Nguyên hàm

Ta có $f\left( x \right) = 2\sin x\cos 2x = \sin 3x + \sin \left( { - x} \right) = \sin 3x - \sin x$.

Khi đó ta có $\int {f\left( x \right)dx}  = \int {\left( {\sin 3x - \sin x} \right)dx}  =  - \dfrac{1}{3}\cos 3x + \cos x + C$.

Ta có: $\int f (x)dx = \int {{x^{\frac{3}{2}}}} dx = \dfrac{2}{5}{x^{\frac{5}{2}}} + C$.

Ta có : $\int\limits_{}^{} {\dfrac{{dx}}{{5x + 4}}}  = \dfrac{1}{5}\ln \left| {5x + 4} \right| + C$.

$\int {\left( {{x^2} + 1} \right)dx}  = \dfrac{{{x^3}}}{3} + x + C$.

Ta có $\int {\left( {{e^x} + 3} \right)dx}  = {e^x} + 3x + C$.

Ta có: $F\left( x \right) = \int {\left( {2x + {e^x}} \right)dx}  = {x^2} + {e^x} + C$.

Do $F\left( 0 \right) = 2019$ nên ${0^2} + {e^0} + C = 2019 \Leftrightarrow C = 2018$.

Vậy $F\left( x \right) = {x^2} + {e^x} + 2018$.

Đáp án A: $\int{kf(x)dx}=k\int{f(x)dx}$ với $k\ne 0$ nên A sai.

$f\left( x \right)=2x+\sin 2x$ $\Rightarrow F\left( x \right)=\int{f\left( x \right)dx}=\int{\left( 2x+\sin 2x \right)dx}$ $={{x}^{2}}-\dfrac{1}{2}\cos 2x+C$

$\int {f\left( x \right)dx}  = \int {\left( {2x + 4} \right)dx}  = {x^2} + 4x + C$.

Vì $F\left( x \right) = \left( {a\sin x + b\cos x} \right){e^x}$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \left( {3\sin x - 2\cos x} \right){e^x}$ nên ta có:

$\begin{array}{l}F'\left( x \right) = f\left( x \right)\\ \Rightarrow f\left( x \right) = \left( {a\sin x + b\cos x} \right)'{e^x} + \left( {a\sin x + b\cos x} \right)\left( {{e^x}} \right)'\\ \Rightarrow f\left( x \right) = \left( {a\cos x - b\sin x + a\sin x + b\cos x} \right){e^x}\\ \Rightarrow f\left( x \right) = \left[ {\left( {a - b} \right)\sin x + \left( {a + b} \right)\cos x} \right]{e^x}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - b = 3\\a + b =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{2}\\b =  - \dfrac{5}{2}\end{array} \right..\end{array}$

Vậy $a + b = \dfrac{1}{2} - \dfrac{5}{2} =  - 2$.

Mệnh đề sai là: $\int {{{\cos }^2}x} dx = \dfrac{{{{\cos }^3}x}}{3} + C$. Vì

$\begin{array}{l}\int {{{\cos }^2}xdx}  = \int {\dfrac{{1 + \cos 2x}}{2}dx} \\ = \dfrac{1}{2}\int {\left( {1 + \cos 2x} \right)dx}  = \dfrac{1}{2}\left( {x + \dfrac{{\sin 2x}}{2}} \right) + C\end{array}$

$\int\limits_{{}}^{{}}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{{}}^{{}}{\left( {{x}^{3}}+2x \right)dx}=\dfrac{{{x}^{4}}}{4}+{{x}^{2}}+C$

$\int {{{\tan }^2}x} dx = \int {\left( {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)dx = \tan x - x + C} .$

$\int f (x){\rm{d}}x = \int {(1 + \sin x)} dx = x - \cos x + C.$

$f\left( x \right)=\left( \int\limits_{{}}^{{}}{f\left( x \right)dx} \right)'=12{{x}^{2}}-6x+2$

Ta có: $\int{f\left( x \right)dx}=\int{\left( -4{{x}^{3}}+1 \right)dx}$ $=-\dfrac{4{{x}^{4}}}{4}+x+C=-{{x}^{4}}+x+C.$

$\int\limits_{}^{} {kf\left( x \right)dx}  = k\int\limits_{}^{} {f\left( x \right)dx}$ với mọi $k \ne 0$ và với mọi hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $R.$

Dựa vào đáp án, ta thấy rằng:

Đáp án A: $\int{f\left( x \right).g\left( x \right)\,\text{d}x}\ne \int{f\left( x \right)\,\text{d}x}. \int{g\left( x \right)\,\text{d}x}$ nên A sai.

Đáp án B: $\int{k.f\left( x \right)\,\text{d}x}=k.\int{f\left( x \right)\,\text{d}x}, k\ne 0$ nên B đúng.

Đáp án C: $\int{\left( f\left( x \right)\pm g\left( x \right) \right)\,\text{d}x}=\int{f\left( x \right)\,\text{d}x}\,\,\pm \,\,\int{g\left( x \right)\,\text{d}x}$ nên C đúng.

Đáp án D: $\int{{f}'\left( x \right)\,\text{d}x}=f\left( x \right)+C$ nên D đúng.

Ta có các đáp án A, B, C đều đúng theo tính chất nguyên hàm.

Đáp án D sai vì không có tính chất nguyên hàm của tích hai hàm số bằng tích hai nguyên hàm.

Ta có: $F'\left( x \right)=\left( \cos 3x \right)'=-3\sin 3x$ nên $F\left( x \right)=\cos 3x$ là 1 nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=-3\sin 3x$.