Cho \(I = \int_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{{ - 4\sin x + 7\cos x}}{{2\sin x + 3\cos x}}} dx\)\( = a + 2\ln \dfrac{b}{c}\) với \(a > 0;b,c \in {\mathbb{N}^*};\dfrac{b}{c}\) tối giản. Tính giá trị biểu thức \(P = a - b + c\).
Bước 1: Xét đồng nhất thức
\(\sin x + 7\cos x{\rm{ }}\)\( = A(2\sin x + 3\cos x)\)\( + B(2\cos x - 3\sin x)\)
\( = (2A - 3B)\sin x + (3A + 2B)\cos x\)
Do đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2A - 3B}&{ = - 4}\\{3A + 2B}&{ = 7}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{A = 1}\\{B = 2}\end{array}} \right.\)
Bước 2: Tính I rồi tìm a, b, c. Tính P.
\(\begin{array}{l}I = \int_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{{ - 4\sin x + 7\cos x}}{{2\sin x + 3\cos x}}} dx\\ = \int_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\left( {1 + \dfrac{{2{{(2\sin x + 3\cos x)}^\prime }}}{{2\sin x + 3\cos x}}} \right)} dx\\ = \left. {(x + 2\ln |2\sin x + 3\cos x|)} \right|_0^{\dfrac{\pi }{2}}\\ = \dfrac{\pi }{2} + 2\ln \dfrac{2}{3}\end{array}\)
\( \Rightarrow a = \dfrac{\pi }{2},b = 2,c = 3\)
Vậy \(P = a - b + c = \dfrac{\pi }{2} - 2 + 3 = \dfrac{\pi }{2} + 1\).
Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc \(v(km/h)\) phụ thuộc thời gian \(t(h)\) có đồ thị là một phần của đường parabol như hình bên. Tính quãng đường \(S\) mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó.
Bước 1: Gọi \((P):v(t) = a.{t^2} + b.t + c\). Lập hệ phương trình tìm a, b, c.
Gọi \((P):v(t) = a.{t^2} + b.t + c\) đi qua các điểm có tọa độ \((0;2);(1;1);(3;5)\)
Ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a.0 + b.0 + c = 2}\\{a.1 + b.1 + c = 1}\\{a.9 + b.3 + c = 5}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{c = 2}\\{b = - 2.{\rm{ }}}\\{a = 1}\end{array}} \right.} \right.\)
Bước 2: Tính quãng đường vật di chuyển trong 3 giờ
Vậy \(v(t) = 2 - 2t + {t^2}\)
Quãng đường vật di chuyển trong 3 giờ là
\(S = \int_0^3 {\left( {2 - 2t + {t^2}} \right)} dt\)\( = \left. {\left( {2t - {t^2} + \dfrac{1}{3}{t^3}} \right)} \right|_0^3 = 6(km).\)
Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc \({v_1}(t) = 2t(m/s)\). Đi được 12 giây, người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc \(a = - 12\left( {\;{\rm{m}}/{{\rm{s}}^2}} \right)\). Tính quãng đường \(s(m)\) đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn
Quãng đường xe đi được trong \(12\;{\rm{s}}\) đầu là: \({s_1} = \int_0^{12} 2 tdt = 144m\).
Sau khi đi được \(12\;{\rm{s}}\) ô tô đạt vận tốc \(v = 24\;{\rm{m}}/{\rm{s}}\), sau đó vận tốc của ô tô có phương trình \(v = 24 - 12t\). Xe dừng hẳn sau \(2\;{\rm{s}}\) kể từ khi phanh.
Quãng đường ô tô đi được từ khi đạp phanh đến khi dừng hẳn là:
\({s_2} = \int_0^2 {(24 - 12t)} dt = 24m.\)
Vậy tổng quãng đường ô tô đi được là
\(s = {s_1} + {s_2} = 144 + 24 \)\(= 168m\).
Cho hàm số \(f\left( x \right)\). Biết \(f\left( 0 \right) = 4\) và \(f'\left( x \right) = 2{\sin ^2}x + 3\), \(\forall x \in \mathbb{R}\), khi đó \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {f\left( x \right)} dx\) bằng
Ta có \(f'\left( x \right) = 2{\sin ^2}x + 3 = 1 - \cos 2x + 3 = 4 - \cos 2x\).
\( \Rightarrow f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} = \int {\left( {4 - \cos 2x} \right)dx} = 4x - \dfrac{1}{2}\sin 2x + C\)
Theo giả thiết có \(f\left( 0 \right) = 4 \Leftrightarrow 4.0 - \dfrac{1}{2}\sin 0 + C = 4 \Leftrightarrow C = 4\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow f\left( x \right) = 4x - \dfrac{1}{2}\sin 2x + 4\\ \Rightarrow \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\left( {4x - \dfrac{1}{2}\sin 2x + 4} \right)dx} \\ = \left. {\left( {2{x^2} + \dfrac{1}{4}\cos 2x + 4x} \right)} \right|_0^{\dfrac{\pi }{4}} = 2\dfrac{{{\pi ^2}}}{{16}} + \pi - \dfrac{1}{4} = \dfrac{{{\pi ^2} + 8\pi - 2}}{8}\end{array}\).
Tính \(I=\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{3x}}dx}\).
\(I=\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{3x}}dx}=\frac{1}{3}\left. {{e}^{3x}} \right|_{0}^{1}=\frac{{{e}^{3}}-1}{3}\)
Tích phân \(I=\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{x\,+\,1}}\,\text{d}x}\) bằng
Ta có \(I=\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{x\,+\,1}}\,\text{d}x}=\left. {{e}^{x\,+\,1}} \right|_{0}^{1}={{e}^{2}}-e.\)
Tích phân \(\int\limits_{1}^{3}{{{e}^{x}}dx}\) bằng:
Ta có: \(\int\limits_{1}^{3}{{{e}^{x}}dx}=\left. {{e}^{x}} \right|_{1}^{3}={{e}^{3}}-e.\)
Tính tích phân \(\int\limits_{0}^{\pi }{\sin 3x\,\text{d}x}.\)
Ta có \(\int\limits_{0}^{\pi }{\sin 3x\,\text{d}x}=\left. -\,\dfrac{\cos 3x}{3} \right|_{0}^{\pi }\) \(=-\,\dfrac{1}{3}\left( \cos 3\pi -\cos 0 \right)=\dfrac{2}{3}.\)
Tích phân \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{\cos 2xdx}\) bằng
\(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{\cos 2xdx}=\frac{1}{2}\sin \left. 2x \right|_{0}^{\frac{\pi }{3}}=\frac{1}{2}\sin \frac{2\pi }{3}-\frac{1}{2}\sin 0=\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}\)
Có bao nhiêu số thực $b $ thuộc \(\left( \pi ;3\pi \right)\) sao cho \(\int\limits_{\pi }^{b}{4\cos 2xdx=1}\)?
\(\int\limits_{\pi }^{b}{4\cos 2xdx=1}\Leftrightarrow 2\sin \left. 2x \right|_{\pi }^{b}=1\Leftrightarrow 2\sin 2b-2\sin 2\pi =1\Leftrightarrow \sin 2b=\frac{1}{2}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2b = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\2b = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.,\,\,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\b = \frac{{5\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right.,\,\,\,\,k \in \mathbb{Z}\)
+) \(b=\frac{\pi }{12}+k\pi ,\,\,\,\,k\in \mathbb{Z}\)
\(b\in \left( \pi ;3\pi \right)\Leftrightarrow \pi <\frac{\pi }{12}+k\pi <3\pi \Leftrightarrow \frac{11}{12}<k<\frac{35}{12}\Rightarrow k\in \left\{ 1;2 \right\}\)
\(\Rightarrow \)Có \(2\) giá trị của b thỏa mãn.
+) \(b=\frac{5\pi }{12}+k\pi ,\,\,\,\,k\in \mathbb{Z}\)
\(b\in \left( \pi ;3\pi \right)\Leftrightarrow \pi <\frac{5\pi }{12}+k\pi <3\pi \Leftrightarrow \frac{7}{12}<k<\frac{31}{12}\Rightarrow k\in \left\{ 1;2 \right\}\)
\(\Rightarrow \)Có \(2\) giá trị của b thỏa mãn.
Vậy có tất cả \(4\) số thực $b$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Biết \(\int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}{\cos xdx}=a+b\sqrt{3},\,\,\left( a,\,b\in Q \right)\). Tính \(T=2a+6b\).
\(\begin{array}{l}\int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} {\cos xdx} = \sin \left. x \right|_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} = \sin \frac{\pi }{2} - \sin \frac{\pi }{3} = 1 - \frac{{\sqrt 3 }}{2} = a + b\sqrt 3 ,(a,b \in Q)\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - \frac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow T = 2a + 6b = 2.1 + 6.\frac{{ - 1}}{2} = - 1\end{array}\)
Tính tích phân \(I=\int\limits_{0}^{3}{\frac{\text{d}x}{x+2}}\).
Ta có \(I=\int\limits_{0}^{3}{\frac{\text{d}x}{x+2}}\)\(=\ln \left| x+2 \right|\left| _{\begin{smallmatrix} \\ 0 \end{smallmatrix}}^{\begin{smallmatrix} 3 \\ \end{smallmatrix}} \right.=\ln 5-\ln 2=\ln \frac{5}{2}.\)
Tích phân \(\int\limits_{0}^{1}{\frac{dx}{x+1}}\) bằng
\(\int\limits_{0}^{1}{\frac{dx}{x+1}}=\frac{1}{1}\left. \ln \left| x+1 \right| \right|_{0}^{1}=\ln 2-\ln 1=\ln 2\)
Tích phân \(\int\limits_{0}^{2}{\frac{dx}{x+3}}\) bằng
Ta có: \(\int\limits_{0}^{2}{\frac{dx}{x+3}=\left. \ln \left| x+3 \right| \right|_{0}^{2}=\ln 5-\ln 3=\ln\frac{5}{3}.}\)
Tích phân \(\int\limits_{0}^{4}{\frac{dx}{2x+1}}\) bằng:
Ta có: \(\int\limits_{0}^{4}{\frac{dx}{2x+1}}=\left. \frac{1}{2}\ln \left| 2x+1 \right| \right|_{0}^{4}=\frac{1}{2}\ln \left| 2.4+1 \right|=\frac{1}{2}\ln 9=\ln 3.\)
Tính tích phân \(I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{{{\tan }^{2}}x\,dx}\).
Ta có \(I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{{{\tan }^{2}}xdx}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\left( \frac{1}{c\text{o}{{\text{s}}^{2}}x}-1 \right)dx}=\left. \left( \text{tanx}-\text{x} \right) \right|{}_{0}^{\frac{\pi }{4}}=1-\frac{\pi }{4}.\)
Tích phân \(\int\limits_{0}^{1}{{{3}^{2x+1}}dx}\) bằng
Ta có \(I=\int\limits_{0}^{1}{{{3}^{2x+1}}dx}=\frac{1}{2}.\frac{{{3}^{2x+1}}}{\ln 3}\left| \begin{align} & ^{1} \\ & _{0} \\ \end{align} \right.=\frac{12}{\ln 3}.\)
Tích phân \(\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{-x}}}\,\text{d}x\) bằng
Ta có \(\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{-x}}}\,\text{d}x=\left. -\,{{e}^{-\,x}} \right|_{0}^{1}=-\,{{e}^{-\,1}}-\left( -\,{{e}^{0}} \right)=-\frac{1}{e}+1=\frac{e-1}{e}.\)
Biết \(\int\limits_{0}^{1}{\frac{2{{x}^{2}}+3x+3}{{{x}^{2}}+2x+1}\text{d}x}=a-\ln b\) với \(a,\,\,b\) là các số nguyên dương. Tính \(P={{a}^{2}}+{{b}^{2}}.\)
Ta có \(\int\limits_{0}^{1}{\frac{2{{x}^{2}}+3x+3}{{{x}^{2}}+2x+1}\text{d}x}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{2\left( {{x}^{2}}+2x+1 \right)-\left( x+1 \right)+2}{{{x}^{2}}+2x+1}\text{d}x}=\int\limits_{0}^{1}{\left( 2-\frac{1}{x+1}+\frac{2}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}} \right)\,\text{d}x}\)
\(\, = \left. {\left( {2x - \ln \left| {x + 1} \right| - \frac{2}{{x + 1}}} \right)} \right|\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
0
\end{array} = \left( {2 - \ln 2 - 1} \right) + 2 = 3 - \ln 2 \Rightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}
a = 3\\
b = 2
\end{array} \right..\)
Vậy \(P={{a}^{2}}+{{b}^{2}}=13.\)
Cho \(\int\limits_{1}^{2}{\frac{1}{{{x}^{2}}+5x+6}dx}=a\ln 2+b\ln 3+c\ln 5\) với \(a,b,c\in \mathbb{Z}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
\(\begin{align}\int\limits_{1}^{2}{\frac{1}{{{x}^{2}}+5x+6}dx}=\int\limits_{1}^{2}{\frac{1}{(x+2)(x+3)}dx}=\left. \left( \ln \left| x+2 \right|-\ln \left| x+3 \right| \right) \right|_{1}^{2}=\ln 4-\ln 5-\ln 3+\ln 4 \\ =4\ln 2-\ln 3-\ln 5=a\ln 2+b\ln 3+c\ln 5,\left( a,b,c\in Z \right) \\ \Rightarrow a=4;b=-1,c=-1\Rightarrow a+b+c=2 \\ \end{align}\)
