Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^2}{e^{{x^3} + 1}}\).
\(\int\limits_{}^{} {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{}^{} {{x^2}{e^{{x^3} + 1}}dx} \).
Đặt \(t = {x^3} + 1 \Rightarrow dt = 3{x^2}dx \Rightarrow {x^2}dx = \dfrac{{dt}}{3}\)
\( \Rightarrow \int\limits_{}^{} {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{}^{} {\dfrac{{{e^t}dt}}{3}} = \dfrac{1}{3}{e^t} + C = \dfrac{1}{3}{e^{{x^3} + 1}} + C\).
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có \(\int\limits_{}^{} {x{e^x}dx} = \int\limits_{}^{} {xd\left( {{e^x}} \right)} = x{e^x} - \int\limits_{}^{} {{e^x}dx} + C = x{e^x} - {e^x} + C\).
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết \(\cos 2x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right).{e^x}\), họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f'\left( x \right).{e^x}\) là:
Ta có: \(\cos 2x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right){e^x}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow f\left( x \right){e^x} = \left( {\cos 2x} \right)'\\ \Leftrightarrow f\left( x \right){e^x} = - 2\sin 2x.\end{array}\)
Lại có: \(\int {f\left( x \right){e^x}dx} = \cos 2x\)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)dx\\v = {e^x}\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \cos 2x = f\left( x \right){e^x} - \int {f'\left( x \right){e^x}dx} \\ \Leftrightarrow \cos 2x = - 2\sin 2x - \int {f'\left( x \right){e^x}dx} + C\\ \Leftrightarrow \int {f'\left( x \right){e^x}dx = } - 2\sin 2x - \cos 2x + C.\end{array}\)
Biết \(\int {x\sin 2xdx = axc{\rm{os}}2x + b\sin 2x + C} \) với \(a,\,\,b\) là các số hữu tỉ. Tính tích \(ab\) .
Ta có \(I = \int {x\sin 2xdx} \)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = \sin 2xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}dx = du\\v = - \dfrac{1}{2}{\rm{cos}}2x\end{array} \right.\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = - \dfrac{x}{2}{\rm{cos2}}x + \dfrac{1}{2}\int {{\rm{cos}}2xdx} \\ \Leftrightarrow I = - \dfrac{x}{2}{\rm{cos2}}x + \dfrac{1}{4}\sin 2x + C\end{array}\)
Mà \(I = ax\cos {\rm{2}}x + b\sin 2x + C \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \dfrac{1}{2}\\b = \dfrac{1}{4}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow ab = - \dfrac{1}{8}.\)
Nguyên hàm của hàm số \(y = x{e^x}\) là:
Ta có \(\int {ydx} = \int {x{e^x}dx} \)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = {e^x}\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \int {ydx} = x{e^x} - \int {{e^x}dx = x{e^x} - {e^x} + C} = \left( {x - 1} \right){e^x} + C.\)
Nguyên hàm của hàm số \(y = x\cos x\) là:
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = \cos xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = \sin x\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int {x\cos xdx} = x\sin x - \int {\sin xdx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = x\sin x + \cos x + C\end{array}\)
Biết \(F\left( x \right) = - \dfrac{{\left( {x - a} \right){\rm{cos3}}x}}{b} + \dfrac{1}{c}\sin 3x + 2019\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \left( {x - 2} \right)\sin 3x,\)\(a,b,c \in \mathbb{Z}\). Giá trị của \(ab + c\) bằng
Ta có \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)} = \int {\left( {x - 2} \right)\sin 3x} \).
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x - 2\\dv = \sin 3xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = - \dfrac{1}{3}\cos 3x\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow F\left( x \right) = \int {f\left( x \right) = - \dfrac{1}{3}\left( {x - 2} \right)\cos 3x + \dfrac{1}{3}\int {\cos 3xdx} } \\ \Rightarrow F\left( x \right) = - \dfrac{{\left( {x - 2} \right)\cos 3x}}{3} + \dfrac{1}{9}\sin 3x + C\end{array}\)
Mà \(F\left( x \right) = - \dfrac{{\left( {x - a} \right)\cos 3x}}{b} + \dfrac{1}{c}\sin 3x + 2019\)
Nên \(a = 2;\,\,b = 3;\,\,c = 9.\)
Vậy \(ab + c = 2.3 + 9 = 15.\)
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}_ + ^*\). Biết \(\sin 2x\) là một nguyên hàm của hàm số \(\dfrac{{f\left( x \right)}}{x}\), họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f'\left( x \right)\ln x\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) là:
Theo giả thiết ta có: \(\left( {\sin 2x} \right)' = \dfrac{{f\left( x \right)}}{x} \Rightarrow \dfrac{{f\left( x \right)}}{x} = 2\cos 2x \Rightarrow f\left( x \right) = 2x\cos 2x\).
Xét \(I = \int {f'\left( x \right)\ln xdx} \).
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = f'\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{1}{x}dx\\v = f\left( x \right)\end{array} \right.\).
\(\begin{array}{l}I = f\left( x \right)\ln x - \int {\dfrac{{f\left( x \right)}}{x}dx} \\\,\,\,\, = 2x\cos 2x.\ln x - 2\int {\cos 2xdx} \\\,\,\,\, = 2x\cos 2x.\ln x - \sin 2x + C\end{array}\)
Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 4x\left( {1 + \ln x} \right)\) là:
Thử từng đáp án ta có :
Thử đáp án A : \(\left( {2{x^2}\ln x + 3{x^2}} \right) ' = 4x\ln x + 2{x^2}.\dfrac{1}{x} + 6x = 4x\ln x + 8x\) . Nên loại A.
Thử đáp án B: \(\left( {2{x^2}\ln x + {x^2}} \right)' = 4x\ln x + 2{x^2}\dfrac{1}{x} + 2x = 4x\ln x + 2x + 2x = 4x\left( {1 + \ln x} \right)\)
\( \Rightarrow 2{x^2}\ln x + {x^2}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 4x\left( {1 + \ln x} \right).\)
\( \Rightarrow \) Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 4x\left( {1 + \ln x} \right)\) là \(2{x^2}\ln x + {x^2} + C.\)
Biết \(F\left( x \right) = {e^{2x}}\left( {a\sin x + b\cos x} \right) + \dfrac{2}{5}\) là một nguyên hàm của\(f\left( x \right) = {e^{2x}}\sin x\,\,\,\left( {a,b \in \mathbb{Q}} \right)\). Tính giá trị biểu thức \(T = a + 2b - 1\).
Ta có \(F\left( x \right) = {e^{2x}}\left( {a\sin x + b\cos x} \right) + \dfrac{2}{5}\)
Suy ra
\(\begin{array}{l}F'\left( x \right) = 2{e^{2x}}\left( {a\sin x + b\cos x} \right) + \left( {a\cos x - b\sin x} \right){e^{2x}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {e^{2x}}\left[ {\left( {2a - b} \right)\sin x + \left( {2b + a} \right)\cos x} \right]\end{array}\)
Từ đề bài ta có \(F'\left( x \right) = f\left( x \right) \Leftrightarrow {e^{2x}}\left[ {\left( {2a - b} \right)\sin x + \left( {2b + a} \right)\cos x} \right] = {e^{2x}}\sin x\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a - b = 1\\2b + a = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{2}{5}\\b = - \dfrac{1}{5}\end{array} \right.\) suy ra \(T = a + 2b - 1 = \dfrac{2}{5} + 2.\left( { - \dfrac{1}{5}} \right) - 1 = - 1\)
Chọn kết luận đúng:
Đặt \(\int {xd\left( {{e^x}} \right)} = x{e^x} - \int {{e^x}dx} \) (ở đây \(u = x,v = {e^x}\))
Cho nguyên hàm \(\int {x\cos xdx} \). Nếu đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = \cos xdx\end{array} \right.\) thì:
Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = \cos xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = \sin x\end{array} \right.\)
Cho nguyên hàm \(\int {x\sin xdx} \). Nếu đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = \sin xdx\end{array} \right.\) thì:
Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = \sin xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = - \cos x\end{array} \right.\)
Khi đó \(\int {x\sin xdx} = - x\cos x + \int {\cos xdx} \)
Tìm họ nguyên hàm $\int {\left( {2x - 1} \right)\ln x{\mkern 1mu} {\rm{d}}x} .$
Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{u = \ln x}\\{{\rm{d}}v = \left( {2x - 1} \right){\mkern 1mu} {\rm{d}}x}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{d}}u = \dfrac{{{\rm{d}}x}}{x}}\\{v = {x^2} - x}\end{array}} \right..$
Khi đó : $\int {\left( {2x - 1} \right)\ln x{\mkern 1mu} {\rm{d}}x} = \left( {{x^2} - x} \right)\ln x - \int {\dfrac{{{x^2} - x}}{x}{\mkern 1mu} {\rm{d}}x} .$
$ = \left( {{x^2} - x} \right)\ln x - \int {\left( {x - 1} \right){\mkern 1mu} {\rm{d}}x} = \left( {{x^2} - x} \right)\ln x - \dfrac{{{x^2}}}{2} + x + C.$
$F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \ln x$ và $F\left( 1 \right) = 3.$ Khi đó giá trị của $F\left( e \right)$ là:
Theo đề bài ta có: $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\ln xdx} .$
Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{u = \ln x}\\{dv = dx}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{du = \dfrac{1}{x}dx}\\{v = x}\end{array}} \right.$
$ \Rightarrow F\left( x \right) = \int {\ln xdx} = x\ln x - \int {x.\dfrac{1}{x}dx = x\ln x - \int {dx} = x\ln x - x + C.} $
Theo đề bài ta có: $F\left( 1 \right) = 3 \Rightarrow 1.\ln {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 1 - 1 + C = 3 \Leftrightarrow C = 4.$
$\begin{array}{*{20}{l}}{\rm{\;}}&{ \Rightarrow F\left( x \right) = x\ln x - x + 4}\\{{\rm{ \;}}}&{ \Rightarrow F\left( e \right) = e\ln e - e + 4 = 4.}\end{array}$
Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = x\ln x$. Tính $F''\left( x \right)$ ?
$F\left( x \right)$ là nguyên hàm của hàm số f(x)
$ \Leftrightarrow F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} \Leftrightarrow F'\left( x \right) = f\left( x \right) = x\ln x \Leftrightarrow F''\left( x \right) = \ln x + x.\dfrac{1}{x} = 1 + \ln x$
Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số $y = \ln x$?
$\int {\ln x} dx = x\ln x - \int {xd\left( {\ln x} \right)} {\rm{\;}} = x\ln x - \int {x.\dfrac{1}{x}dx} {\rm{\;}} = x\ln x - \int {dx} {\rm{\;}} = x\ln x - x + C$
$ \Rightarrow y = x\ln x - x$ là một nguyên hàm của hàm số $y = \ln x$.
Cho $F\left( x \right) = \left( {x + 1} \right){e^x}$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right){e^{3x}}$. Tìm nguyên hàm của hàm số $f'\left( x \right){e^{3x}}$.
$I = \int {f'\left( x \right){e^{3x}}} dx$
Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{u = {e^{3x}}}\\{dv = f'\left( x \right)dx}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{du = 3{e^{3x}}dx}\\{v = f\left( x \right)}\end{array}} \right. $ $\Rightarrow I = f\left( x \right){e^{3x}} - 3\int {f\left( x \right){e^{3x}}dx} = f\left( x \right){e^{3x}} - 3\left( {x + 1} \right){e^x} + C$
Ta có $\int {f\left( x \right){e^{3x}}dx} = \left( {x + 1} \right){e^x} \Rightarrow f\left( x \right){e^{3x}}dx = {\left[ {\left( {x + 1} \right){e^x}} \right]^\prime } = {e^x} + \left( {x + 1} \right){e^x} = \left( {x + 2} \right){e^x}$
Vậy $I = \left( {x + 2} \right){e^x} - 3\left( {x + 1} \right){e^x} + C = \left( { - 2x - 1} \right){e^x} + C.$
Tìm nguyên hàm $I = \int {\left( {x + 1} \right){e^{3x}}{\mkern 1mu} {\rm{d}}x} .$
Đặt$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{u = x + 1}\\{{\rm{d}}v = {e^{3x}}{\mkern 1mu} {\rm{d}}x}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{d}}u = {\rm{d}}x}\\{v = \dfrac{{{e^{3x}}}}{3}}\end{array}} \right.$$ \Rightarrow I = \left( {x + 1} \right)\dfrac{{{e^{3x}}}}{3} - \dfrac{1}{3}\int {{e^{3x}}{\mkern 1mu} {\rm{d}}x} = \dfrac{1}{3}\left( {x + 1} \right){e^{3x}} - \dfrac{{{e^{3x}}}}{9} + C.$
Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = {x^2}{e^x} + 1$ là:
Ta có: \(\int {\left( {{x^2}{e^x} + 1} \right)dx} = \int {{x^2}{e^x}dx} + \int {dx} = x + \int {{x^2}{e^x}dx} \)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2}\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2xdx\\v = {e^x}\end{array} \right.\)
Suy ra \(\int {{x^2}{e^x}dx} = {x^2}{e^x} - \int {2x{e^x}dx} = {x^2}{e^x} - 2\int {x{e^x}dx} \)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = {e^x}\end{array} \right. \Rightarrow \int {x{e^x}dx} = x{e^x} - \int {{e^x}dx} \)
Do đó \(\int {\left( {{x^2}{e^x} + 1} \right)dx} = x + \int {{x^2}{e^x}dx} \) \( = x + {x^2}{e^x} - 2\int {x{e^x}dx} \) \( = x + {x^2}{e^x} - 2\left( {x{e^x} - \int {{e^x}dx} } \right)\) \( = x + {x^2}{e^x} - 2\left( {x{e^x} - {e^x}} \right) + C\) \( = {e^x}\left( {{x^2} - 2x + 2} \right) + x + C\)
