Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x)=x2ex3+1.
∫f(x)dx=∫x2ex3+1dx.
Đặt t=x3+1⇒dt=3x2dx⇒x2dx=dt3
⇒∫f(x)dx=∫etdt3=13et+C=13ex3+1+C.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có ∫xexdx=∫xd(ex)=xex−∫exdx+C=xex−ex+C.
Cho hàm số f(x) liên tục trên R. Biết cos2x là một nguyên hàm của hàm số f(x).ex, họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f′(x).ex là:
Ta có: cos2x là một nguyên hàm của hàm số f(x)ex
⇒f(x)ex=(cos2x)′⇔f(x)ex=−2sin2x.
Lại có: ∫f(x)exdx=cos2x
Đặt {u=f(x)dv=exdx⇒{du=f′(x)dxv=ex
⇒cos2x=f(x)ex−∫f′(x)exdx⇔cos2x=−2sin2x−∫f′(x)exdx+C⇔∫f′(x)exdx=−2sin2x−cos2x+C.
Biết ∫xsin2xdx=axcos2x+bsin2x+C với a,b là các số hữu tỉ. Tính tích ab .
Ta có I=∫xsin2xdx
Đặt {u=xdv=sin2xdx⇒{dx=duv=−12cos2x.
⇒I=−x2cos2x+12∫cos2xdx⇔I=−x2cos2x+14sin2x+C
Mà I=axcos2x+bsin2x+C⇒{a=−12b=14⇒ab=−18.
Nguyên hàm của hàm số y=xex là:
Ta có ∫ydx=∫xexdx
Đặt {u=xdv=exdx⇒{du=dxv=ex
⇒∫ydx=xex−∫exdx=xex−ex+C=(x−1)ex+C.
Nguyên hàm của hàm số y=xcosx là:
Đặt {u=xdv=cosxdx⇒{du=dxv=sinx
⇒∫xcosxdx=xsinx−∫sinxdx=xsinx+cosx+C
Biết F(x)=−(x−a)cos3xb+1csin3x+2019 là một nguyên hàm của hàm số f(x)=(x−2)sin3x,a,b,c∈Z. Giá trị của ab+c bằng
Ta có F(x)=∫f(x)=∫(x−2)sin3x.
Đặt {u=x−2dv=sin3xdx⇒{du=dxv=−13cos3x
⇒F(x)=∫f(x)=−13(x−2)cos3x+13∫cos3xdx⇒F(x)=−(x−2)cos3x3+19sin3x+C
Mà F(x)=−(x−a)cos3xb+1csin3x+2019
Nên a=2;b=3;c=9.
Vậy ab+c=2.3+9=15.
Cho hàm số f(x) liên tục trên R∗+. Biết sin2x là một nguyên hàm của hàm số f(x)x, họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f′(x)lnx trên khoảng (0;+∞) là:
Theo giả thiết ta có: (sin2x)′=f(x)x⇒f(x)x=2cos2x⇒f(x)=2xcos2x.
Xét I=∫f′(x)lnxdx.
Đặt {u=lnxdv=f′(x)dx⇒{du=1xdxv=f(x).
I=f(x)lnx−∫f(x)xdx=2xcos2x.lnx−2∫cos2xdx=2xcos2x.lnx−sin2x+C
Họ nguyên hàm của hàm số f(x)=4x(1+lnx) là:
Thử từng đáp án ta có :
Thử đáp án A : (2x2lnx+3x2)′=4xlnx+2x2.1x+6x=4xlnx+8x . Nên loại A.
Thử đáp án B: (2x2lnx+x2)′=4xlnx+2x21x+2x=4xlnx+2x+2x=4x(1+lnx)
⇒2x2lnx+x2 là một nguyên hàm của hàm số f(x)=4x(1+lnx).
⇒ Họ nguyên hàm của hàm số f(x)=4x(1+lnx) là 2x2lnx+x2+C.
Biết F(x)=e2x(asinx+bcosx)+25 là một nguyên hàm củaf(x)=e2xsinx(a,b∈Q). Tính giá trị biểu thức T=a+2b−1.
Ta có F(x)=e2x(asinx+bcosx)+25
Suy ra
F′(x)=2e2x(asinx+bcosx)+(acosx−bsinx)e2x=e2x[(2a−b)sinx+(2b+a)cosx]
Từ đề bài ta có F′(x)=f(x)⇔e2x[(2a−b)sinx+(2b+a)cosx]=e2xsinx
⇔{2a−b=12b+a=0⇔{a=25b=−15 suy ra T=a+2b−1=25+2.(−15)−1=−1
Chọn kết luận đúng:
Đặt ∫xd(ex)=xex−∫exdx (ở đây u=x,v=ex)
Cho nguyên hàm ∫xcosxdx. Nếu đặt {u=xdv=cosxdx thì:
Ta có:
{u=xdv=cosxdx⇒{du=dxv=sinx
Cho nguyên hàm ∫xsinxdx. Nếu đặt {u=xdv=sinxdx thì:
Ta có:
{u=xdv=sinxdx⇒{du=dxv=−cosx
Khi đó ∫xsinxdx=−xcosx+∫cosxdx
Tìm họ nguyên hàm ∫(2x−1)lnxdx.
Đặt {u=lnxdv=(2x−1)dx⇔{du=dxxv=x2−x.
Khi đó : ∫(2x−1)lnxdx=(x2−x)lnx−∫x2−xxdx.
=(x2−x)lnx−∫(x−1)dx=(x2−x)lnx−x22+x+C.
F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)=lnx và F(1)=3. Khi đó giá trị của F(e) là:
Theo đề bài ta có: F(x)=∫f(x)dx=∫lnxdx.
Đặt {u=lnxdv=dx⇒{du=1xdxv=x
⇒F(x)=∫lnxdx=xlnx−∫x.1xdx=xlnx−∫dx=xlnx−x+C.
Theo đề bài ta có: F(1)=3⇒1.ln1−1+C=3⇔C=4.
⇒F(x)=xlnx−x+4⇒F(e)=elne−e+4=4.
Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)=xlnx. Tính F″ ?
F\left( x \right) là nguyên hàm của hàm số f(x)
\Leftrightarrow F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} \Leftrightarrow F'\left( x \right) = f\left( x \right) = x\ln x \Leftrightarrow F''\left( x \right) = \ln x + x.\dfrac{1}{x} = 1 + \ln x
Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số y = \ln x?
\int {\ln x} dx = x\ln x - \int {xd\left( {\ln x} \right)} {\rm{\;}} = x\ln x - \int {x.\dfrac{1}{x}dx} {\rm{\;}} = x\ln x - \int {dx} {\rm{\;}} = x\ln x - x + C
\Rightarrow y = x\ln x - x là một nguyên hàm của hàm số y = \ln x.
Cho F\left( x \right) = \left( {x + 1} \right){e^x} là một nguyên hàm của hàm số f\left( x \right){e^{3x}}. Tìm nguyên hàm của hàm số f'\left( x \right){e^{3x}}.
I = \int {f'\left( x \right){e^{3x}}} dx
Đặt \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{u = {e^{3x}}}\\{dv = f'\left( x \right)dx}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{du = 3{e^{3x}}dx}\\{v = f\left( x \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow I = f\left( x \right){e^{3x}} - 3\int {f\left( x \right){e^{3x}}dx} = f\left( x \right){e^{3x}} - 3\left( {x + 1} \right){e^x} + C
Ta có \int {f\left( x \right){e^{3x}}dx} = \left( {x + 1} \right){e^x} \Rightarrow f\left( x \right){e^{3x}}dx = {\left[ {\left( {x + 1} \right){e^x}} \right]^\prime } = {e^x} + \left( {x + 1} \right){e^x} = \left( {x + 2} \right){e^x}
Vậy I = \left( {x + 2} \right){e^x} - 3\left( {x + 1} \right){e^x} + C = \left( { - 2x - 1} \right){e^x} + C.
Tìm nguyên hàm I = \int {\left( {x + 1} \right){e^{3x}}{\mkern 1mu} {\rm{d}}x} .
Đặt\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{u = x + 1}\\{{\rm{d}}v = {e^{3x}}{\mkern 1mu} {\rm{d}}x}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{d}}u = {\rm{d}}x}\\{v = \dfrac{{{e^{3x}}}}{3}}\end{array}} \right. \Rightarrow I = \left( {x + 1} \right)\dfrac{{{e^{3x}}}}{3} - \dfrac{1}{3}\int {{e^{3x}}{\mkern 1mu} {\rm{d}}x} = \dfrac{1}{3}\left( {x + 1} \right){e^{3x}} - \dfrac{{{e^{3x}}}}{9} + C.
Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = {x^2}{e^x} + 1 là:
Ta có: \int {\left( {{x^2}{e^x} + 1} \right)dx} = \int {{x^2}{e^x}dx} + \int {dx} = x + \int {{x^2}{e^x}dx}
Đặt \left\{ \begin{array}{l}u = {x^2}\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2xdx\\v = {e^x}\end{array} \right.
Suy ra \int {{x^2}{e^x}dx} = {x^2}{e^x} - \int {2x{e^x}dx} = {x^2}{e^x} - 2\int {x{e^x}dx}
Đặt \left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = {e^x}\end{array} \right. \Rightarrow \int {x{e^x}dx} = x{e^x} - \int {{e^x}dx}
Do đó \int {\left( {{x^2}{e^x} + 1} \right)dx} = x + \int {{x^2}{e^x}dx} = x + {x^2}{e^x} - 2\int {x{e^x}dx} = x + {x^2}{e^x} - 2\left( {x{e^x} - \int {{e^x}dx} } \right) = x + {x^2}{e^x} - 2\left( {x{e^x} - {e^x}} \right) + C = {e^x}\left( {{x^2} - 2x + 2} \right) + x + C
