Tích phân các hàm số cơ bản

  •   
Câu 1 Trắc nghiệm

Cho I=π204sinx+7cosx2sinx+3cosxdx=a+2lnbc với a>0;b,cN;bc tối giản. Tính giá trị biểu thức P=ab+c.

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Bước 1: Xét đồng nhất thức

sinx+7cosx=A(2sinx+3cosx)+B(2cosx3sinx)

=(2A3B)sinx+(3A+2B)cosx

Do đó {2A3B=43A+2B=7{A=1B=2

Bước 2: Tính I rồi tìm a, b, c. Tính P.

I=π204sinx+7cosx2sinx+3cosxdx=π20(1+2(2sinx+3cosx)2sinx+3cosx)dx=(x+2ln|2sinx+3cosx|)|π20=π2+2ln23

a=π2,b=2,c=3

Vậy P=ab+c=π22+3=π2+1.

Câu 2 Trắc nghiệm

Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v(km/h) phụ thuộc thời gian t(h) có đồ thị là một phần của đường parabol như hình bên. Tính quãng đường S mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó.

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Bước 1:  Gọi (P):v(t)=a.t2+b.t+c. Lập hệ phương trình tìm a, b, c.

 Gọi (P):v(t)=a.t2+b.t+c đi qua các điểm có tọa độ (0;2);(1;1);(3;5)

Ta có hệ phương trình {a.0+b.0+c=2a.1+b.1+c=1a.9+b.3+c=5{c=2b=2.a=1

Bước 2: Tính quãng đường vật di chuyển trong 3 giờ

Vậy v(t)=22t+t2

Quãng đường vật di chuyển trong 3 giờ là

S=30(22t+t2)dt=(2tt2+13t3)|30=6(km).

Câu 3 Trắc nghiệm

Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc v1(t)=2t(m/s). Đi được 12 giây, người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc a=12(m/s2). Tính quãng đường s(m) đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Quãng đường xe đi được trong 12s đầu là: s1=1202tdt=144m.

Sau khi đi được 12s ô tô đạt vận tốc v=24m/s, sau đó vận tốc của ô tô có phương trình v=2412t. Xe dừng hẳn sau 2s kể từ khi phanh.

Quãng đường ô tô đi được từ khi đạp phanh đến khi dừng hẳn là:

s2=20(2412t)dt=24m.

Vậy tổng quãng đường ô tô đi được là

s=s1+s2=144+24=168m.

Câu 4 Trắc nghiệm

Cho hàm số f(x). Biết f(0)=4f(x)=2sin2x+3, xR, khi đó π40f(x)dx  bằng

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Ta có f(x)=2sin2x+3=1cos2x+3=4cos2x.

f(x)=f(x)dx=(4cos2x)dx=4x12sin2x+C

Theo giả thiết có f(0)=44.012sin0+C=4C=4.

f(x)=4x12sin2x+4π40f(x)dx=π40(4x12sin2x+4)dx=(2x2+14cos2x+4x)|π40=2π216+π14=π2+8π28.

Câu 5 Trắc nghiệm

Tính I=10e3xdx.

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

I=10e3xdx=13e3x|10=e313

Câu 6 Trắc nghiệm

 Tích phân I=10ex+1dx bằng 

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

 Ta có I=10ex+1dx=ex+1|10=e2e.

Câu 7 Trắc nghiệm

Tích phân 31exdx bằng:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Ta có: 31exdx=ex|31=e3e.

Câu 8 Trắc nghiệm

Tính tích phân π0sin3xdx.

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Ta có π0sin3xdx=cos3x3|π0 =13(cos3πcos0)=23.

Câu 9 Trắc nghiệm

 Tích phân π30cos2xdx bằng

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

π30cos2xdx=12sin2x|π30=12sin2π312sin0=12.32=34

Câu 10 Trắc nghiệm

Có bao nhiêu số thực b thuộc (π;3π) sao cho bπ4cos2xdx=1?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

bπ4cos2xdx=12sin2x|bπ=12sin2b2sin2π=1sin2b=12

[2b=π6+k2π2b=5π6+k2π,kZ[b=π12+kπb=5π12+kπ,kZ

+) b=π12+kπ,kZ

b(π;3π)π<π12+kπ<3π1112<k<3512k{1;2}

2 giá trị của b thỏa mãn.

+) b=5π12+kπ,kZ

b(π;3π)π<5π12+kπ<3π712<k<3112k{1;2}

2 giá trị của b thỏa mãn.

Vậy có tất cả 4 số thực b thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Câu 11 Trắc nghiệm

Biết π2π3cosxdx=a+b3,(a,bQ). Tính T=2a+6b.

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

π2π3cosxdx=sinx|π2π3=sinπ2sinπ3=132=a+b3,(a,bQ){a=1b=12T=2a+6b=2.1+6.12=1

Câu 12 Trắc nghiệm

Tính tích phân I=30dxx+2

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Ta có I=\int\limits_{0}^{3}{\frac{\text{d}x}{x+2}}=\ln \left| x+2 \right|\left| _{\begin{smallmatrix} \\ 0 \end{smallmatrix}}^{\begin{smallmatrix} 3 \\ \end{smallmatrix}} \right.=\ln 5-\ln 2=\ln \frac{5}{2}.

Câu 13 Trắc nghiệm

Tích phân \int\limits_{0}^{1}{\frac{dx}{x+1}} bằng

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

\int\limits_{0}^{1}{\frac{dx}{x+1}}=\frac{1}{1}\left. \ln \left| x+1 \right| \right|_{0}^{1}=\ln 2-\ln 1=\ln 2

Câu 14 Trắc nghiệm

Tích phân \int\limits_{0}^{2}{\frac{dx}{x+3}} bằng

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Ta có: \int\limits_{0}^{2}{\frac{dx}{x+3}=\left. \ln \left| x+3 \right| \right|_{0}^{2}=\ln 5-\ln 3=\ln\frac{5}{3}.}

Câu 15 Trắc nghiệm

Tích phân \int\limits_{0}^{4}{\frac{dx}{2x+1}} bằng:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Ta có: \int\limits_{0}^{4}{\frac{dx}{2x+1}}=\left. \frac{1}{2}\ln \left| 2x+1 \right| \right|_{0}^{4}=\frac{1}{2}\ln \left| 2.4+1 \right|=\frac{1}{2}\ln 9=\ln 3.

Câu 16 Trắc nghiệm

Tính tích phân I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{{{\tan }^{2}}x\,dx}.

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Ta có I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{{{\tan }^{2}}xdx}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\left( \frac{1}{c\text{o}{{\text{s}}^{2}}x}-1 \right)dx}=\left. \left( \text{tanx}-\text{x} \right) \right|{}_{0}^{\frac{\pi }{4}}=1-\frac{\pi }{4}.

Câu 17 Trắc nghiệm

Tích phân \int\limits_{0}^{1}{{{3}^{2x+1}}dx}  bằng

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Ta có I=\int\limits_{0}^{1}{{{3}^{2x+1}}dx}=\frac{1}{2}.\frac{{{3}^{2x+1}}}{\ln 3}\left| \begin{align}  & ^{1} \\  & _{0} \\ \end{align} \right.=\frac{12}{\ln 3}.

Câu 18 Trắc nghiệm

Tích phân \int\limits_{0}^{1}{{{e}^{-x}}}\,\text{d}x bằng

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Ta có \int\limits_{0}^{1}{{{e}^{-x}}}\,\text{d}x=\left. -\,{{e}^{-\,x}} \right|_{0}^{1}=-\,{{e}^{-\,1}}-\left( -\,{{e}^{0}} \right)=-\frac{1}{e}+1=\frac{e-1}{e}.

Câu 19 Trắc nghiệm

Biết \int\limits_{0}^{1}{\frac{2{{x}^{2}}+3x+3}{{{x}^{2}}+2x+1}\text{d}x}=a-\ln b với a,\,\,b là các số nguyên dương. Tính P={{a}^{2}}+{{b}^{2}}.

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Ta có \int\limits_{0}^{1}{\frac{2{{x}^{2}}+3x+3}{{{x}^{2}}+2x+1}\text{d}x}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{2\left( {{x}^{2}}+2x+1 \right)-\left( x+1 \right)+2}{{{x}^{2}}+2x+1}\text{d}x}=\int\limits_{0}^{1}{\left( 2-\frac{1}{x+1}+\frac{2}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}} \right)\,\text{d}x}

\, = \left. {\left( {2x - \ln \left| {x + 1} \right| - \frac{2}{{x + 1}}} \right)} \right|\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0 \end{array} = \left( {2 - \ln 2 - 1} \right) + 2 = 3 - \ln 2 \Rightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l} a = 3\\ b = 2 \end{array} \right..

Vậy P={{a}^{2}}+{{b}^{2}}=13.

Câu 20 Trắc nghiệm

Cho \int\limits_{1}^{2}{\frac{1}{{{x}^{2}}+5x+6}dx}=a\ln 2+b\ln 3+c\ln 5 với a,b,c\in \mathbb{Z}. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

\begin{align}\int\limits_{1}^{2}{\frac{1}{{{x}^{2}}+5x+6}dx}=\int\limits_{1}^{2}{\frac{1}{(x+2)(x+3)}dx}=\left. \left( \ln \left| x+2 \right|-\ln \left| x+3 \right| \right) \right|_{1}^{2}=\ln 4-\ln 5-\ln 3+\ln 4 \\  =4\ln 2-\ln 3-\ln 5=a\ln 2+b\ln 3+c\ln 5,\left( a,b,c\in Z \right) \\  \Rightarrow a=4;b=-1,c=-1\Rightarrow a+b+c=2 \\ \end{align}