Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (tương giao đồ thị)

Phương trình hoành độ $2{x^2} + 1 = 3x$.

$\Leftrightarrow 2{x^2} - 3x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 1 \Rightarrow y = 3 \hfill \\ x = \dfrac{1}{2} \Rightarrow y = \dfrac{3}{2} \hfill \\ \end{gathered}  \right.$

Vậy có hai giao điểm là $\left( {1;3} \right)$ và $\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}} \right)$.

Số giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho là số nghiệm của phương trình:

$\begin{gathered} {x^3} - 2{x^2} + x - 1 = 1 - 2x \Leftrightarrow {x^3} - 2{x^2} + 3x - 2 = 0 \hfill \\   \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - x + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1 \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy hai đồ thị hàm số đã cho có $1$ giao điểm duy nhất.

Số giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho là số nghiệm của phương trình:

$\begin{gathered}{x^3} + 2{x^2} - x + 1 = {x^2} - x + 3 \Leftrightarrow {x^3} + {x^2} - 2 = 0 \hfill \\   \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 2x + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1 \hfill \\ \end{gathered}$

Như vậy hai đồ thị có $1$ điểm chung.

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho là:

$\begin{gathered}{x^4} - 2{x^2} + 2 =  - {x^2} + 4 \Leftrightarrow {x^4} - {x^2} - 2 = 0 \hfill \\   \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}  {x^2} =  - 1 < 0(L) \hfill \\  {x^2} = 2 \hfill \\ \end{gathered}  \right. \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt 2  \hfill \\ \end{gathered}$

Như vậy hai đồ thị có $2$ giao điểm. 

Phương trình hoành độ giao điểm: $3{x^2} = {x^3} + {x^2} + x + 1 \Leftrightarrow {x^3} - 2{x^2} + x + 1 = 0$.

Xét hàm $f\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} + x + 1$ ta có:

$f'\left( x \right) = 3{x^2} - 4x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}  x = 1 \Rightarrow f\left( 1 \right) = 1 \hfill \\  x = \dfrac{1}{3} \Rightarrow f\left( {\dfrac{1}{3}} \right) = \dfrac{{31}}{{27}} \hfill \\ \end{gathered}  \right.$ 

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy đường thẳng $y = 0$ chỉ cắt đồ thị hàm số tại $1$ điểm duy nhất nên hai đồ thị hàm số cắt nhau tại duy nhất $1$ điểm.

Ta có số nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của đồ thị (C): $y = {x^5} + {x^3} - \sqrt {1 - x}$ và đường thẳng d: $y =  - m$.

Xét hàm số (C): $y = {x^5} + {x^3} - \sqrt {1 - x}$ có: $y' = 5{x^4} + 3{x^2} + \dfrac{1}{{2\sqrt {1 - x} }} > 0\,\,\forall x \in \left( { - \infty ;1} \right)$$\Rightarrow$ hàm số luôn đồng biến trên $\left( { - \infty ;1} \right]$.

Lại có $y\left( 1 \right) = 2$.

Ta có BBT:

Theo BBT ta thấy pt có nghiệm $\Leftrightarrow  - m \leqslant 2 \Leftrightarrow m \geqslant  - 2$.

Vì đồ thị của hàm đa thức bậc 3 luôn có tâm đối xứng $I\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ có hoành độ ${x_0}$ là nghiệm của phương trình $y''\left( {{x_0}} \right) = 0$

Vậy đồ thị $\left( C \right)$ cắt trục hoành tại ba điểm $A, B, C$ sao cho $C$ là trung điểm $AB$

$\Leftrightarrow$$C$ là tâm đối xứng của $\left( C \right)$

Ta có:

$y' = 3{x^2} + 6x \Rightarrow y'' = 6x + 6 = 0 \Leftrightarrow x =  - 1 \Rightarrow y = m + 2 \Rightarrow C\left( { - 1;m + 2} \right)$$C \in Ox \Leftrightarrow y = 0 \Leftrightarrow m + 2 = 0 \Leftrightarrow m =  - 2$

Xét phương trình hoành độ giao điểm $mx + 1 = {x^3} - 3x + 1$

$\Leftrightarrow {x^3} - 3x - mx = 0 \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - 3 - m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}  x = 0 \hfill \\  {x^2} = m + 3\left( * \right) \hfill \\ \end{gathered}  \right.$

Để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại $3$ điểm phân biệt thì $\left( * \right)$ phải có hai nghiệm phân biệt khác $0$ $\Leftrightarrow m + 3 > 0 \Leftrightarrow m >  - 3$.

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành là: 

${x^3} - \left( {m + 3} \right){x^2} + \left( {2m - 1} \right)x + 3\left( {m + 1} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left[ {{x^2} - \left( {m + 4} \right)x + 3\left( {m + 1} \right)} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}  x =  - 1 \hfill \\{x^2} - \left( {m + 4} \right)x + 3\left( {m + 1} \right) = 0\left( * \right) \hfill \\ \end{gathered}  \right.$

Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại $3$ điểm phân biệt có hoành độ âm thì phương trình $\left( * \right)$ có 2 nghiệm âm phân biệt khác $- 1$ 

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}  \Delta  > 0 \hfill \\   - \dfrac{b}{a} < 0 \hfill \\  \dfrac{c}{a} > 0 \hfill \\  y\left( { - 1} \right) \ne 0 \hfill \\ \end{gathered}  \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}  {\left( {m - 2} \right)^2} > 0 \hfill \\  m + 4 < 0 \hfill \\  3\left( {m + 1} \right) > 0 \hfill \\ {\left( { - 1} \right)^2} - \left( {m + 4} \right)\left( { - 1} \right) + 3\left( {m + 1} \right) \ne 0 \hfill \\ \end{gathered}  \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}  m \ne 2 \hfill \\  m <  - 4 \hfill \\  m >  - 1 \hfill \\  m \ne  - 2 \hfill \\ \end{gathered}  \right.$ $\Leftrightarrow m \in \emptyset$ 

Bước 1: Tìm điều kiện xác định.

Điều kiện xác định $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 4 \ge 0}\\{x - \sqrt {{x^2} - 4}  \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 2}\\{x + \sqrt {{x^2} - 4}  \ge 0}\end{array}} \right.$

Bước 2: Đặt $t = \sqrt {x - \sqrt {{x^2} - 4} } (0 < t \le \sqrt 2 )$

Nhận xét: $\sqrt {x - \sqrt {{x^2} - 4} }  \cdot \sqrt {x + \sqrt {{x^2} - 4} }  = 2$.

Đặt $t = \sqrt {x - \sqrt {{x^2} - 4} } (0 < t \le \sqrt 2 )$. Phương trình trên trở thành:

$2{t^2} - 2t + \dfrac{2}{t} = 2m$$\Leftrightarrow {t^2} - t + \dfrac{1}{t} = m$

Bước 3: Xét hàm số $f(t) = {t^2} - t + \dfrac{1}{t}$, lập bảng biến thiên

Xét hàm số $f(t) = {t^2} - t + \dfrac{1}{t}$, với $0 < t \le \sqrt 2$.

Do đó ${f^\prime }(t) = 2t - 1 - \dfrac{1}{{{t^2}}},$

${f^\prime }(t) = 0 \Leftrightarrow t = 1$.

Bước 4: Tìm số tập con của tập hợp $S$

Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình có nghiệm thì $m \ge 1$.

Vì $m \in \mathbb{Z}$ và $m \in [ - 5;5]$ nên ta có $S = \{ 1;2;3;4;5\}$.

Vậy số tập con của tập hợp $S$ là ${2^5} = 32$.

Đáp án A: đúng.

Đáp án B: Với $m > 2$ hoặc $m <  - 2$ thì đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị hàm số tại một điểm duy nhất nên B đúng.

Đáp án C: Hàm số đạt cực tiểu tại $x =  - 1$ chứ không phải đạt cực tiểu bằng $- 1$ nên C sai.

Đáp án D: Giá trị lớn nhất của hàm số trên $\left[ { - 2;2} \right]$ đạt được bằng $2$ tại $x =  - 2$ nên D đúng.

Đồ thị hàm số $y =  - {x^3} + 2{x^2} - 1$  cắt trục tung $\Rightarrow x = 0$

Với $x = 0$ thay vào hàm số  $\Rightarrow y =  - 1$.

Đặt $t = |\sin x - \cos x|$$= \sqrt 2 \left| {\sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right)} \right| \in [0;\sqrt 2 ]$

$\Rightarrow {t^2} = 1 - \sin 2x \Leftrightarrow \sin 2x = 1 - {t^2}.$

Phương trình đã cho trở thành $t + 4\left( {1 - {t^2}} \right) = m$$\Leftrightarrow  - 4{t^2} + t + 4 = m(*)$

Phương trình đã cho có nghiệm thực $\Leftrightarrow$ Phương trình $(*)$ có nghiệm thực trên $[0;\sqrt 2 ]$.

Xét hàm số $f(t) =  - 4{t^2} + t + 4$ trên $[0;\sqrt 2 ]$.

Ta có ${f^\prime }(t) =  - 8t + 1$.

$\Rightarrow {f^\prime }(t) = 0 \Leftrightarrow  - 8t + 1 = 0$$\Leftrightarrow t = \dfrac{1}{8}$

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \sqrt 2  - 4 \le m \le \dfrac{{65}}{{16}}$.

Do $m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \{  - 2; - 1;0;1;2;3;4\}$. Vậy có 7 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

$2f\left( x \right) + 3 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) =  - \dfrac{3}{2} \Rightarrow$ Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ và đường thẳng $y =  - \dfrac{3}{2}$ song song với trục hoành.

Dựa vào BBT ta thấy đường thẳng $y =  - \dfrac{3}{2}$ cắt đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ tại 3 điểm phân biệt.

Vậy phương trình $2f\left( x \right) + 3 = 0$ có 3 nghiệm phân biệt.

Đồ thị hàm số $y = {x^3} + 2020x + m$  và trục hoành có duy nhất 1 điểm chung

$\Leftrightarrow$ Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số ${x^3} + 2020x + m = 0$ $\Leftrightarrow {x^3} + 2020x =  - m$ có nghiệm duy nhất

$\Leftrightarrow$ Đường thẳng $y =  - m$  và đồ thị hàm số $y = {x^3} + 2020x$  có duy nhất 1 điểm chung.

Xét hàm số $y = {x^3} + 2020x$ ta có: $y' = 3{x^2} + 2020 > 0\,\,\forall x$

$\Rightarrow$ Hàm số $y = {x^3} + 2020x$ đồng biến trên $\mathbb{R}.$

Ta có BBT:

$\Rightarrow$  Với mọi giá trị của $m$  thì đường thẳng $y =  - m$ luôn cắt đồ thị hàm số $y = {x^3} + 2020x$ tại duy nhất 1 điểm.

Vậy có vô số giá trị của $m$ thỏa mãn bài toán.

+ Để giải phương trình $f\left( {f\left( x \right)} \right) = 0$ ta đi xét phương trình $f\left( x \right) = 0$.

Từ đồ thị $f\left( x \right)$ kẻ tương giao với đường thẳng $y = 0 \Rightarrow$ Phương trình $f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = a\,\,\,voi\,\,a <  - 1\\x = b\,\,voi\,\,b \in \left( { - 1;0} \right)\\x = c\,\,voi\,\,c \in \left( {0;1} \right)\\x = d\,\,voi\,\,d > 1\end{array} \right.$.

$\Rightarrow$ Phương trình $f\left( {f\left( x \right)} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = a \to ke\,\,tuong\,\,giao\,\,\left( {a <  - 1} \right) \Rightarrow 0\,\,nghiem\\f\left( x \right) = b \to ke\,\,tuong\,\,giao\,\,\left( {b \in \left( { - 1;0} \right)} \right) \Rightarrow 4\,\,nghiem\\f\left( x \right) = c \to ke\,\,tuong\,\,giao\,\,\left( {c \in \left( {0;1} \right)} \right) \Rightarrow 4\,\,nghiem\\f\left( x \right) = d \to ke\,\,tuong\,\,giao\,\,\left( {d > 1} \right) \Rightarrow 2\,\,nghiem\end{array} \right.$

$\Rightarrow$ Phương trình $f\left( {f\left( x \right)} \right) = 1$ có 10 nghiệm phân biệt.

Xét phương trình ${f^\prime }(f(x)) = 0$ (1)

Đặt $t = f(x)$

$(1) \Leftrightarrow {f^\prime }(t) = 0$

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y = f(x)$

Ta có ${f^\prime }(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - 1}\\{x = 2}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t =  - 1}\\{t = 2}\end{array}} \right.} \right.$

Với $t =  - 1 \Leftrightarrow f(t) =  - 1 \Leftrightarrow f(x) =  - 1 \Rightarrow 3$ nghiệm

Với $t = 2 \Leftrightarrow f(t) = 2 \Leftrightarrow f(x) = 2 \Rightarrow 1$ nghiệm

Vậy số nghiệm thực phân biệt của phương trình là $3 + 1 = 4$ nghiệm.

$f\left( x \right) > 2x + m \Leftrightarrow m < f\left( x \right) - 2x = g\left( x \right)\,\,\forall x \in \left( {0;2} \right) \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} g\left( x \right)$.

Ta có $g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - 2 = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {x_1} < 0\\x = 0\\x = {x_2} > 2\end{array} \right.$.

Từ đó ta có BBT của đồ thị hàm số $y = g\left( x \right) = f\left( x \right) - 2$ như sau:

Xét trên $\left[ {0;2} \right]$ ta thấy $\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} g\left( x \right) = g\left( 2 \right) = f\left( 2 \right) - 2.2 = f\left( 2 \right) - 4$.

Vậy $m \le f\left( 2 \right) - 4$.

Số nghiệm của phương trình $2f\left( x \right) + 5 = 0$ $\Leftrightarrow f\left( x \right) =  - \dfrac{5}{2}$ là số giao điểm của đường thẳng $y =  - \dfrac{5}{2}$ và đồ thị hàm số $y = f\left( x \right).$

Ta có BBT:

Dựa vào BBT ta thấy đường thẳng $y =  - \dfrac{5}{2}$ cắt đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ tại hai điểm phân biệt.

$\Rightarrow 2f\left( x \right) + 5 = 0$ có 2 nghiệm phân biệt.

Phương trình $f\left( x \right) = m$ là có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow$ đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ tại 1 điểm duy nhất.

Dựa vào BBT ta thấy, đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ tại 1 điểm duy nhất $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 5 < m \le 1\\m = 2\end{array} \right.$

Lại có: $m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 4; - 3; - 2; - 1;\,\,0;\,\,1;\,\,2} \right\}$

Vậy có 7 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán.