Cho \({{I}_{n}}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{e}^{-nx}}dx}{1+{{e}^{-x}}}},\,\,n\in N\). Đặt \({{u}_{n}}=1\left( {{I}_{1}}+{{I}_{2}} \right)+2\left( {{I}_{2}}+{{I}_{3}} \right)+3\left( {{I}_{3}}+{{I}_{4}} \right)+...+n\left( {{I}_{n}}+{{I}_{n1}} \right)-n\). Biết \(\lim {{u}_{n}}=L.\) Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Cho \(I = \int_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{{ - 4\sin x + 7\cos x}}{{2\sin x + 3\cos x}}} dx\)\( = a + 2\ln \dfrac{b}{c}\) với \(a > 0;b,c \in {\mathbb{N}^*};\dfrac{b}{c}\) tối giản. Tính giá trị biểu thức \(P = a - b + c\).

Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc \(v(km/h)\) phụ thuộc thời gian \(t(h)\) có đồ thị là một phần của đường parabol như hình bên. Tính quãng đường \(S\) mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó.

Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc \({v_1}(t) = 2t(m/s)\). Đi được 12 giây, người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc \(a =  - 12\left( {\;{\rm{m}}/{{\rm{s}}^2}} \right)\). Tính quãng đường \(s(m)\) đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn

Cho hàm số \(f\left( x \right)\). Biết \(f\left( 0 \right) = 4\) và \(f'\left( x \right) = 2{\sin ^2}x + 3\), \(\forall x \in \mathbb{R}\), khi đó \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {f\left( x \right)} dx\)  bằng

Tính \(I=\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{3x}}dx}\).

 Tích phân \(I=\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{x\,+\,1}}\,\text{d}x}\) bằng 

Tích phân \(\int\limits_{1}^{3}{{{e}^{x}}dx}\) bằng: