Cho $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{1}{{2{e^x} + 3}}$ thỏa mãn $F\left( 0 \right) = 10.$ Tìm $F\left( x \right).$

Ta có $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\mkern 1mu} dx}  = \int {\dfrac{{dx}}{{2{e^x} + 3}}}  = \int {\dfrac{{{e^x}}}{{2{e^{2x}} + 3{e^x}}}dx} .$

Đặt ${e^x} = t \Rightarrow {e^x}dx = dt.$

$\begin{array}{*{20}{l}}{\rm{\;}}&{ \Rightarrow I = \int {\dfrac{{dt}}{{2{t^2} + 3t}} = \dfrac{1}{3}\int {\left( {\dfrac{1}{t} - \dfrac{2}{{2t + 3}}} \right)dt = \dfrac{1}{3}\left( {\ln t - \ln \left( {2t + 3} \right)} \right)} }  + C}\\{{\rm{ \;}}}&{ \Rightarrow F\left( x \right) = \dfrac{1}{3}\left( {x - \ln \left( {2{e^x} + 3} \right)} \right) + C.}\end{array}$

Mà $F\left( 0 \right) = 10$ suy ra $C - \dfrac{{\ln 5}}{3} = 10 \Leftrightarrow C = 10 + \dfrac{{\ln 5}}{3}.$

Vậy $F\left( x \right) = \dfrac{1}{3}\left( {x - \ln \left( {2{e^x} + 3} \right)} \right) + 10 + \dfrac{{\ln 5}}{3}.$