Các bài toán về mặt cầu và mặt phẳng

Bước 1: Gọi $M(x;y;z)$. Tìm quỹ tích của M

Gọi $M(x;y;z)$. Ta có $\dfrac{{MA}}{{MB}} = \dfrac{2}{3}$

$\Leftrightarrow 9M{A^2} = 4M{B^2} \Leftrightarrow {(x + 6)^2} + {(y - 6)^2} + {(z + 6)^2} = 108$.

Vây điểm $M$ thuộc mặt cầu tâm $I( - 6;6; - 6)$, bán kính $R = 6\sqrt 3$.

Vậy MN nhỏ nhất khi M, N thuộc đường thẳng đi qua tâm $I$ và vuông góc với mặt phẳng (P).

Bước 2: Tìm điểm N và tính T.

Gọi $(d)$ là đường thẳng đi qua tâm $I$ và vuông góc với mặt phẳng (P).

Khi đó $(d):\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 6 - t}\\{y = 6 + 2t}\\{z =  - 6 - 2t}\end{array}} \right.$.

Tọa độ điểm $N$ là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 6 - t}\\{y = 6 + 2t}\\{z =  - 6 - 2t}\\{ - x + 2y - 2z + 6 = 0}\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 6 - t\\y = 6 + 2t\\z =  - 6 - 2t\\6 + t + 12 + 4t + 12 + 4t + 6 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 2}\\{y =  - 2}\\{z = 2}\\{t =  - 4}\end{array}} \right.$

$\Rightarrow N\left( { - 2; - 2;2} \right)$

Do đó $T =  - 2 - 2 + 2 =  - 2$

Bước 1: Tìm phương trình IH

Ta có tâm $I(1;2;3)$ và bán kính $R = 3$. Do $d(I;(P)) = 9 > R$ nên mặt phẳng $M$ lớn nhất nên $M$ $(P)$ không cắt mặt cầu $(S)$. Do $H$ là hình chiếu của $I$ lên (P)  và MH lớn nhất nên M là giao điểm của đường thẳng IH với mặt cầu (S). Đường thẳng IH nhận $\overrightarrow {{n_{(P)}}}  = (2;2; - 1)$ làm vecto chỉ phương. Phương trình đường thẳng IH là:

 $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = 2 + 2t.}\\{z = 3 - t}\end{array}} \right.$

Bước 2: Tìm M.

Vì M là giao điểm của đường thẳng IH với mặt cầu (S)$\Rightarrow 9{t^2} = 9 \Leftrightarrow t =  \pm 1$$\Rightarrow {M_1}\left( {3;4;2} \right)$ và ${M_2}( - 1;0;4).$

${M_1}H = d\left( {{M_1};(P)} \right) = 12;{M_2}H = d\left( {{M_2};(P)} \right) = 6$. Vậy điểm cần tìm là $M(3;4;2)$.

Mặt cầu (S) có:

$I\left( {5;2;3} \right);R = \sqrt {{5^2} + {2^2} + {3^2} - 2}  = 6$

Mặt phẳng (P) có $\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}  = \left( { - 1;2;2} \right)$

$d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| { - 5 + 2.2 + 2.3 - 3} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \dfrac{2}{3} < R$

=> Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S)

$IA = \sqrt {{{\left( {3 - 5} \right)}^2} + {{\left( {1 - 2} \right)}^2} + {{\left( {2 - 3} \right)}^2}}$$= \sqrt 6  < R$

=> Điểm A nằm trong mặt cầu.

Gọi H là trung điểm của MN

Khi đó IH vuông góc với MN

$\Rightarrow MN = 2HN$$= 2\sqrt {I{N^2} - I{H^2}}  = 2\sqrt {36 - I{H^2}}$

MN min$\Leftrightarrow$IH max

Tam giác IAH vuông tại H

=>$IH \le IA$

=> MN min ⬄ $IH = IA = \sqrt 6$

$\Rightarrow MN = 2\sqrt {36 - 6}  = 2\sqrt {30}$

Bước 1: Xác định các yếu tố của $\left( P \right),\left( {{S_1}} \right),\left( {{S_2}} \right)$

Mặt phẳng $(P)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_P}}  = (1;2; - 2)$.

Mặt cầu $\left( {{S_1}} \right)$ có tâm ${I_1}(2;0; - 1)$ và bán kính ${R_1} = 1$.

Mặt cầu $\left( {{S_2}} \right)$ có tâm ${I_2}( - 4; - 2;3)$ và bán kính ${R_2} = 2$.

Bước 2: Nhận xét vị trí tương đối của $\left( {{S_1}} \right),\left( {{S_2}} \right)$ so với nhau  và  vị trí của hai điểm ${I_1},{I_2}$ đối với mặt phẳng $(P)$

Ta có $\overrightarrow {{I_1}{I_2}}  = ( - 6; - 2;4)$$\Rightarrow {I_1}{I_2} = 2\sqrt {14}  > {R_1} + {R_2}$ suy ra $\left( {{S_1}} \right),\left( {{S_2}} \right)$ nằm ngoài nhau.

Ta có $\left( {{x_{{I_1}}} + 2{y_{{I_1}}} - 2{z_{{I_1}}} + 5} \right)$$\left( {{x_{{I_2}}} + 2{y_{{I_2}}} - 2{z_{{I_2}}} + 5} \right) < 0$ nên ${I_1},{I_2}$ nằm về hai phía đối với mặt phẳng $(P)$.

Bước 3: Gọi P, N, H lần lượt là giao điểm của đoạn thẳng ${I_1}{I_2}$ với hai mặt cầu $\left( {{S_1}} \right),\left( {{S_2}} \right)$ và $(P)$. Tìm ${(MA + MB)_{\min }}$

Ngoài га $d\left[ {{I_1},(P)} \right] = 3 > {R_1},d\left[ {{I_2},(P)} \right] = 3 > {R_2}$.

Gọi P, N, H lần lượt là giao điểm của đoạn thẳng ${I_1}{I_2}$ với hai mặt cầu $\left( {{S_1}} \right),\left( {{S_2}} \right)$ và $(P)$.

$AI_1=PI_1;BI_2=NI_2$

$I_1I_2=I_1P+PN+NI_2$

Ta có $MA + MB + A{I_1} + B{I_2} \ge {I_1}{I_2}$

$\Leftrightarrow MA + MB + P{I_1} + N{I_2}$$\ge {I_1}P + PN + N{I_2}$$\Leftrightarrow MA + MB \ge NP$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $A \equiv P,B \equiv N$ và $M \equiv H.$

Khi đó, ${(MA + MB)_{\min }} = NP = {I_1}{I_2} - {R_1} - {R_2}$$= 2\sqrt {14}  - 3$

Mặt cầu (S) có tâm $I\left( {1;1;0} \right)$, bán kính $R = 4$.

Để (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất thì $d\left( {I;\left( P \right)} \right)$ phải lớn nhất.

Ta có:

$d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {m - 12} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + {{\left( {2m - 3} \right)}^2} + 9} }}$$= \dfrac{{\left| {m - 12} \right|}}{{\sqrt {5{m^2} - 12m + 18} }} = \sqrt {\dfrac{{{{\left( {m - 12} \right)}^2}}}{{5{m^2} - 12m + 18}}}$

Xét hàm số $f\left( m \right) = \dfrac{{{{\left( {m - 12} \right)}^2}}}{{5{m^2} - 12m + 18}}$.

$\begin{array}{l}f'\left( m \right) = \dfrac{{2\left( {m - 12} \right)\left( {5{m^2} - 12m + 18} \right) - \left( {10m - 12} \right){{\left( {m - 12} \right)}^2}}}{{{{\left( {5{m^2} - 12m + 18} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{\left( {m - 12} \right).\left( {10{m^2} - 24m + 36 - 10{m^2} + 132m - 144} \right)}}{{{{\left( {5{m^2} - 12m + 18} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{\left( {m - 12} \right)\left( {108m - 108} \right)}}{{{{\left( {5{m^2} - 12m + 18} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{108\left( {m - 12} \right)\left( {m - 1} \right)}}{{{{\left( {5{m^2} - 12m + 18} \right)}^2}}}\\f'\left( m \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 12\end{array} \right.\\f\left( 1 \right) = 11;f\left( {12} \right) = 0\end{array}$

=> $\max f\left( m \right) = f\left( 1 \right) = 11$.

$\Rightarrow d{\left( {I;\left( P \right)} \right)_{\max }} = \sqrt {11}  \Leftrightarrow m = 1$.

Khi đó phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là: $x - 3y + z - 9 = 0$.

Vậy $d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| { - 1 - 6 + 3 - 9} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {1^2}} }}$$= \dfrac{{13\sqrt {11} }}{{11}}$.

Vì $(S)$ tiếp xúc với mặt phẳng $(\alpha )$ nên ta có $R = d(I,\alpha )$.

Suy ra $R = d(I,\alpha ) = \dfrac{{\left| {2.2 - 2.1 - ( - 1) + 3} \right|}}{{\sqrt {4 + 4 + 1} }} = \dfrac{6}{3} = 2$

Ta có $\overrightarrow {AI}  = \left( {1;1; - 3} \right)$.

Vì $(P)$ tiếp xúc với $(S)$ tại $A$.

$\Leftrightarrow IA \bot (P) \Rightarrow \overrightarrow {IA}  = \overrightarrow {{n_P}}$.

Do đó, phương trình mặt phẳng $(P)$ có dạng $x + y - 3z + d = 0$(*).

Mặt khác, vì $A \in (P)$  nên ta có $2 + 1 - 3.2 + d = 0 \Leftrightarrow d = 3$

Vậy ta có $(P): x + y - 3z + 3 = 0$

$(S)$ có tâm $I(1; - 1; - 2);R = 2$

Vì $(P)$ song song với ${\Delta _1},{\Delta _2}$ có vtcp tương ứng là $\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {2; - 1;1} \right);\overrightarrow {{u_2}}  = \left( { - 1;1; - 1} \right)$  ta có $\overrightarrow {{n_P}}  = {\rm{[}}\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} {\rm{]}} = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&1\\1&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\{ - 1}&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}\\{ - 1}&1\end{array}} \right|} \right) = (0;1;1)$

Gọi $(P):y + z + d = 0$

$\begin{array}{l}d(I;P) = \dfrac{{\left| { - 1 - 2 + d} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{\left| {d - 3} \right|}}{{\sqrt 2 }}\\ \Rightarrow \dfrac{{\left| {d - 3} \right|}}{{\sqrt 2 }} = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}d - 3 = 2\sqrt 2 \\d - 3 =  - 2\sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}d = 3 + 2\sqrt 2 \\d = 3 - 2\sqrt 2 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}y + z + 3 + 2\sqrt 2  = 0\\y + z + 3 - 2\sqrt 2  = 0\end{array} \right.\end{array}$

$(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 2z - 3 = 0$ có tâm $I(1;-2;1)$ và bán kính $R = 3$.

Do $(P)$ đi qua $A, B$ và cắt $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất nên $(P)$ đi qua tâm $I$ của $(S)$

Ta có: $\overrightarrow {IA}  = \left( { - 1;1; - 1} \right),\overrightarrow {IB}  = \left( {0;3; - 2} \right)$; $\overrightarrow {{n_{(P)}}}  = \left[ {\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {IB} } \right] = \left( {1; - 2; - 3} \right)$

Phương trình mặt phẳng $(P): 1(x – 0) – 2(y + 1) – 3(z – 0) = 0$ hay $x – 2y – 3z – 2 = 0$.

Gọi $I\left( {a;b;c} \right)$. Do mặt cầu tiếp xúc với các mặt phẳng $(\alpha),\left( \beta  \right),\left( \gamma  \right)$ nên ta có   ${\rm{d}}\left( {I,\left( \alpha  \right)} \right) = {\rm{d}}\left( {I,\left( \beta  \right)} \right) = {\rm{d}}\left( {I,\left( \gamma  \right)} \right) = R$

Suy ra $\left| {a - 1} \right| = \left| {b + 1} \right| = \left| {c - 1} \right| = R$

Do điểm $A\left( {2; - 2;5} \right)$ thuộc miền ${\rm{x}} > 1;y <  - 1;z > 1$ nên $I\left( {a;b;c} \right)$ cũng thuộc miền ${\rm{x}} > 1;y <  - 1;z > 1$

Khi đó $I\left( {R + 1; - 1 - R;R + 1} \right)$. Mặt khác $IA = R \Rightarrow {\left( {R - 1} \right)^2} + {\left( {R - 1} \right)^2} + {\left( {R - 4} \right)^2} = {R^2} \Leftrightarrow R = 3$

Gọi mặt cầu tâm $I(2;-1;4)$.

Mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu $(S)$ (tâm $I$, bán kính $R$) tại điểm $M$ chính là mặt phẳng đi qua điểm $M$ và vuông góc với bán kính $IM$ tại tiếp điểm $M$

Mặt phẳng qua $M(5;0;4)$ vuông góc với $IM$ ($\overrightarrow {IM}  = (3;1;0)$) có phương trình:

$(Q): 3\left( {x - 5} \right) + {\text{ }}y\; = 0 \Leftrightarrow 3x + y-15 = 0$

Có: ${\overrightarrow n _P}( - 2;1;\sqrt 5 );{\overrightarrow n _Q}(3;1;0)$

Nên ta có: 

$\cos \widehat {\left( {(P);(Q)} \right)} = \left| {\cos \widehat {\left( {\overrightarrow {{n_P}} ;\overrightarrow {{n_Q}} } \right)}} \right| = \dfrac{{\left| { - 6 + 1} \right|}}{{\sqrt {10} .\sqrt {10} }} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \widehat {\left( {(P);(Q)} \right)} = {60^0}$

$(S)$ có tâm $I(1;1;1)$ và bán kính $R=8$.

Tâm đường tròn giao tuyến $(C)$ là hình chiếu vuông góc $H$ của $I$ trên $(P)$.

Đường thẳng $\Delta$ qua $I$ và vuông góc với  $(P)$ có phương trình là $\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y - 1}}{2} = \dfrac{{z - 1}}{1}$ .

Do $H∈∆$ nên $H(2t+1;2t+1;t+1)$

Ta có $H∈(P)$ nên:

$2(2t+1)+2(2t+1)+t+1+10=0 \Leftrightarrow 9t+15=0 \Leftrightarrow t= - \dfrac{5}{3}$

$\Rightarrow$ $H( \dfrac{{ - 7}}{3};\dfrac{{ - 7}}{3};\dfrac{{ - 2}}{3})$.

Phương trình mặt phẳng $(Oyz):x = 0$ nên ta loại được đáp án A.

Véc tơ pháp tuyến của $\left( {Oyz} \right):\overrightarrow n  = (1;0;0)$

Tọa độ của mặt cầu $(S)$ là $I\left( { - 1;1; - 2} \right)$

Gọi điểm $O$ là điểm cần tìm có $O\left( {0;b;c} \right)$

Do $IO$ vuông góc với $(Oyz)$ nên $\overrightarrow {OI}$ cùng phương với $\overrightarrow n  = (1;0;0)$

Suy ra $b = 1;c =  - 2$ 

Khoảng cách từ $I$ đến $\left( P \right)$  được tính theo công thức $d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2.\left( { - 1} \right) - 2 - 2.3 + 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 3$

Phương trình mặt cầu cần tìm là ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9$

Gọi $I$ là tâm mặt cầu $\left( S \right),I\left( {a,b,c} \right)$ .

Suy ra $a - b - 3 = 0 \Rightarrow a = b + 3 \Rightarrow I(b + 3;b;c)$

$I{A^2} = I{B^2} = {R^2}$ $\Leftrightarrow {(b + 2)^2} + {(b - 2)^2} + {(c - 1)^2} = {b^2} + {(b - 2)^2} + {(c - 3)^2}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {b + 2} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} = {b^2} + {\left( {c - 3} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {b^2} + 4b + 4 + {c^2} - 2c + 1 = {b^2} + {c^2} - 6c + 9\\ \Leftrightarrow 4b + 4c - 4 = 0\\ \Leftrightarrow b + c - 1 = 0 \Leftrightarrow c = 1 - b \end{array}$

${R^2} = {\left( {b + 2} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {\left( { - b} \right)^2} = 3{b^2} + 8 \ge 8 \Rightarrow R \ge 2\sqrt 2$

$\min R = 2\sqrt 2$ khi $b = 0$

Gọi $E$ là một điểm thuộc đường tròn.

Ta có $IH = d\left( {I,(\alpha)} \right);\,R = IE;\,r=HE$

$IH = \sqrt {1 + {3^2} + {(-2)^2}}  = \sqrt {14}$

Tam giác $IHE$ vuông tại $H$ nên $IE = \sqrt {I{H^2} + H{E^2}}  = \sqrt {14 + 4}  = \sqrt {18}$

Suy ra phương trình mặt cầu $(S)$ là:

${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 18$.

Vì mặt cầu có tâm $I( - 3;2; - 4)$ tiếp xúc với $mp\left( {Oxz} \right)$ nên $r = 2$.

Phương trình mặt cầu cần tìm là : ${\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 4$.

Mặt cầu $\left( S \right)$  có tâm $I\left( { - 1;2;3} \right)$ bán kính $R = 5$.

Để mặt cầu với mặt phẳng không có điểm chung thì khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng lớn hơn bán kính mặt cầu.

Ta có

$\begin{array}{l}d\left( {I,\left( \alpha  \right)} \right) > 5 \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {2.\left( { - 1} \right) + 2 - 2.3 + m} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} > 5\\ \Leftrightarrow \left| {m - 6} \right| > 15 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m - 6 > 15}\\{m - 6 <  - 15}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m > 21}\\{m <  - 9}\end{array}} \right.\end{array}$

Gọi $O$ là tâm của đường tròn thiết diện, $E$ là một điểm thuộc đường tròn.

Ta có: $IO = d\left( {I,(P)} \right);R = IE$

$IO = d\left( {I,(P)} \right) = \dfrac{{|2.( - 1) - 2.2 + 5 + 10|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + 1} }} = 3$

$S = 3\pi  = \pi .O{E^2} \Leftrightarrow O{E^2} = 3$

Tam giác $IOE$ vuông tại $O$ nên ${R^2} = I{E^2} = I{O^2} + O{E^2} = 3 + 9 = 12.$

Suy ra phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ là:

${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 5} \right)^2} = 12$ hay ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y + 10z + 18 = 0$

$\left( P \right)$ là mặt phẳng tiếp xúc với $\left( S \right)$ tại $A$ nếu và chỉ nếu $\left( P \right)$ đi qua $A$ và $\overrightarrow {IA} \bot \left( P \right)$.

Ta có: $\overrightarrow {IA}  = ( - 1; - 1;3)$ là vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$.

Mà $\left( P \right)$  lại đi qua $A\left( {2;1;2} \right)$ nên:

$\left( P \right): - 1\left( {x - 2} \right) - 1\left( {y - 1} \right) + 3\left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - 3z + 3 = 0$