Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = {x^2}{e^x} + 1$ là:

Ta có: $\int {\left( {{x^2}{e^x} + 1} \right)dx}  = \int {{x^2}{e^x}dx}  + \int {dx}  = x + \int {{x^2}{e^x}dx}$

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2}\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2xdx\\v = {e^x}\end{array} \right.$

Suy ra $\int {{x^2}{e^x}dx}  = {x^2}{e^x} - \int {2x{e^x}dx}  = {x^2}{e^x} - 2\int {x{e^x}dx}$

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = {e^x}\end{array} \right. \Rightarrow \int {x{e^x}dx}  = x{e^x} - \int {{e^x}dx}$

Do đó $\int {\left( {{x^2}{e^x} + 1} \right)dx}  = x + \int {{x^2}{e^x}dx}$   $= x + {x^2}{e^x} - 2\int {x{e^x}dx}$ $= x + {x^2}{e^x} - 2\left( {x{e^x} - \int {{e^x}dx} } \right)$ $= x + {x^2}{e^x} - 2\left( {x{e^x} - {e^x}} \right) + C$ $= {e^x}\left( {{x^2} - 2x + 2} \right) + x + C$