Cho \(I = \int\limits_0^4 {\sin \sqrt x dx} ,\) nếu đặt \(u = \sqrt x \) thì:
Ta có: \(I = \int\limits_0^4 {\sin \sqrt x dx} \)
Đặt \(u = \sqrt x \Rightarrow {u^2} = x \Rightarrow dx = 2udu\)
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow u = 0\\x = 4 \Rightarrow u = 2\end{array} \right..\)
\( \Rightarrow I = \int\limits_0^2 {2u\sin udu} .\)
Xét \(\int {\dfrac{{{e^x}}}{{\sqrt {{e^x} + 1} }}dx} \), nếu đặt \(t = \sqrt {{e^x} + 1} \) thì \(\int {\dfrac{{{e^x}}}{{\sqrt {{e^x} + 1} }}dx} \) bằng
Đặt \(I = \int {\dfrac{{{e^x}}}{{\sqrt {{e^x} + 1} }}dx} \)
Đặt \(t = \sqrt {{e^x} + 1} \Rightarrow {t^2} = {e^x} + 1\) \( \Rightarrow 2tdt = {e^x}dx\).
Khi đó ta có: \(I = \int {\dfrac{{2tdt}}{t} = \int {2dt.} } \)
Cho \(\int {f\left( x \right)dx = F\left( x \right) + C} \). Khi đó \(\int {f\left( {2x - 3} \right)dx} \)
Đặt \(t = 2x - 3 \Rightarrow dt = 2xdx\).
Khi đó ta có: \(\int {f\left( {2x - 3} \right)dx} = \dfrac{1}{2}\int {f\left( t \right)dt} \).
Mà \(\int {f\left( x \right)dx} = F\left( x \right) + C\) nên \(\int {f\left( t \right)dt} = F\left( t \right) + C = F\left( {2x - 3} \right) + C\).
Vậy \(\int {f\left( {2x - 3} \right)dx} = \dfrac{1}{2}F\left( {2x - 3} \right) + C\).
Nếu \(u\left( t \right) = v\left( x \right)\) thì:
Ta có: \(u\left( t \right) = v\left( x \right) \Rightarrow u'\left( t \right)dt = v'\left( x \right)dx \Rightarrow dt = \dfrac{{v'\left( x \right)}}{{u'\left( t \right)}}dx\)
Cho $I = \int {x\sqrt {3{x^2} + 1} dx} = \dfrac{1}{a}\sqrt {{{\left( {3{x^2} + 1} \right)}^b}} + C$. Giá trị $a$ và $b$ lần lượt là:
Đặt $t = \sqrt {3{x^2} + 1} \Rightarrow 2tdt = 6xdx \Rightarrow \dfrac{1}{3}tdt = xdx$
$I = \dfrac{1}{3}\int {{t^2}} dt = \dfrac{1}{9}{t^3} + C = \dfrac{1}{9}\sqrt {{{\left( {3{x^2} + 1} \right)}^3}} + C$
Vậy $a = 9;b = 3$
Cho nguyên hàm \(\int {2xf\left( {{x^2}} \right)dx} \). Nếu đặt \(t = {x^2}\) thì:
Ta có: \(t = {x^2}\)\( \Rightarrow dt = 2xdx\) hay \(\int {2xf\left( {{x^2}} \right)dx} = \int {f\left( t \right)dt} \)
Cho \(A = \int {{x^5}\sqrt {1 + {x^2}} dx = a} {t^7} + b{t^5} + c{t^3} + C\) , với \(t = \sqrt {1 + {x^2}} \). Tính \(A = a - b - c\)
Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 1} \Leftrightarrow {x^2} = {t^2} - 1 \Rightarrow xdx = tdt\)
\(A = \int {{{\left( {{t^2} - 1} \right)}^2}{t^2}dt} = \int {\left( {{t^6} - 2{t^4} + {t^2}} \right)dt} \)\( = \dfrac{{{t^7}}}{7} - \dfrac{2}{5}{t^5} + \dfrac{{{t^3}}}{3} + C\) \( \Rightarrow a = \dfrac{1}{7};b = - \dfrac{2}{5};c = \dfrac{1}{3}\) \( \Rightarrow a - b - c = \dfrac{{22}}{{105}}\)
Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = {x^2}{e^{{x^3} + 1}}$.
$f(x) = {x^2}{e^{{x^3} + 1}}$ $ \Rightarrow \int {f(x)dx = \int {{x^2}} {e^{{x^3} + 1}}dx = \dfrac{1}{3}\int {{e^{{x^3} + 1}}} d({x^3} + 1) } $ $= \dfrac{1}{3}{e^{{x^3} + 1}} + C.$
Cho \(I = \int\limits_{}^{} {\dfrac{{{e^{2x}}dx}}{{\sqrt {{e^x} - 1} }}} = a{t^3} + bt + C\) với $t = \sqrt {{e^x} - 1} $. Giá trị biểu thức \(A = {a^2} + {b^2}\) bằng:
Đặt $t = \sqrt {{e^x} - 1} \Rightarrow {t^2} = {e^x} - 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2tdt = {e^x}dx\\{e^x} = {t^2} + 1\end{array} \right.$
$ \Rightarrow I = \int\limits_{}^{} {\dfrac{{{e^x}.{e^x}dx}}{{\sqrt {{e^x} - 1} }}} = \int\limits_{}^{} {\dfrac{{\left( {{t^2} + 1} \right).2tdt}}{t}} $ $ = 2\int\limits_{}^{} {\left( {{t^2} + 1} \right)dt} = 2\left( {\dfrac{{{t^3}}}{3} + t} \right) + C$ $ \Rightarrow a = \dfrac{2}{3};b = 2 \Rightarrow {a^2} + {b^2} = \dfrac{{40}}{9}$
Biết $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm trên $\mathbb{R}$ của hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{{2017x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^{2018}}}}$ thỏa mãn $F\left( 1 \right) = 0.$ Tìm giá trị nhỏ nhất $m$ của $F\left( x \right).$
Ta có $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\mkern 1mu} {\rm{d}}x} = \int {\dfrac{{2017x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^{2018}}}}{\rm{d}}x} = \dfrac{{2017}}{2}\int {\dfrac{{{\rm{d}}\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^{2018}}}}} = - \dfrac{1}{{2{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^{2017}}}} + C.$
Mà $F\left( 1 \right) = 0$$ \Rightarrow $$C - \dfrac{1}{{{2^{2018}}}} = 0 \Leftrightarrow C = \dfrac{1}{{{2^{2018}}}}.$
Khi đó $F\left( x \right) = - \dfrac{1}{{2{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^{2017}}}} + \dfrac{1}{{{2^{2018}}}}.$
Mặt khác ${\left( {{x^2} + 1} \right)^{2017}} \ge 1 \Leftrightarrow - \dfrac{1}{{2{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^{2017}}}} \ge - {\mkern 1mu} \dfrac{1}{2}$ suy ra $F\left( x \right) \ge - {\mkern 1mu} \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^{2018}}}} \Rightarrow m = \dfrac{{1 - {2^{2017}}}}{{{2^{2018}}}}.$
Cho \(I = \int {\dfrac{{\sin 2x + \sin x}}{{\sqrt {1 + 3\cos x} }}} dx = F\left( x \right) \). Giá trị của $F\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) - F\left( 0 \right)$ là:
Đặt \(t = \sqrt {1 + 3\cos x} \) \( \Rightarrow {t^2} - 1 = 3\cos x \Rightarrow 2tdt = - 3\sin xdx\)
Lại có: \(\sin 2x + \sin x = 2\sin x\cos x + \sin x = \left( {2\cos x + 1} \right)\sin x\)
Do đó \(\dfrac{{\sin 2x + \sin x}}{{\sqrt {1 + 3\cos x} }}dx = \dfrac{{\left( {2\cos x + 1} \right)\sin xdx}}{{\sqrt {1 + 3\cos x} }}\) \( = \dfrac{{\left( {2.\dfrac{{{t^2} - 1}}{3} + 1} \right).\dfrac{{ - 2tdt}}{3}}}{t} = - \dfrac{2}{9}\left( {2{t^2} + 1} \right)dt\)
$ \Rightarrow I = - \int {\dfrac{2}{9}\left( {2{t^2} + 1} \right)dt} = - \dfrac{2}{9}\left( {\dfrac{{2{t^3}}}{3} + t} \right) + C$$ = - \dfrac{2}{9}\left( {\dfrac{{2\sqrt {{{\left( {1 + 3\cos x} \right)}^3}} }}{3} + \sqrt {1 + 3\cos x} } \right) + C$
$ \Rightarrow F\left( x \right) = - \dfrac{2}{9}\left( {\dfrac{{2\sqrt {{{\left( {1 + 3\cos x} \right)}^3}} }}{3} + \sqrt {1 + 3\cos x} } \right) + C$
$ \Rightarrow F\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) - F\left( 0 \right) = \dfrac{{34}}{{27}}$
Cho $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{1}{{2{e^x} + 3}}$ thỏa mãn $F\left( 0 \right) = 10.$ Tìm $F\left( x \right).$
Ta có $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\mkern 1mu} dx} = \int {\dfrac{{dx}}{{2{e^x} + 3}}} = \int {\dfrac{{{e^x}}}{{2{e^{2x}} + 3{e^x}}}dx} .$
Đặt ${e^x} = t \Rightarrow {e^x}dx = dt.$
$\begin{array}{*{20}{l}}{\rm{\;}}&{ \Rightarrow I = \int {\dfrac{{dt}}{{2{t^2} + 3t}} = \dfrac{1}{3}\int {\left( {\dfrac{1}{t} - \dfrac{2}{{2t + 3}}} \right)dt = \dfrac{1}{3}\left( {\ln t - \ln \left( {2t + 3} \right)} \right)} } + C}\\{{\rm{ \;}}}&{ \Rightarrow F\left( x \right) = \dfrac{1}{3}\left( {x - \ln \left( {2{e^x} + 3} \right)} \right) + C.}\end{array}$
Mà $F\left( 0 \right) = 10$ suy ra $C - \dfrac{{\ln 5}}{3} = 10 \Leftrightarrow C = 10 + \dfrac{{\ln 5}}{3}.$
Vậy $F\left( x \right) = \dfrac{1}{3}\left( {x - \ln \left( {2{e^x} + 3} \right)} \right) + 10 + \dfrac{{\ln 5}}{3}.$
Cho \(\int {\sqrt[6]{{1 - {{\cos }^3}x}}\sin x{{\cos }^5}xdx} = 2\left( {\dfrac{{{t^\alpha }}}{\alpha } - \dfrac{{{t^\beta }}}{\beta }} \right) + C\) với \(t = \sqrt[6]{{1 - {{\cos }^3}x}}\) . Tỉ số \(\dfrac{\alpha }{\beta }\) bằng:
Ta có: \(\int {\sqrt[6]{{1 - {{\cos }^3}x}}\sin x{{\cos }^5}xdx} = \int {\sqrt[6]{{1 - {{\cos }^3}x}}.{{\cos }^3}x.\sin x.{{\cos }^2}xdx} \)
Đặt \(t = \sqrt[6]{{1 - {{\cos }^3}x}}\) \( \Rightarrow {t^6} = 1 - {\cos ^3}x\) \( \Rightarrow 6{t^5}dt = 3\sin x{\cos ^2}xdx\) và \({\cos ^3}x = 1 - {t^6}\).
$\int {t.(1 - {t^6}).2{t^5}.dt} = \int {(2{t^6} - 2{t^{12}}).dt} = \dfrac{{2{t^7}}}{7} - {\dfrac{{2t}}{{13}}^{13}} + C = 2\left( {\dfrac{{{t^7}}}{7} - \dfrac{{{t^{13}}}}{{13}}} \right) + C$
\( \Rightarrow \alpha = 7;\beta = 13 \Rightarrow \dfrac{\alpha }{\beta } = \dfrac{7}{{13}}\)
Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {x^2}\sqrt {4 + {x^3}} $ là:
$\int {{x^2}\sqrt {4 + {x^3}} dx = \dfrac{1}{3}\int {\sqrt {4 + {x^3}} .d\left( {{x^3} + 4} \right)} } $$ = \dfrac{1}{3}\dfrac{{{{\left( {4 + {x^3}} \right)}^{\dfrac{3}{2}}}}}{{\dfrac{3}{2}}} + C = \dfrac{2}{9}\sqrt {{{\left( {4 + {x^3}} \right)}^3}} + C$.
Cho $I = \int {x\sqrt {{x^2} + 3} dx} = \dfrac{{\sqrt {{{\left( {{x^2} + 3} \right)}^b}} }}{a} + C$ với \(a,b \in \mathbb{Z}\). Giá trị biểu thức \(S = \log _b^2a + {\log _a}b + 2016\) là:
Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 3} \Rightarrow {t^2} = {x^2} + 3 \Rightarrow 2tdt = 2xdx \Rightarrow xdx = tdt\).
Suy ra $I = \int {t.tdt = \int {{t^2}dt = \dfrac{{{t^3}}}{3}} } + C$$ = \dfrac{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + 3} } \right)}^3}}}{3} + C = \dfrac{{\sqrt {{{\left( {{x^2} + 3} \right)}^3}} }}{3} + C$
Vậy \(S = \log _3^23 + {\log _3}3 + 2016 = 2018\)
Cho $I = \int {\dfrac{{d{\rm{x}}}}{{\sqrt {2{\rm{x}} - 1} + 4}}} = \sqrt {2{\rm{x}} - 1} - \ln {\left( {\sqrt {2{\rm{x}} - 1} + 4} \right)^n} + C$ ở đó \(n \in {\mathbb{N}^*}\). Giá trị biểu thức \(S = \sin \dfrac{{n\pi }}{8}\) là:
Đặt \(t = \sqrt {2{\rm{x}} - 1} \Rightarrow {t^2} = 2{\rm{x}} - 1 \Rightarrow t{\rm{d}}t = d{\rm{x}}\)\( \Rightarrow I = \int {\dfrac{{t{\rm{d}}t}}{{t + 4}} = \int {\left( {1 - \dfrac{4}{{t + 4}}} \right)dt = t - 4\ln \left| {t + 4} \right| + C} } \)
$ = \sqrt {2{\rm{x}} - 1} - \ln {\left( {\sqrt {2{\rm{x}} - 1} + 4} \right)^4} + C$
Vậy $n = 4\;$ suy ra \(S = \sin \dfrac{{4\pi }}{8} = 1\)
Cho \(I = \int {\dfrac{{{{\ln }^2}x}}{{x\sqrt {\ln x + 1} }}dx = } \dfrac{2}{{15}}\left( {b{t^5} + c{t^3} + d.t} \right) + C\), biết \(t = \sqrt {\ln x + 1} \) . Giá trị biểu thức \(A = \dfrac{2}{{15}}bcd\) là:
Đặt \(t = \sqrt {\ln x + 1} \) \( \Rightarrow {t^2} = \ln x + 1 \Rightarrow 2tdt = \dfrac{1}{x}dx\) và \(\ln x = {t^2} - 1\)
\(I = \int {\dfrac{{{{\left( {{t^2} - 1} \right)}^2}}}{t}.2tdt} \)\( = \int {2\left( {{t^4} - 2{t^2} + 1} \right)dt} \) \( = 2\left( {\dfrac{{{t^5}}}{5} - \dfrac{{2{t^3}}}{3} + t} \right) + C\) \( = \dfrac{2}{{15}}\left( {3{t^5} - 10{t^3} + 15t} \right) + C\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 3\\c = - 10\\d = 15\end{array} \right.\)
Vậy \(A = \dfrac{2}{{15}}.3.\left( { - 10} \right).15 = - 60\)
Nếu \(x = u\left( t \right)\) thì:
Theo công thức đổi biến số ta được \(f\left( x \right)dx = f\left( {u\left( t \right)} \right).u'\left( t \right)dt\)
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \dfrac{{\sin 2x}}{{\cos 2x - 1}}\).
\(\int {\dfrac{{\sin 2xdx}}{{\cos 2x - 1}}} = \int {\dfrac{{2\sin x\cos x}}{{1 - 2{{\sin }^2}x - 1}}dx} = - \int {\dfrac{{\cos x}}{{\sin x}}dx} = - \int {\dfrac{{d\left( {\sin x} \right)}}{{\sin x}}} = - \ln \left| {\sin x} \right| + C\)
Nếu có \(x = \sin t\) thì:
Ta có: \(x = \sin t \Rightarrow dx = \left( {\sin t} \right)'dt = \cos tdt\)