Biết \(I = \int_1^2 {\frac{{dx}}{{\left( {x + 1} \right)\sqrt x + x\sqrt {x + 1} }} = \sqrt a - \sqrt b - c} \) với \(a,b,c\) là các số nguyên dương. Giá trị \(a + b + c\) bằng:
Ta có \(I = \int_1^2 {\frac{{dx}}{{\left( {x + 1} \right)\sqrt x + x\sqrt {x + 1} }}} \)
\( \Rightarrow I = \int_1^2 {\frac{{dx}}{{\sqrt {\left( {x + 1} \right)x} \left( {\sqrt {x + 1} + \sqrt x } \right)}}} \)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int_1^2 {\frac{{\left( {\sqrt {x + 1} - \sqrt x } \right)dx}}{{\sqrt {\left( {x + 1} \right)x} }}} \\ \Leftrightarrow I = \int_1^2 {\left[ {\frac{1}{{\sqrt x }} - \frac{1}{{\sqrt {x + 1} }}} \right]dx} \\ \Leftrightarrow I = \left. {\left[ {2\sqrt x - 2\sqrt {x + 1} } \right]} \right|_1^2\\ \Rightarrow I = \sqrt {32} - \sqrt {12} - 2\end{array}\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 32\\b = 12\\c = 2\end{array} \right. \Rightarrow a + b + c = 46\)
Tích phân \(\int\limits_{0}^{1}{x\left( {{x}^{2}}+3 \right)dx}\) bằng:
Ta có: \(\int\limits_{0}^{1}{x\left( {{x}^{2}}+3 \right)dx}=\int\limits_{0}^{1}{\left( {{x}^{3}}+3x \right)dx=\left. \left( \frac{{{x}^{4}}}{4}+\frac{3{{x}^{2}}}{2} \right) \right|_{0}^{1}=\frac{1}{4}+\frac{3}{2}=\frac{7}{4}.}\)
Biết \(\int\limits_0^1 {\dfrac{{3x - 1}}{{{x^2} + 6x + 9}}dx} = 3\ln \dfrac{a}{b} - \dfrac{5}{6}\), trong đó \(a,\,\,b\) là các số nguyên dương và \(\dfrac{a}{b}\) tối giản. Khi đó \({a^2} - {b^2}\) bằng:
Ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\dfrac{{3x - 1}}{{{x^2} + 6x + 9}} = \dfrac{{3x - 1}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} = \dfrac{A}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} + \dfrac{B}{{x + 3}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{3x - 1}}{{{x^2} + 6x + 9}} = \dfrac{{A + B\left( {x + 3} \right)}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{3x - 1}}{{{x^2} + 6x + 9}} = \dfrac{{Bx + A + 3B}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\end{array}\)
Đồng nhất hệ số ta có \(\left\{ \begin{array}{l}B = 3\\A + 3B = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}B = 3\\A = - 10\end{array} \right.\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{3x - 1}}{{{x^2} + 6x + 9}} = - \dfrac{{10}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} + \dfrac{3}{{x + 3}}\\ \Rightarrow \int\limits_0^1 {\dfrac{{3x - 1}}{{{x^2} + 6x + 9}}dx} = - 10\int\limits_0^1 {\dfrac{{dx}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}} + 3\int\limits_0^1 {\dfrac{{dx}}{{x + 3}}} \\ \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {\dfrac{{3x - 1}}{{{x^2} + 6x + 9}}dx} = 10.\left. {\dfrac{1}{{x + 3}}} \right|_0^1 + 3\left. {\ln \left| {x + 3} \right|} \right|_0^1\\ \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {\dfrac{{3x - 1}}{{{x^2} + 6x + 9}}dx} = 10\left( {\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{3}} \right) + 3\left( {\ln 4 - \ln 3} \right)\\ \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {\dfrac{{3x - 1}}{{{x^2} + 6x + 9}}dx} = 3\ln \dfrac{4}{3} - \dfrac{5}{6}\end{array}\)
Khi đó ta có \(a = 4,\,\,b = 3\).
Vậy \({a^2} - {b^2} = {4^2} - {3^2} = 7\).
Tích phân \(\int\limits_{1}^{2}{{{(x+3)}^{2}}dx}\) bằng
\(\int\limits_{1}^{2}{{{(x+3)}^{2}}dx}=\frac{1}{3}\left. {{(x+3)}^{3}} \right|_{1}^{2}=\frac{1}{3}\left( {{5}^{3}}-{{4}^{3}} \right)=\frac{61}{3}\)
Cho \(\int\limits_{1}^{2}{\frac{\text{d}x}{{{x}^{5}}+{{x}^{3}}}}=a.\ln 5+b.\ln 2+c\) với \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số hữu tỉ. Giá trị của \(a+2b+4c\) bằng
Ta có \(I=\int\limits_{1}^{2}{\frac{\text{d}x}{{{x}^{5}}+{{x}^{3}}}}=\int\limits_{1}^{2}{\frac{\text{d}x}{{{x}^{3}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)}}=\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{2}{\frac{2x\,\text{d}x}{{{x}^{4}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)}}=\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{2}{\frac{\text{d}\left( {{x}^{2}} \right)}{{{x}^{4}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)}}=\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{4}{\frac{\text{d}t}{{{t}^{2}}\left( t+1 \right)}}\)
Xét \(\int\limits_{1}^{4}{\frac{\text{d}t}{{{t}^{2}}\left( t+1 \right)}}=\int\limits_{1}^{4}{\frac{t+1-t}{{{t}^{2}}\left( t+1 \right)}\,\text{d}t}=\int\limits_{1}^{4}{\left( \frac{1}{{{t}^{2}}}-\frac{1}{t\left( t+1 \right)} \right)\,\text{d}t}=\int\limits_{1}^{4}{\frac{\text{d}t}{{{t}^{2}}}}-\int\limits_{1}^{4}{\frac{\text{d}t}{t\left( t+1 \right)}}\)
\(\begin{align} & =\left. -\frac{1}{t} \right|_{1}^{4}-\int\limits_{1}^{4}{\left( \frac{1}{t}-\frac{1}{t+1} \right)dt=\frac{3}{4}-\left. \left( \ln t-\ln \left( t+1 \right) \right) \right|_{1}^{4}} \\ & =\frac{3}{4}-\ln 4+\ln 5-\ln 2=\frac{3}{4}-3\ln 2+\ln 5. \\\end{align}\)
Khi đó \(I=\frac{1}{2}\left( \frac{3}{4}-3\ln 2+\ln 5 \right)=\frac{1}{2}.\ln 5-\frac{3}{2}.\ln 2+\frac{3}{8}.\) Vậy \(a+2b+4c=-\,1.\)
Tìm các số thực \(a,\,\,b\) để hàm số \(f\left( x \right)=a\cos \left( \frac{\pi x}{2} \right)+b\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right)=1\) và \(\int\limits_{0}^{3}{f\left( x \right)\,\text{d}x}=5.\)
Ta có \(f\left( x \right)=a\cos \left( \frac{\pi x}{2} \right)+b\Rightarrow f\left( 1 \right)=a.\cos \frac{\pi }{2}+b=1\Rightarrow b=1.\)
Và \(\int\limits_{0}^{3}{\left[ a\cos \left( \frac{\pi x}{2} \right)+1 \right]\,\text{d}x}=\left. \left( \frac{2a}{\pi }\sin \left( \frac{\pi x}{2} \right)+x \right) \right|_{0}^{3}=\frac{2a}{\pi }.\sin \frac{3\pi }{2}+3=-\frac{2a}{\pi }+3=5\Rightarrow a=-\,\pi .\)
Nếu \(\int\limits_0^m {\left( {2x - 1} \right)dx} = 2\) thì \(m\) có giá trị bằng:
Ta có: \(\int\limits_0^m {\left( {2x - 1} \right)dx} = 2\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left. {\left( {{x^2} - x} \right)} \right|_0^m = 2 \Leftrightarrow {m^2} - m = 2\\ \Leftrightarrow {m^2} - m - 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)\left( {m + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 2 = 0\\m + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = - 1\end{array} \right.\end{array}\)
Biết \(\int\limits_{ - 1}^0 {\dfrac{{3{x^2} + 5x - 1}}{{x - 2}}dx} = a\ln \dfrac{3}{2} + b\), với \(a,\,\,b \in \mathbb{Q}\). Tính giá trị \(a + 2b\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\int\limits_{ - 1}^0 {\dfrac{{3{x^2} + 5x - 1}}{{x - 2}}dx} \\ = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {3x + 11 + \dfrac{{21}}{{x - 2}}} \right)dx} \\ = \left. {\left( {3.\dfrac{{{x^2}}}{2} + 11x + 21\ln \left| {x - 2} \right|} \right)} \right|_{ - 1}^0\\ = 21\ln 2 - \left( {\dfrac{3}{2} - 11 + 21\ln 3} \right)\\ = 21\ln 2 + \dfrac{{19}}{2} - 21\ln 3\\ = \dfrac{{19}}{2} - 21\ln \dfrac{3}{2}\\ \Rightarrow a = - 21,b = \dfrac{{19}}{2}\\ \Rightarrow a + 2b = - 21 + 2.\dfrac{{19}}{2}\\ = - 2\end{array}\)
Nếu \(\int\limits_2^3 {\dfrac{{x + 2}}{{2{x^2} - 3x + 1}}{\rm{d}}x = a\ln 5 + b\ln 3 + 3\ln 2} \)\(\left( {a,b \in \mathbb{Q}} \right)\) thì giá trị của \(P = 2a - b\) là
Ta có \(\dfrac{{x + 2}}{{2{x^2} - 3x + 1}} = \dfrac{{x + 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {2x - 1} \right)}} = \dfrac{A}{{x - 1}} + \dfrac{B}{{2x - 1}}\).
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{x + 2}}{{2{x^2} - 3x + 1}} = \dfrac{{A\left( {2x - 1} \right) + B\left( {x - 1} \right)}}{{2{x^2} - 3x + 1}}\\ \Leftrightarrow x + 2 = \left( {2A + B} \right)x - A - B\end{array}\)
Đồng nhất hệ số ta có \(\left\{ \begin{array}{l}2A + B = 1\\ - A - B = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = 3\\B = - 5\end{array} \right.\), khi đó ta có \(\dfrac{{x + 2}}{{2{x^2} - 3x + 1}} = \dfrac{3}{{x - 1}} - \dfrac{5}{{2x - 1}}\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_2^3 {\dfrac{{x + 2}}{{2{x^2} - 3x + 1}}{\rm{d}}x} \\ = \int\limits_2^3 {\left( {\dfrac{3}{{x - 1}} - \dfrac{5}{{2x - 1}}} \right)dx} \\ = \left. {\left( {3\ln \left| {x - 1} \right| - \dfrac{5}{2}\ln \left| {2x - 1} \right|} \right)} \right|_2^3\\ = 3\ln 2 - \dfrac{5}{2}\ln 5 - 3\ln 1 + \dfrac{5}{2}\ln 3\\ = - \dfrac{5}{2}\ln 5 + \dfrac{5}{2}\ln 3 + 3\ln 2\end{array}\)
\( \Rightarrow a = - \dfrac{5}{2},\,\,b = \dfrac{5}{2}\).
Vậy \(P = 2a - b = 2.\dfrac{{ - 5}}{2} - \dfrac{5}{2} = - \dfrac{{15}}{2}\).
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có \(f\left( 0 \right) = 4\) và \(f'\left( x \right) = 2{\cos ^2}x + 1,\forall x \in \mathbb{R}\). Khi đó \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {f\left( x \right)dx} \) bằng
Ta có \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} = \int {\left( {2{{\cos }^2}x + 1} \right)dx} \)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow f\left( x \right) = \int {\left[ {2{{\cos }^2} - 1 + 2} \right]dx = \int {\left( {\cos 2x + 2} \right)dx} } \\ \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{1}{2}\sin 2x + 2x + C.\end{array}\)
Mà \(f\left( 0 \right) = 4 \Rightarrow C = 4 \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{1}{2}\sin 2x + 2x + 4\)
Khi đó \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\left( {\dfrac{1}{2}\sin 2x + 2x + 4} \right)dx} \)
\( \Rightarrow I = \left. {\left( { - \dfrac{1}{4}\cos 2x + {x^2} + 4x} \right)} \right|_0^{\dfrac{\pi }{4}} = \dfrac{{{\pi ^2} + 16\pi + 4}}{{16}}.\)
Một xe ô tô đang chuyển động đều với vận tốc 16 m/s thì người lái xe nhìn thấy một chướng ngại vật nên đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc \(v\left( t \right) = - 2t + 16\) trong đó t là thời gian (tính bằng giây) kể từ lúc đạp phanh. Quãng đường mà ô tô đi được trong 10 giây cuối cùng bằng:
Người đó đi từ lúc đạp phanh đến lúc dừng lại, ta có: \(v\left( t \right) = 0\) \( \Leftrightarrow - 2t + 16 = 0 \Leftrightarrow t = 8.\)
Quãng đường người đó đi được trong 8 giây là: \({S_1} = \int\limits_0^8 {\left( { - 2t + 16} \right)dt} = \left. {\left( { - {t^2} + 16t} \right)} \right|_0^8 = 64\,m.\)
Quãng đường người đó đi được trong 2 giây cuối là: \({S_2} = 2.16 = 32\,\,m.\)
\( \Rightarrow \) Quãng đường người đó đi được trong 10 giây cuối là: \(64 + 32 = 96\,m.\)
Biết \(I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{x}{\sqrt{3x+1}+\sqrt{2x+1}}\,\text{d}x}=\frac{a+b\sqrt{3}}{9},\) với \(a,\,\,b\) là các số thực. Tính tổng \(T=a+b.\)
Ta có \(I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{x}{\sqrt{3x+1}+\sqrt{2x+1}}\,\text{d}x}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{x\left( \sqrt{3x+1}-\sqrt{2x+1} \right)}{{{\left( \sqrt{3x+1} \right)}^{2}}-{{\left( \sqrt{2x+1} \right)}^{2}}}\,\text{d}x}\)
\(\begin{array}{l}
= \int\limits_0^1 {\frac{{x\left( {\sqrt {3x + 1} - \sqrt {2x + 1} } \right)}}{{3x + 1 - 2x - 1}}} = \int\limits_0^1 {\left( {\sqrt {3x + 1} - \sqrt {2x + 1} } \right){\rm{d}}x} .\\
= \left. {\left( {\frac{1}{3}.\frac{{\sqrt {{{\left( {3x + 1} \right)}^3}} }}{{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{2}.\frac{{\sqrt {{{\left( {2x + 1} \right)}^3}} }}{{\frac{3}{2}}}} \right)} \right|_0^1 = \left. {\left( {\frac{2}{9}.\sqrt {{{\left( {3x + 1} \right)}^3}} - \frac{1}{3}.\sqrt {{{\left( {2x + 1} \right)}^3}} } \right)} \right|_0^1\\
= \left. {\frac{1}{9}\left[ {2\sqrt {{{\left( {3x + 1} \right)}^3}} - 3\sqrt {{{\left( {2x + 1} \right)}^3}} } \right]} \right|_0^1 = \frac{1}{9}\left( {16 - 9\sqrt 3 + 1} \right) = \frac{{17 - 9\sqrt 3 }}{9} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 17\\
b = - \,9
\end{array} \right..
\end{array}\)
Vậy \(T=a+b=17-9=8.\)
Biết \(\int\limits_{0}^{1}{\frac{\text{d}x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}}=\frac{2}{3}\left( \sqrt{a}-b \right)\) với \(a,\,\,b\) là các số nguyên dương. Tính \(T=a+b.\)
Ta có \(\int\limits_{0}^{1}{\frac{\text{d}x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{{{\left( \sqrt{x+1} \right)}^{2}}-{{\left( \sqrt{x} \right)}^{2}}}\,\text{d}x}=\int\limits_{0}^{1}{\left( \sqrt{x+1}-\sqrt{x} \right)\,\text{d}x}=\left. \frac{2}{3}\left[ \sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{3}}}-\sqrt{{{x}^{3}}} \right] \right|_{0}^{1}=\frac{4}{3}\left( \sqrt{2}-1 \right).\)
Mặt khác \(I=\frac{2}{3}\left( \sqrt{a}-b \right)=\frac{4}{3}\left( \sqrt{2}-1 \right)=\frac{2}{3}\left( \sqrt{8}-2 \right)\Rightarrow \left\{ \begin{align} & a=8 \\ & b=2 \\ \end{align} \right..\)
Vậy \(T=a+b=8+2=10.\)
Biết \(\int\limits_{1}^{2}{\frac{dx}{\left( x+1 \right)\sqrt{x}+x\sqrt{x+1}}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}-c\) với \(a,b,c\) là các số nguyên dương. Tính \(P=a+b+c\).
Tính \(I=\int\limits_{1}^{2}{\frac{dx}{\left( x+1 \right)\sqrt{x}+x\sqrt{x+1}}}=\int\limits_{1}^{2}{\frac{dx}{\sqrt{x\left( x+1 \right)}\left( \sqrt{x}+\sqrt{x+1} \right)}}\)
Đặt \(t=\sqrt{x}+\sqrt{x+1}\Rightarrow dt=\left( \frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2\sqrt{x+1}} \right)dx=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}{2\sqrt{x}\sqrt{x+1}}dx=\frac{tdx}{2\sqrt{x}\sqrt{x+1}}\Rightarrow \frac{dx}{\sqrt{x}\sqrt{x+1}}=\frac{2dt}{t}\)
Suy ra \(I=\int\limits_{1+\sqrt{2}}^{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\frac{2dt}{{{t}^{2}}}}=\left. -\frac{2}{t} \right|_{1+\sqrt{2}}^{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=-2\left( \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{2}+1} \right)=\sqrt{32}-\sqrt{12}-2\)
Do đó \(a=32;b=12;c=2\Rightarrow a+b+c=46\).
Cho tích phân \(I = \int\limits_0^1 {\left| {\dfrac{{{x^2}}}{2} - x + 1 - {e^{ - \,x}}} \right|{\rm{d}}x} = a.{e^{ - \,1}} + b,\) với \(a,\,\,b\) là các số hữu tỷ. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
Đặt \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{2} - x + 1 - {e^{ - \,x}}\) với \(x \in \left[ {0;1} \right],\) có \(f'\left( x \right) = x - 1 + {e^{ - \,x}} \Rightarrow f''\left( x \right) = 1 - {e^{ - \,x}} \ge 0;\,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right].\)
\( \Rightarrow \) \(f'\left( x \right)\) là hàm số đồng biến trên \(\left[ {0;1} \right] \Rightarrow f'\left( x \right) \ge f'\left( 0 \right) = 0,\,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right].\)
\( \Rightarrow \) \(f\left( x \right)\) là hàm số đồng biến trên \(\left[ {0;1} \right] \Rightarrow f\left( x \right) \ge f\left( 0 \right) = 0,\,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right].\)
Khi đó \(I = \int\limits_0^1 {\left| {\dfrac{{{x^2}}}{2} - x + 1 - {e^{ - \,x}}} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} - x + 1 - {e^{ - \,x}}} \right){\rm{d}}x} = \left. {\left( {\dfrac{{{x^3}}}{6} - \dfrac{{{x^2}}}{2} + x + {e^{ - \,x}}} \right)} \right|_0^1 = \dfrac{1}{e} - \dfrac{1}{3}\)
Mặt khác \(I = a.{e^{ - \,1}} + b = {e^{ - \,1}} - \frac{1}{3} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - \frac{1}{3}\end{array} \right..\)
Vậy \(2a + 3b = 1.\)
Cho \({{I}_{n}}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{e}^{-nx}}dx}{1+{{e}^{-x}}}},\,\,n\in N\). Đặt \({{u}_{n}}=1\left( {{I}_{1}}+{{I}_{2}} \right)+2\left( {{I}_{2}}+{{I}_{3}} \right)+3\left( {{I}_{3}}+{{I}_{4}} \right)+...+n\left( {{I}_{n}}+{{I}_{n1}} \right)-n\). Biết \(\lim {{u}_{n}}=L.\) Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Ta có: \({{I}_{n}}+{{I}_{n+1}}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{e}^{-nx}}dx}{1+{{e}^{-x}}}}+\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{e}^{-\left( n+1 \right)x}}dx}{1+{{e}^{-x}}}}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{e}^{-nx}}\left( 1+{{e}^{-x}} \right)dx}{1+{{e}^{-x}}}}=\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{-nx}}dx}=\left. \frac{-{{e}^{-nx}}}{n} \right|_{0}^{1}=\frac{-{{e}^{-n}}+1}{n}\)
\(\begin{align} \Rightarrow n\left( {{I}_{n}}+{{I}_{n+1}} \right)=1-{{e}^{-n}} \\ \Rightarrow {{u}_{n}}=1\left( {{I}_{1}}+{{I}_{2}} \right)+2\left( {{I}_{2}}+{{I}_{3}} \right)+3\left( {{I}_{3}}+{{I}_{4}} \right)+...+n\left( {{I}_{n}}+{{I}_{n+1}} \right)-n \\ \,\,\,\,\,\,{{u}_{n}}=1-{{e}^{-1}}+1-{{e}^{-2}}+...+1-{{e}^{-n}}-n=-\left( \frac{1}{e}+\frac{1}{{{e}^{2}}}+...+\frac{1}{{{e}^{n}}} \right)=-\frac{\frac{1}{e}\left( 1-\frac{1}{{{e}^{n}}} \right)}{1-\frac{1}{e}}=\frac{\frac{1}{{{e}^{n}}}-1}{e-1} \\ \Rightarrow L=\lim {{u}_{n}}=\frac{-1}{e-1}\approx -0,58\in \left( -1;0 \right) \\ \end{align}\)
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định và có đạo hàm trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\). Biết rằng \(2{x^2}f'\left( x \right) = 4xf\left( x \right) + {x^5} + {x^4},\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\) và \(f\left( 1 \right) = 4\). Tính \(\int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} \).
Ta có \(2{x^2}f'\left( x \right) = 4xf\left( x \right) + {x^5} + {x^4}\)
\( \Leftrightarrow 2{x^2}f'\left( x \right) - 4xf\left( x \right) = {x^5} + {x^4}\).
Chia 2 vế của phương trình trên cho \(4{x^4}\), ta được: \(\dfrac{{2{x^2}f'\left( x \right) - 4xf\left( x \right)}}{{4{x^4}}} = \dfrac{{{x^5} + {x^4}}}{{4{x^4}}}\)
\( \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{2{x^2}}}} \right)^\prime } = \dfrac{1}{4}\left( {x + 1} \right)\).
Lấy nguyên hàm hai vế, ta được: \(\int {{{\left( {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{2{x^2}}}} \right)}^\prime }dx} = \dfrac{1}{4}\int {\left( {x + 1} \right)dx} \)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{f\left( x \right)}}{{2{x^2}}} = \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} + x} \right) + C\)
\( \Leftrightarrow f\left( x \right) = \dfrac{{{x^4}}}{4} + \dfrac{{{x^3}}}{2} + C.2{x^2}\).
Theo đề, ta có \(f\left( 1 \right) = 4\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{{1^4}}}{4} + \dfrac{{{1^3}}}{2} + C{.2.1^2} = 4\)
\( \Leftrightarrow 2C = \dfrac{{13}}{4}\)
\( \Leftrightarrow C = \dfrac{{13}}{8}\).
\( \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{{{x^4}}}{4} + \dfrac{{{x^3}}}{2} + \dfrac{{13{x^2}}}{4}\).
Ta có \(\int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_1^4 {\left( {\dfrac{{{x^4}}}{4} + \dfrac{{{x^3}}}{2} + \dfrac{{13{x^2}}}{4}} \right)dx} = \dfrac{{6051}}{{40}}\).
Vậy ta chọn phương án C.
Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {{e^{3x}}dx} \).
Ta có \(\int\limits_0^1 {{e^{3x}}dx} = \left. {\dfrac{1}{3}{e^{3x}}} \right|_0^1 = \dfrac{1}{3}{e^{3x}} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{3}\left( {{e^{3x}} - 1} \right)\)
Một ô tô đang chạy thì người lái đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc \(v\left( t \right) = a - 80t\left( {m/s} \right)\) trong đó \(t\) (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu đạp phanh và \(a\) là một hằng số dương. Biết rằng từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô di chuyển được \(36m\). Khẳng định nào sau đây đúng?
Bước 1: Tìm thời gian dừng hẳn theo a.
Thời điểm đạp phanh thì \(t = 0\)
Thời điểm xe dừng hẳn thì có vận tốc \(v = 0\)
Khi đó \(a - 8t = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{a}{8}\)
Bước 2: Áp dụng công thức giữa vận tốc và quãng đường, tìm a.
Quãng đường từ thời điểm \(t = 0\) đến thời điểm \(t = \dfrac{a}{8}\) là:
\(s = \int\limits_0^{\dfrac{a}{8}} {\left( {a - 8t} \right)dt} = 36\)\( \Leftrightarrow \left. {\left( {at - 4{t^2}} \right)} \right|_0^{\dfrac{a}{8}} = 36\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{{a^2}}}{8} - 4.\dfrac{{{a^2}}}{{64}} = 36\)\( \Leftrightarrow {a^2} = 576 \Leftrightarrow a = 24\)
\(a \in \left( {23;25} \right)\)
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định và có đạo hàm trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\). Biết rằng \(\left( {2x + 1} \right)f'\left( x \right) = 2f\left( x \right) + 12{x^3} + 20{x^2} + 11x + 2,\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\) và \(f\left( 2 \right) = 3\). Tính \(\int\limits_3^6 {f\left( x \right)dx} \).
Ta có \(\left( {2x + 1} \right)f'\left( x \right) = 2f\left( x \right) + 12{x^3} + 20{x^2} + 11x + 2\)
\( \Leftrightarrow \left( {2x + 1} \right)f'\left( x \right) - 2f\left( x \right) = 12{x^3} + 20{x^2} + 11x + 2\).
Chia 2 vế của phương trình trên cho \({\left( {2x + 1} \right)^2}\), ta được:
\(\dfrac{{\left( {2x + 1} \right)f'\left( x \right) - 2f\left( x \right)}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{\left( {3x + 2} \right){{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}\)
\( \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{2x + 1}}} \right)^\prime } = 3x + 2\).
Lấy nguyên hàm hai vế, ta được: \(\int {{{\left( {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{2x + 1}}} \right)}^\prime }dx} = \int {\left( {3x + 2} \right)dx} \)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{f\left( x \right)}}{{2x + 1}} = \dfrac{{3{x^2}}}{2} + 2x + C\)
\( \Leftrightarrow f\left( x \right) = \dfrac{{3{x^2}\left( {2x + 1} \right)}}{2} + 2x\left( {2x + 1} \right) + C.\left( {2x + 1} \right)\)
\( \Leftrightarrow f\left( x \right) = 3{x^3} + \dfrac{{11}}{2}{x^2} + 2x + C.\left( {2x + 1} \right)\).
Theo đề, ta có \(f\left( 2 \right) = 3\)
\( \Leftrightarrow {3.2^3} + \dfrac{{11}}{2}{.2^2} + 2.2 + C.\left( {2.2 + 1} \right) = 3\)
\( \Leftrightarrow 5C = - 47\)
\( \Leftrightarrow C = - \dfrac{{47}}{5}\).
\( \Leftrightarrow f\left( x \right) = 3{x^3} + \dfrac{{11}}{2}{x^2} - \dfrac{{84}}{5}x - \dfrac{{47}}{5}\).
Ta có \(\int\limits_3^6 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_3^6 {\left( {3{x^3} + \dfrac{{11}}{2}{x^2} - \dfrac{{84}}{5}x - \dfrac{{47}}{5}} \right)dx} = \dfrac{{4011}}{4}\).
Vậy ta chọn phương án A.
