)\).
$AI_1=PI_1;BI_2=NI_2$
$I_1I_2=I_1P+PN+NI_2$
Ta có \(MA + MB + A{I_1} + B{I_2} \ge {I_1}{I_2}\)
\( \Leftrightarrow MA + MB + P{I_1} + N{I_2}\)\( \ge {I_1}P + PN + N{I_2}\)\( \Leftrightarrow MA + MB \ge NP\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(A \equiv P,B \equiv N\) và \(M \equiv H.\)
Khi đó, \({(MA + MB)_{\min }} = NP = {I_1}{I_2} - {R_1} - {R_2}\)\( = 2\sqrt {14} - 3\)
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,mx - 3y - \left( {2m - 3} \right)z - 9 = 0\) (m là tham số thực) và mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = 16\). Biết rằng (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất, khi đó khoảng cách từ điểm \(A\left( { - 1;2;3} \right)\) đến \(\left( P \right)\) bằng
Mặt cầu (S) có tâm \(I\left( {1;1;0} \right)\), bán kính \(R = 4\).
Để (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất thì \(d\left( {I;\left( P \right)} \right)\) phải lớn nhất.
Ta có:
\(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {m - 12} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + {{\left( {2m - 3} \right)}^2} + 9} }} \)\(= \dfrac{{\left| {m - 12} \right|}}{{\sqrt {5{m^2} - 12m + 18} }} = \sqrt {\dfrac{{{{\left( {m - 12} \right)}^2}}}{{5{m^2} - 12m + 18}}} \)
Xét hàm số \(f\left( m \right) = \dfrac{{{{\left( {m - 12} \right)}^2}}}{{5{m^2} - 12m + 18}}\).
\(\begin{array}{l}f'\left( m \right) = \dfrac{{2\left( {m - 12} \right)\left( {5{m^2} - 12m + 18} \right) - \left( {10m - 12} \right){{\left( {m - 12} \right)}^2}}}{{{{\left( {5{m^2} - 12m + 18} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{\left( {m - 12} \right).\left( {10{m^2} - 24m + 36 - 10{m^2} + 132m - 144} \right)}}{{{{\left( {5{m^2} - 12m + 18} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{\left( {m - 12} \right)\left( {108m - 108} \right)}}{{{{\left( {5{m^2} - 12m + 18} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{108\left( {m - 12} \right)\left( {m - 1} \right)}}{{{{\left( {5{m^2} - 12m + 18} \right)}^2}}}\\f'\left( m \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 12\end{array} \right.\\f\left( 1 \right) = 11;f\left( {12} \right) = 0\end{array}\)
=> \(\max f\left( m \right) = f\left( 1 \right) = 11\).
\( \Rightarrow d{\left( {I;\left( P \right)} \right)_{\max }} = \sqrt {11} \Leftrightarrow m = 1\).
Khi đó phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là: \(x - 3y + z - 9 = 0\).
Vậy \(d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| { - 1 - 6 + 3 - 9} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {1^2}} }}\)\( = \dfrac{{13\sqrt {11} }}{{11}}\).
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I(2;1;-1)$ và tiếp xúc với mặt phẳng \((\alpha )\) có phương trình \(2x - 2y - z + 3 = 0\). Bán kính của $(S)$ là:
Vì $(S)$ tiếp xúc với mặt phẳng \((\alpha )\) nên ta có \(R = d(I,\alpha )\).
Suy ra \(R = d(I,\alpha ) = \dfrac{{\left| {2.2 - 2.1 - ( - 1) + 3} \right|}}{{\sqrt {4 + 4 + 1} }} = \dfrac{6}{3} = 2\)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I(3;2;-1)$ và đi qua điểm $A(2;1;2)$. Mặt phẳng nào dưới đây tiếp xúc với $(S)$ tại $A$?
Ta có \(\overrightarrow {AI} = \left( {1;1; - 3} \right)\).
Vì $(P)$ tiếp xúc với $(S)$ tại $A$.
$ \Leftrightarrow IA \bot (P) \Rightarrow \overrightarrow {IA} = \overrightarrow {{n_P}} $.
Do đó, phương trình mặt phẳng $(P)$ có dạng \(x + y - 3z + d = 0\)(*).
Mặt khác, vì \(A \in (P)\) nên ta có \(2 + 1 - 3.2 + d = 0 \Leftrightarrow d = 3\)
Vậy ta có \((P): x + y - 3z + 3 = 0\)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho mặt cầu $(S):{(x - 1)^2} + {(y + 1)^2} + {(z + 2)^2} = 4$ và 2 đường thẳng ${\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 1 - t\\z = t\end{array} \right.$ và ${\Delta _2}:\dfrac{{x - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z}{{ - 1}}$. Một phương trình mặt phẳng $(P)$ song song với ${\Delta _1},{\Delta _2}$ và tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ là:
$(S)$ có tâm $I(1; - 1; - 2);R = 2$
Vì $(P)$ song song với ${\Delta _1},{\Delta _2}$ có vtcp tương ứng là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2; - 1;1} \right);\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 1;1; - 1} \right)\) ta có $\overrightarrow {{n_P}} = {\rm{[}}\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} {\rm{]}} = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&1\\1&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\{ - 1}&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}\\{ - 1}&1\end{array}} \right|} \right) = (0;1;1)$
Gọi $(P):y + z + d = 0$
$\begin{array}{l}d(I;P) = \dfrac{{\left| { - 1 - 2 + d} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{\left| {d - 3} \right|}}{{\sqrt 2 }}\\ \Rightarrow \dfrac{{\left| {d - 3} \right|}}{{\sqrt 2 }} = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}d - 3 = 2\sqrt 2 \\d - 3 = - 2\sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}d = 3 + 2\sqrt 2 \\d = 3 - 2\sqrt 2 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}y + z + 3 + 2\sqrt 2 = 0\\y + z + 3 - 2\sqrt 2 = 0\end{array} \right.\end{array}$
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {0; - 1;0} \right),B\left( {1;1; - 1} \right)$ và mặt cầu $(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 2z - 3 = 0$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua $A, B$ và cắt mặt cầu $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất có phương trình là:
$(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 2z - 3 = 0$ có tâm $I(1;-2;1)$ và bán kính $R = 3$.
Do $(P)$ đi qua $A, B$ và cắt $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất nên $(P)$ đi qua tâm $I$ của $(S)$
Ta có: $\overrightarrow {IA} = \left( { - 1;1; - 1} \right),\overrightarrow {IB} = \left( {0;3; - 2} \right)$; $\overrightarrow {{n_{(P)}}} = \left[ {\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {IB} } \right] = \left( {1; - 2; - 3} \right)$
Phương trình mặt phẳng $(P): 1(x – 0) – 2(y + 1) – 3(z – 0) = 0$ hay $x – 2y – 3z – 2 = 0$.
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ đi qua điểm \(A(2; - 2;5)\) và tiếp xúc với các mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x = 1,\left( \beta \right):y = - 1,\left( \gamma \right):z = 1\). Bán kính của mặt cầu $(S)$ bằng:
Gọi $I\left( {a;b;c} \right)$. Do mặt cầu tiếp xúc với các mặt phẳng \((\alpha),\left( \beta \right),\left( \gamma \right)\) nên ta có ${\rm{d}}\left( {I,\left( \alpha \right)} \right) = {\rm{d}}\left( {I,\left( \beta \right)} \right) = {\rm{d}}\left( {I,\left( \gamma \right)} \right) = R$
Suy ra $\left| {a - 1} \right| = \left| {b + 1} \right| = \left| {c - 1} \right| = R$
Do điểm $A\left( {2; - 2;5} \right)$ thuộc miền ${\rm{x}} > 1;y < - 1;z > 1$ nên $I\left( {a;b;c} \right)$ cũng thuộc miền ${\rm{x}} > 1;y < - 1;z > 1$
Khi đó $I\left( {R + 1; - 1 - R;R + 1} \right)$. Mặt khác $IA = R \Rightarrow {\left( {R - 1} \right)^2} + {\left( {R - 1} \right)^2} + {\left( {R - 4} \right)^2} = {R^2} \Leftrightarrow R = 3$
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):{(x - 2)^2} + {(y + 1)^2} + {(z - 4)^2} = 10$ và mặt phẳng $(P): - 2x + y + \sqrt 5 z + 9 = 0$ . Gọi $(Q)$ là tiếp diện của $(S)$ tại $M(5;0;4)$ . Tính góc giữa $(P)$ và $(Q)$.
Gọi mặt cầu tâm $I(2;-1;4)$.
Mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu $(S)$ (tâm $I$, bán kính $R$) tại điểm $M$ chính là mặt phẳng đi qua điểm $M$ và vuông góc với bán kính $IM $ tại tiếp điểm $M$
Mặt phẳng qua $M(5;0;4)$ vuông góc với $IM $ ($\overrightarrow {IM} = (3;1;0)$) có phương trình:
\((Q): 3\left( {x - 5} \right) + {\text{ }}y\; = 0 \Leftrightarrow 3x + y-15 = 0\)
Có: ${\overrightarrow n _P}( - 2;1;\sqrt 5 );{\overrightarrow n _Q}(3;1;0)$
Nên ta có:
\(\cos \widehat {\left( {(P);(Q)} \right)} = \left| {\cos \widehat {\left( {\overrightarrow {{n_P}} ;\overrightarrow {{n_Q}} } \right)}} \right| = \dfrac{{\left| { - 6 + 1} \right|}}{{\sqrt {10} .\sqrt {10} }} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \widehat {\left( {(P);(Q)} \right)} = {60^0}\)
Trong không gian $Oxyz $, xác định tọa độ tâm $I$ của đường tròn giao tuyến của mặt cầu \((S) :{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 64\) với mặt phẳng\(\left( \alpha \right):2x + 2y + z + 10 = 0.\)
$(S)$ có tâm $I(1;1;1)$ và bán kính $R=8$.
Tâm đường tròn giao tuyến $(C)$ là hình chiếu vuông góc $H$ của $I$ trên $(P)$.
Đường thẳng $\Delta $ qua $I$ và vuông góc với $(P)$ có phương trình là $\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y - 1}}{2} = \dfrac{{z - 1}}{1}$ .
Do $H∈∆$ nên $H(2t+1;2t+1;t+1)$
Ta có $H∈(P)$ nên:
$2(2t+1)+2(2t+1)+t+1+10=0 \Leftrightarrow 9t+15=0 \Leftrightarrow t= - \dfrac{5}{3}$
$ \Rightarrow $ $H( \dfrac{{ - 7}}{3};\dfrac{{ - 7}}{3};\dfrac{{ - 2}}{3})$.
Mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ cắt mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 2y + 4z - 3 = 0$ theo một đường tròn có tọa độ tâm là
Phương trình mặt phẳng $(Oyz):x = 0$ nên ta loại được đáp án A.
Véc tơ pháp tuyến của \(\left( {Oyz} \right):\overrightarrow n = (1;0;0)\)
Tọa độ của mặt cầu $(S)$ là $I\left( { - 1;1; - 2} \right)$
Gọi điểm $O$ là điểm cần tìm có $O\left( {0;b;c} \right)$
Do $IO$ vuông góc với $(Oyz)$ nên \(\overrightarrow {OI} \) cùng phương với \(\overrightarrow n = (1;0;0)\)
Suy ra $b = 1;c = - 2$
Viết phương trình mặt cầu có tâm $I\left( { - 1;2;3} \right)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $\left( P \right):2x - y - 2z + 1 = 0$
Khoảng cách từ $I$ đến $\left( P \right)$ được tính theo công thức $d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2.\left( { - 1} \right) - 2 - 2.3 + 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 3$
Phương trình mặt cầu cần tìm là ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9$
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, xét mặt cầu $\left( S \right)$ đi qua hai điểm $A\left( {1;2;1} \right);B\left( {3;2;3} \right)$, có tâm thuộc mặt phẳng $\left( P \right):x - y - 3 = 0$ , đồng thời có bán kính nhỏ nhất, hãy tính bán kính $R$ của mặt cầu $\left( S \right)$?
Gọi $I$ là tâm mặt cầu $\left( S \right),I\left( {a,b,c} \right)$ .
Suy ra \(a - b - 3 = 0 \Rightarrow a = b + 3 \Rightarrow I(b + 3;b;c)\)
\(I{A^2} = I{B^2} = {R^2}\) \( \Leftrightarrow {(b + 2)^2} + {(b - 2)^2} + {(c - 1)^2} = {b^2} + {(b - 2)^2} + {(c - 3)^2}\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {\left( {b + 2} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} = {b^2} + {\left( {c - 3} \right)^2}\\
\Leftrightarrow {b^2} + 4b + 4 + {c^2} - 2c + 1 = {b^2} + {c^2} - 6c + 9\\
\Leftrightarrow 4b + 4c - 4 = 0\\
\Leftrightarrow b + c - 1 = 0 \Leftrightarrow c = 1 - b
\end{array}\)
\({R^2} = {\left( {b + 2} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {\left( { - b} \right)^2} = 3{b^2} + 8 \ge 8 \Rightarrow R \ge 2\sqrt 2 \)
\(\min R = 2\sqrt 2 \) khi $b = 0$
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\left( \alpha \right)\) cắt mặt cầu $\left( S \right)$ tâm \(I\left( {1; - 3;3} \right)\) theo giao tuyến là đường tròn tâm \(H\left( {2;0;1} \right)\) , bán kính $r = 2$ . Phương trình (S) là:
Gọi $E $ là một điểm thuộc đường tròn.
Ta có \(IH = d\left( {I,(\alpha)} \right);\,R = IE;\,r=HE\)
\(IH = \sqrt {1 + {3^2} + {(-2)^2}} = \sqrt {14} \)
Tam giác $IHE$ vuông tại $H$ nên \(IE = \sqrt {I{H^2} + H{E^2}} = \sqrt {14 + 4} = \sqrt {18} \)
Suy ra phương trình mặt cầu $(S)$ là:
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 18\).
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm \(I\left( { - 3;2; - 4} \right)\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\)?
Vì mặt cầu có tâm \(I( - 3;2; - 4)\) tiếp xúc với $mp\left( {Oxz} \right)$ nên $r = 2$.
Phương trình mặt cầu cần tìm là : \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 4\).
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 25$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right):2x+y-2z+m=~0$. Tìm các giá trị của $m$ để \(\left( \alpha \right)\) và $\left( S \right)$ không có điểm chung.
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( { - 1;2;3} \right)$ bán kính $R = 5$.
Để mặt cầu với mặt phẳng không có điểm chung thì khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng lớn hơn bán kính mặt cầu.
Ta có
$\begin{array}{l}d\left( {I,\left( \alpha \right)} \right) > 5 \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {2.\left( { - 1} \right) + 2 - 2.3 + m} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} > 5\\ \Leftrightarrow \left| {m - 6} \right| > 15 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m - 6 > 15}\\{m - 6 < - 15}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m > 21}\\{m < - 9}\end{array}} \right.\end{array}$
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm \(I( - 1;2; - 5)\) cắt mặt phẳng \(\left( P \right):2x - 2y - z + 10 = 0\) theo thiết diện là hình tròn có diện tích \(3\pi \). Phương trình của $\left( S \right)$ là:
Gọi $O$ là tâm của đường tròn thiết diện, $E$ là một điểm thuộc đường tròn.
Ta có: $IO = d\left( {I,(P)} \right);R = IE$
\(IO = d\left( {I,(P)} \right) = \dfrac{{|2.( - 1) - 2.2 + 5 + 10|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + 1} }} = 3\)
\(S = 3\pi = \pi .O{E^2} \Leftrightarrow O{E^2} = 3\)
Tam giác $IOE$ vuông tại $O$ nên \({R^2} = I{E^2} = I{O^2} + O{E^2} = 3 + 9 = 12.\)
Suy ra phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ là:
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 5} \right)^2} = 12\) hay \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y + 10z + 18 = 0\)
Trong không gian vớ hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I(3;2; - 1)$ và đi qua điểm $A(2;1;2)$. Mặt phẳng nào dưới đây tiếp xúc với $(S)$ tại $A$?
\(\left( P \right)\) là mặt phẳng tiếp xúc với \(\left( S \right)\) tại \(A\) nếu và chỉ nếu \(\left( P \right)\) đi qua \(A\) và $\overrightarrow {IA} \bot \left( P \right)$.
Ta có: \(\overrightarrow {IA} = ( - 1; - 1;3)\) là vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$.
Mà $\left( P \right)$ lại đi qua $A\left( {2;1;2} \right)$ nên:
\(\left( P \right): - 1\left( {x - 2} \right) - 1\left( {y - 1} \right) + 3\left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - 3z + 3 = 0\)
