Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định và có đạo hàm trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\). Biết rằng \(2{x^2}f'\left( x \right) = 4xf\left( x \right) + {x^5} + {x^4},\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\) và \(f\left( 1 \right) = 4\). Tính \(\int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} \).

Ta có \(2{x^2}f'\left( x \right) = 4xf\left( x \right) + {x^5} + {x^4}\)

\( \Leftrightarrow 2{x^2}f'\left( x \right) - 4xf\left( x \right) = {x^5} + {x^4}\).

Chia 2 vế của phương trình trên cho \(4{x^4}\), ta được: \(\dfrac{{2{x^2}f'\left( x \right) - 4xf\left( x \right)}}{{4{x^4}}} = \dfrac{{{x^5} + {x^4}}}{{4{x^4}}}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{2{x^2}}}} \right)^\prime } = \dfrac{1}{4}\left( {x + 1} \right)\).

Lấy nguyên hàm hai vế, ta được: \(\int {{{\left( {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{2{x^2}}}} \right)}^\prime }dx}  = \dfrac{1}{4}\int {\left( {x + 1} \right)dx} \)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{f\left( x \right)}}{{2{x^2}}} = \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} + x} \right) + C\)

\( \Leftrightarrow f\left( x \right) = \dfrac{{{x^4}}}{4} + \dfrac{{{x^3}}}{2} + C.2{x^2}\).

Theo đề, ta có \(f\left( 1 \right) = 4\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{{1^4}}}{4} + \dfrac{{{1^3}}}{2} + C{.2.1^2} = 4\)

\( \Leftrightarrow 2C = \dfrac{{13}}{4}\)

\( \Leftrightarrow C = \dfrac{{13}}{8}\).

\( \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{{{x^4}}}{4} + \dfrac{{{x^3}}}{2} + \dfrac{{13{x^2}}}{4}\).

Ta có \(\int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_1^4 {\left( {\dfrac{{{x^4}}}{4} + \dfrac{{{x^3}}}{2} + \dfrac{{13{x^2}}}{4}} \right)dx}  = \dfrac{{6051}}{{40}}\).

Vậy ta chọn phương án C.