Câu hỏi:
2 năm trước
Cho tích phân \(I = \int\limits_0^1 {\left| {\dfrac{{{x^2}}}{2} - x + 1 - {e^{ - \,x}}} \right|{\rm{d}}x} = a.{e^{ - \,1}} + b,\) với \(a,\,\,b\) là các số hữu tỷ. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: d
Đặt \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{2} - x + 1 - {e^{ - \,x}}\) với \(x \in \left[ {0;1} \right],\) có \(f'\left( x \right) = x - 1 + {e^{ - \,x}} \Rightarrow f''\left( x \right) = 1 - {e^{ - \,x}} \ge 0;\,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right].\)
\( \Rightarrow \) \(f'\left( x \right)\) là hàm số đồng biến trên \(\left[ {0;1} \right] \Rightarrow f'\left( x \right) \ge f'\left( 0 \right) = 0,\,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right].\)
\( \Rightarrow \) \(f\left( x \right)\) là hàm số đồng biến trên \(\left[ {0;1} \right] \Rightarrow f\left( x \right) \ge f\left( 0 \right) = 0,\,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right].\)
Khi đó \(I = \int\limits_0^1 {\left| {\dfrac{{{x^2}}}{2} - x + 1 - {e^{ - \,x}}} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} - x + 1 - {e^{ - \,x}}} \right){\rm{d}}x} = \left. {\left( {\dfrac{{{x^3}}}{6} - \dfrac{{{x^2}}}{2} + x + {e^{ - \,x}}} \right)} \right|_0^1 = \dfrac{1}{e} - \dfrac{1}{3}\)
Mặt khác \(I = a.{e^{ - \,1}} + b = {e^{ - \,1}} - \frac{1}{3} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - \frac{1}{3}\end{array} \right..\)
Vậy \(2a + 3b = 1.\)
Hướng dẫn giải:
Sử dụng phương pháp hàm số để chứng minh hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên đoạn chứa cận tích phân, từ đó phá dấu trị tuyệt đối và sử dụng các phương pháp tính tích phân để tìm các tham số a, b, c …
Câu hỏi khác
- Bài tập nguyên hàm toán 12 có lời giải
- Bài tập tích phân các hàm số cơ bản toán 12 có lời giải
- Bài tập tích phân có lời giải MÔN TOÁN Lớp 12
- Bài tập sử dụng phương pháp từng phần để tìm nguyên hàm có lời giải MÔN TOÁN Lớp 12
- Bài tập sử dụng phương pháp đổi biến để tìm nguyên hàm có lời giải MÔN TOÁN Lớp 12
