Để hàm số \(F\left( x \right) = \left( {a\sin x + b\cos x} \right){e^x}\) là một nguyên hàm của hàm số

\(f\left( x \right) = \left( {3\sin x - 2\cos x} \right){e^x}\) thì giá trị \(a + b\) là:

Vì \(F\left( x \right) = \left( {a\sin x + b\cos x} \right){e^x}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \left( {3\sin x - 2\cos x} \right){e^x}\) nên ta có:

\(\begin{array}{l}F'\left( x \right) = f\left( x \right)\\ \Rightarrow f\left( x \right) = \left( {a\sin x + b\cos x} \right)'{e^x} + \left( {a\sin x + b\cos x} \right)\left( {{e^x}} \right)'\\ \Rightarrow f\left( x \right) = \left( {a\cos x - b\sin x + a\sin x + b\cos x} \right){e^x}\\ \Rightarrow f\left( x \right) = \left[ {\left( {a - b} \right)\sin x + \left( {a + b} \right)\cos x} \right]{e^x}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - b = 3\\a + b =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{2}\\b =  - \dfrac{5}{2}\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy \(a + b = \dfrac{1}{2} - \dfrac{5}{2} =  - 2\).