Cho I=∫π20−4sinx+7cosx2sinx+3cosxdx=a+2lnbc với a>0;b,c∈N∗;bc tối giản. Tính giá trị biểu thức P=a−b+c.
Bước 1: Xét đồng nhất thức
sinx+7cosx=A(2sinx+3cosx)+B(2cosx−3sinx)
=(2A−3B)sinx+(3A+2B)cosx
Do đó {2A−3B=−43A+2B=7⇔{A=1B=2
Bước 2: Tính I rồi tìm a, b, c. Tính P.
I=∫π20−4sinx+7cosx2sinx+3cosxdx=∫π20(1+2(2sinx+3cosx)′2sinx+3cosx)dx=(x+2ln|2sinx+3cosx|)|π20=π2+2ln23
⇒a=π2,b=2,c=3
Vậy P=a−b+c=π2−2+3=π2+1.
Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v(km/h) phụ thuộc thời gian t(h) có đồ thị là một phần của đường parabol như hình bên. Tính quãng đường S mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó.
Bước 1: Gọi (P):v(t)=a.t2+b.t+c. Lập hệ phương trình tìm a, b, c.
Gọi (P):v(t)=a.t2+b.t+c đi qua các điểm có tọa độ (0;2);(1;1);(3;5)
Ta có hệ phương trình {a.0+b.0+c=2a.1+b.1+c=1a.9+b.3+c=5⇔{c=2b=−2.a=1
Bước 2: Tính quãng đường vật di chuyển trong 3 giờ
Vậy v(t)=2−2t+t2
Quãng đường vật di chuyển trong 3 giờ là
S=∫30(2−2t+t2)dt=(2t−t2+13t3)|30=6(km).
Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc v1(t)=2t(m/s). Đi được 12 giây, người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc a=−12(m/s2). Tính quãng đường s(m) đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn
Quãng đường xe đi được trong 12s đầu là: s1=∫1202tdt=144m.
Sau khi đi được 12s ô tô đạt vận tốc v=24m/s, sau đó vận tốc của ô tô có phương trình v=24−12t. Xe dừng hẳn sau 2s kể từ khi phanh.
Quãng đường ô tô đi được từ khi đạp phanh đến khi dừng hẳn là:
s2=∫20(24−12t)dt=24m.
Vậy tổng quãng đường ô tô đi được là
s=s1+s2=144+24=168m.
Cho hàm số f(x). Biết f(0)=4 và f′(x)=2sin2x+3, ∀x∈R, khi đó π4∫0f(x)dx bằng
Ta có f′(x)=2sin2x+3=1−cos2x+3=4−cos2x.
⇒f(x)=∫f′(x)dx=∫(4−cos2x)dx=4x−12sin2x+C
Theo giả thiết có f(0)=4⇔4.0−12sin0+C=4⇔C=4.
⇒f(x)=4x−12sin2x+4⇒π4∫0f(x)dx=π4∫0(4x−12sin2x+4)dx=(2x2+14cos2x+4x)|π40=2π216+π−14=π2+8π−28.
Tính I=1∫0e3xdx.
I=1∫0e3xdx=13e3x|10=e3−13
Tích phân I=1∫0ex+1dx bằng
Ta có I=1∫0ex+1dx=ex+1|10=e2−e.
Tích phân 3∫1exdx bằng:
Ta có: 3∫1exdx=ex|31=e3−e.
Tính tích phân π∫0sin3xdx.
Ta có π∫0sin3xdx=−cos3x3|π0 =−13(cos3π−cos0)=23.
Tích phân π3∫0cos2xdx bằng
π3∫0cos2xdx=12sin2x|π30=12sin2π3−12sin0=12.√32=√34
Có bao nhiêu số thực b thuộc (π;3π) sao cho b∫π4cos2xdx=1?
b∫π4cos2xdx=1⇔2sin2x|bπ=1⇔2sin2b−2sin2π=1⇔sin2b=12
⇔[2b=π6+k2π2b=5π6+k2π,k∈Z⇔[b=π12+kπb=5π12+kπ,k∈Z
+) b=π12+kπ,k∈Z
b∈(π;3π)⇔π<π12+kπ<3π⇔1112<k<3512⇒k∈{1;2}
⇒Có 2 giá trị của b thỏa mãn.
+) b=5π12+kπ,k∈Z
b∈(π;3π)⇔π<5π12+kπ<3π⇔712<k<3112⇒k∈{1;2}
⇒Có 2 giá trị của b thỏa mãn.
Vậy có tất cả 4 số thực b thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Biết π2∫π3cosxdx=a+b√3,(a,b∈Q). Tính T=2a+6b.
π2∫π3cosxdx=sinx|π2π3=sinπ2−sinπ3=1−√32=a+b√3,(a,b∈Q)⇒{a=1b=−12⇒T=2a+6b=2.1+6.−12=−1
Tính tích phân I=3∫0dxx+2.
Ta có I=\int\limits_{0}^{3}{\frac{\text{d}x}{x+2}}=\ln \left| x+2 \right|\left| _{\begin{smallmatrix} \\ 0 \end{smallmatrix}}^{\begin{smallmatrix} 3 \\ \end{smallmatrix}} \right.=\ln 5-\ln 2=\ln \frac{5}{2}.
Tích phân \int\limits_{0}^{1}{\frac{dx}{x+1}} bằng
\int\limits_{0}^{1}{\frac{dx}{x+1}}=\frac{1}{1}\left. \ln \left| x+1 \right| \right|_{0}^{1}=\ln 2-\ln 1=\ln 2
Tích phân \int\limits_{0}^{2}{\frac{dx}{x+3}} bằng
Ta có: \int\limits_{0}^{2}{\frac{dx}{x+3}=\left. \ln \left| x+3 \right| \right|_{0}^{2}=\ln 5-\ln 3=\ln\frac{5}{3}.}
Tích phân \int\limits_{0}^{4}{\frac{dx}{2x+1}} bằng:
Ta có: \int\limits_{0}^{4}{\frac{dx}{2x+1}}=\left. \frac{1}{2}\ln \left| 2x+1 \right| \right|_{0}^{4}=\frac{1}{2}\ln \left| 2.4+1 \right|=\frac{1}{2}\ln 9=\ln 3.
Tính tích phân I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{{{\tan }^{2}}x\,dx}.
Ta có I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{{{\tan }^{2}}xdx}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\left( \frac{1}{c\text{o}{{\text{s}}^{2}}x}-1 \right)dx}=\left. \left( \text{tanx}-\text{x} \right) \right|{}_{0}^{\frac{\pi }{4}}=1-\frac{\pi }{4}.
Tích phân \int\limits_{0}^{1}{{{3}^{2x+1}}dx} bằng
Ta có I=\int\limits_{0}^{1}{{{3}^{2x+1}}dx}=\frac{1}{2}.\frac{{{3}^{2x+1}}}{\ln 3}\left| \begin{align} & ^{1} \\ & _{0} \\ \end{align} \right.=\frac{12}{\ln 3}.
Tích phân \int\limits_{0}^{1}{{{e}^{-x}}}\,\text{d}x bằng
Ta có \int\limits_{0}^{1}{{{e}^{-x}}}\,\text{d}x=\left. -\,{{e}^{-\,x}} \right|_{0}^{1}=-\,{{e}^{-\,1}}-\left( -\,{{e}^{0}} \right)=-\frac{1}{e}+1=\frac{e-1}{e}.
Biết \int\limits_{0}^{1}{\frac{2{{x}^{2}}+3x+3}{{{x}^{2}}+2x+1}\text{d}x}=a-\ln b với a,\,\,b là các số nguyên dương. Tính P={{a}^{2}}+{{b}^{2}}.
Ta có \int\limits_{0}^{1}{\frac{2{{x}^{2}}+3x+3}{{{x}^{2}}+2x+1}\text{d}x}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{2\left( {{x}^{2}}+2x+1 \right)-\left( x+1 \right)+2}{{{x}^{2}}+2x+1}\text{d}x}=\int\limits_{0}^{1}{\left( 2-\frac{1}{x+1}+\frac{2}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}} \right)\,\text{d}x}
\, = \left. {\left( {2x - \ln \left| {x + 1} \right| - \frac{2}{{x + 1}}} \right)} \right|\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0 \end{array} = \left( {2 - \ln 2 - 1} \right) + 2 = 3 - \ln 2 \Rightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l} a = 3\\ b = 2 \end{array} \right..
Vậy P={{a}^{2}}+{{b}^{2}}=13.
Cho \int\limits_{1}^{2}{\frac{1}{{{x}^{2}}+5x+6}dx}=a\ln 2+b\ln 3+c\ln 5 với a,b,c\in \mathbb{Z}. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
\begin{align}\int\limits_{1}^{2}{\frac{1}{{{x}^{2}}+5x+6}dx}=\int\limits_{1}^{2}{\frac{1}{(x+2)(x+3)}dx}=\left. \left( \ln \left| x+2 \right|-\ln \left| x+3 \right| \right) \right|_{1}^{2}=\ln 4-\ln 5-\ln 3+\ln 4 \\ =4\ln 2-\ln 3-\ln 5=a\ln 2+b\ln 3+c\ln 5,\left( a,b,c\in Z \right) \\ \Rightarrow a=4;b=-1,c=-1\Rightarrow a+b+c=2 \\ \end{align}