Câu hỏi:
2 năm trước
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có \(f\left( 0 \right) = 4\) và \(f'\left( x \right) = 2{\cos ^2}x + 1,\forall x \in \mathbb{R}\). Khi đó \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {f\left( x \right)dx} \) bằng
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: d
Ta có \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} = \int {\left( {2{{\cos }^2}x + 1} \right)dx} \)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow f\left( x \right) = \int {\left[ {2{{\cos }^2} - 1 + 2} \right]dx = \int {\left( {\cos 2x + 2} \right)dx} } \\ \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{1}{2}\sin 2x + 2x + C.\end{array}\)
Mà \(f\left( 0 \right) = 4 \Rightarrow C = 4 \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{1}{2}\sin 2x + 2x + 4\)
Khi đó \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\left( {\dfrac{1}{2}\sin 2x + 2x + 4} \right)dx} \)
\( \Rightarrow I = \left. {\left( { - \dfrac{1}{4}\cos 2x + {x^2} + 4x} \right)} \right|_0^{\dfrac{\pi }{4}} = \dfrac{{{\pi ^2} + 16\pi + 4}}{{16}}.\)
Hướng dẫn giải:
- Tìm hàm số \(f\left( x \right)\), sử dụng công thức \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} \)
- Từ đó tính \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {f\left( x \right)dx} \).
Câu hỏi khác
- Bài tập nguyên hàm toán 12 có lời giải
- Bài tập tích phân các hàm số cơ bản toán 12 có lời giải
- Bài tập tích phân có lời giải MÔN TOÁN Lớp 12
- Bài tập sử dụng phương pháp từng phần để tìm nguyên hàm có lời giải MÔN TOÁN Lớp 12
- Bài tập sử dụng phương pháp đổi biến để tìm nguyên hàm có lời giải MÔN TOÁN Lớp 12
