Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (tương giao đồ thị)

Bước 1:

Ta có: \({x^3} - 3{x^2} =  - m\)

Bước 2:

Đặt \(y = f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2}\) , ta có: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\)

BBT của hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2}\)

Bước 3:

Đường thẳng \(y =  - m\) cắt đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2}\) tại ba điểm phân biệt khi \( - 4 <  - m < 0 \Leftrightarrow 0 < m < 4\)

\(\left| {f\left( {{x^3} - 3x} \right)} \right| = \dfrac{2}{3} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( {{x^3} - 3x} \right) = \dfrac{2}{3}\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\\f\left( {{x^3} - 3x} \right) =  - \dfrac{2}{3}\,\,\left( {**} \right)\end{array} \right.\)

\(Pt\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^3} - 3x = {x_1}\,\,\left( { - 2 < {x_1} < 0} \right)\,\,\left( 1 \right)\\{x^3} - 3x = {x_2}\,\,\left( {0 < {x_2} < 2} \right)\,\,\,\,\left( 2 \right)\\{x^3} - 3x = {x_3}\,\,\left( {{x_3} > 2} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\)

\(Pt\left( {**} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^3} - 3x = {x_4}\,\,\left( {{x_4} <  - 2} \right)\,\,\,\,\left( 4 \right)\\{x^3} - 3x = {x_5}\,\,\left( {{x_5} > 2} \right)\,\,\,\,\,\,\,\left( 5 \right)\\{x^3} - 3x = {x_6}\,\,\left( {{x_6} > 2} \right)\,\,\,\,\,\,\,\left( 6 \right)\end{array} \right.\)

Xét phương trình \(g\left( x \right) = {x^3} - 3x = {x_i}\), số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = {x_i}\) song song với trục hoành.

Ta có \(g'\left( x \right) = 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 1\).

BBT:

Từ BBT ta thấy:

(1), (2) có 3 nghiệm phân biệt.

(3), (4), (5), (6) có 1 nghiệm.

Và dễ thấy tất cả các nghiệm trên là không trùng nhau.

Vậy phương trình ban đầu có 10 nghiệm phân biệt.

Ta có:

\(\begin{array}{l}{x^3} - 3{x^2} - {m^3} + 3{m^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^3} - {m^3}} \right) - 3\left( {{x^2} - {m^2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - m} \right)\left( {{x^2} + mx + {m^2}} \right)\\ - 3\left( {x - m} \right)\left( {x + m} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - m} \right)\left( {{x^2} + mx + {m^2} - 3x - 3m} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - m} \right)\left[ {{x^2} + \left( {m - 3} \right)x + {m^2} - 3m} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - m = 0\\{x^2} + \left( {m - 3} \right)x + {m^2} - 3m = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = m\\{x^2} + \left( {m - 3} \right)x + {m^2} - 3m = 0\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Đặt \(f\left( x \right) = {x^2} + \left( {m - 3} \right)x + {m^2} - 3m\).

Để pt đã cho có 3 nghiệm phân biệt thì (1) có 2 nghiệm phân biệt khác \(m\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\f\left( m \right) \ne 0\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 3} \right)^2} - 4\left( {{m^2} - 3m} \right) > 0\\{m^2} + \left( {m - 3} \right).m + {m^2} - 3m \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 3} \right)^2} - 4m\left( {m - 3} \right) > 0\\{m^2} + {m^2} - 3m + {m^2} - 3m \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {m - 3} \right)\left( {m - 3 - 4m} \right) > 0\\3{m^2} - 6m \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {m - 3} \right)\left( { - 3m - 3} \right) > 0\\3m\left( {m - 2} \right) \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < m < 3\\m \ne 0,m \ne 2\end{array} \right.\end{array}\)

Do \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m = 1\) hay \(T = \left\{ 1 \right\}\).

Vậy tổng các phần tử của T là 1.

Xét phương trình hoành độ giao điểm \(13{x^4} - 3{x^2} - 2020 = 0\) (*)

Đặt \({x^2} = t \ge 0\) ta có phương trình \(13{t^2} - 3t - 2020 = 0\)

Phương trình trên có \(ac = 13.\left( { - 2020} \right) < 0\) nên có hai nghiệm trái dấu \({t_1} < 0 < {t_2}\)

Suy ra \({x^2} = {t_2} \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt {{t_2}} \)

Hay phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt.

Xét phương trình hoành độ giao điểm

\(\dfrac{{x - 2}}{{x - 1}} + \dfrac{{x - 1}}{x} + \dfrac{x}{{x + 1}} + \dfrac{{x + 1}}{{x + 2}} = \left| {x + 1} \right| - x - m\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{x - 2}}{{x - 1}} + \dfrac{{x - 1}}{x} + \dfrac{x}{{x + 1}} + \dfrac{{x + 1}}{{x + 2}} - \left| {x + 1} \right| + x =  - m\).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{x - 2}}{{x - 1}} + \dfrac{{x - 1}}{x} + \dfrac{x}{{x + 1}} + \dfrac{{x + 1}}{{x + 2}} - \left| {x + 1} \right| + x\) có TXĐ \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2; - 1;0;1} \right\}\).

\(f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)\( - \dfrac{{x + 1}}{{\left| {x + 1} \right|}} + 1\)

Ta có \( - \dfrac{{x + 1}}{{\left| {x + 1} \right|}} + 1 = \dfrac{{\left| {x + 1} \right| - \left( {x + 1} \right)}}{{\left| {x + 1} \right|}}\).

Do \(\left| {x + 1} \right| \ge x + 1\,\,\forall x \Rightarrow \left| {x + 1} \right| - \left( {x + 1} \right) \ge 0\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {x + 1} \right| - \left( {x + 1} \right)}}{{\left| {x + 1} \right|}} \ge 0\).

\( \Rightarrow f'\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in D\)

\( \Rightarrow \)Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.

Bảng biến thiên:

Từ BBT ta thấy phương trình \(f\left( x \right) =  - m\) có đúng 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \( - m \ge 3 \Leftrightarrow m \le  - 3\)

Số nghiệm của phương trình \(4f\left( x \right) - 7 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = \dfrac{7}{4}\) là số giao điểm của đường thẳng \(y = \dfrac{7}{4}\) và đồ thị \(\left( C \right)\) của hàm số \(y = f\left( x \right).\)

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng \(y = \dfrac{7}{4}\) cắt đồ thị hàm số \(\left( C \right):\,\,\,y = f\left( x \right)\) tại 3 điểm phân biệt.

\( \Rightarrow \) Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.

Xét phương trình hoành độ giao điểm \(\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2\) (do \({x^2} + 1 > 0\,\,\,\forall x\)).

Vậy \(\left( C \right)\) cắt trục hoành tại một điểm.

Số nghiệm của phương trình \(2f\left( x \right) - 3 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = \frac{3}{2}\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = \frac{3}{2}\)

Ta có BBT:

Dựa vào BBT ta thấy đường thẳng \(y = \frac{3}{2}\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại 3 điểm phân biệt

\( \Rightarrow \) Phương trình \(2f\left( x \right) - 3 = 0\) có 3 nghiệm phân biệt.

Đặt \(t = f\left( {\cos x} \right) - 1\), phương trình trở thành \(f\left( t \right) = 0\).

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy \(f\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = a \in \left( { - 2; - 1} \right)\\t = b \in \left( { - 1;0} \right)\\t = c \in \left( {1;2} \right)\end{array} \right.\)

Khi đó ta có: \(\left[ \begin{array}{l}f\left( {\cos x} \right) - 1 = a \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\\f\left( {\cos x} \right) - 1 = b \in \left( { - 1;0} \right)\\f\left( {\cos x} \right) - 1 = c \in \left( {1;2} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( {\cos x} \right) = a + 1 \in \left( { - 1;0} \right)\,\,\,\left( 1 \right)\\f\left( {\cos x} \right) = b + 1 \in \left( {0;1} \right)\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\\f\left( {\cos x} \right) = c + 1 \in \left( {2;3} \right)\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\)

Tiếp tục dựa vào đồ thị hàm số ta có:

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = {a_1} <  - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {1.1} \right)\\\cos x = {a_2} \in \left( { - 1;0} \right)\,\,\,\,\left( {1.2} \right)\\\cos x = {a_3} > 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {1.3} \right)\end{array} \right.\)

Các phương trình (1.1), (1.3) vô nghiệm do \( - 1 \le \cos x \le 1\), phương trình (1.2) có 2 nghiệm phân biệt thuộc \(\left[ {0;2\pi } \right]\).

\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = {b_1} <  - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {2.1} \right)\\\cos x = {b_2} \in \left( { - 1;0} \right)\,\,\,\left( {2.2} \right)\\\cos x = {b_3} > 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {2.3} \right)\end{array} \right.\)

Các phương trình (1.1), (1.3) vô nghiệm do \( - 1 \le \cos x \le 1\), phương trình (1.2) có 2 nghiệm phân biệt thuộc \(\left[ {0;2\pi } \right]\).

\(\left( 3 \right) \Leftrightarrow \cos x = {c_1} > 1 \Rightarrow \) Phương trình vô nghiệm.

Vậy phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt thuộc \(\left[ {0;2\pi } \right]\).

Nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 5\) là số giao điểm của đường thẳng \(y = 5\) và đồ thị hàm số.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng \(y = 5 > 3\) cắt đồ thị hàm số tại 1 điểm.

Vậy phương trình \(f\left( x \right) = 5\) có duy nhất 1 nghiệm.

Đặt \(t = {x^3} - 3x\) ta có \(t' = 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \in \left( {0;2} \right)\\x =  - 1 \notin \left( {0;2} \right)\end{array} \right.\).

Ta có BBT:

Suy ra \(x \in \left( {0;2} \right)\) thì \(t \in \left[ { - 2;2} \right)\).

Khi đó phương trình trở thành \(f\left( t \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow f\left( t \right) =  - 1\).

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) và đường thẳng \(y =  - 1\).

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng \(y =  - 1\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) tại 3 điểm phân biệt, do đó phương trình \(f\left( t \right) =  - 1\) có 3 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}t = a \in \left( { - \infty ; - 2} \right)\,\,\left( {ktm} \right)\\t = b \in \left( { - 2;0} \right)\\t = c \in \left( {0;2} \right)\end{array} \right.\).

Dựa vào BBT hàm số \(t = {x^3} - 3x\) ta có:

+ Phương trình \(t = b \in \left( { - 2;0} \right)\) có 2 nghiệm phân biệt.

+ Phương trình \(t = c \in \left( {0;2} \right)\) có 1 nghiệm duy nhất.

Vậy phương trình đã cho có tất cả 3 nghiệm.

Đặt \(t = 2\tan x\), với \(x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{4}} \right)\)  thì \(\tan x \in \left( {0;1} \right) \Rightarrow t \in \left( {0;2} \right)\).

Khi đó phương trình trở thành: \(f\left( t \right) = 2m + 1\), số nghiệm của phương trình \(f\left( t \right) = 2m + 1\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) và đường thẳng \(y = 2m + 1\) song song với trục hoành.

Quan sát BBT trên khoảng (0;2), ta thấy, phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow  - 1 < 2m + 1 < 3 \Leftrightarrow  - 1 < m < 1\).

Ta có: \(\left| {f\left( x \right)} \right| = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = 1\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\f\left( x \right) =  - 1\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\).

+ Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = 1\), suy ra phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt.

+ Số nghiệm của phương trình (2) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y =  - 1\), suy ra phương trình (2) có 4 nghiệm phân biệt.

Dễ thấy các nghiệm trên không có nghiệm nào trùng nhau.

Vậy phương trình đã cho có 7 nghiệm phân biệt.

Số nghiệm của phương trình \(\left| {{x^3} - 3{x^2} + 2} \right| = m\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \left| {{x^3} - 3{x^2} + 2} \right|\) và đường thẳng \(y = m\) song song với trục hoành.

Xét hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\) ta có:

+ TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

+ \(y' = 3{x^2} - 6x\), \(y' = 0 \Leftrightarrow 3x\left( {x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\).

+ \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = 2\\x = 2 \Rightarrow y =  - 2\end{array} \right.\)

Ta vẽ được đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\) như sau:

Từ đó ta vẽ được đồ thị hàm số \(y = \left| {{x^3} - 3{x^2} + 2} \right|\) như sau:

(Đường màu đỏ)

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy phương trình \(\left| {{x^3} - 3{x^2} + 2} \right| = m\) có 6 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(0 < m < 2\).

Mà m nguyên dương \( \Rightarrow m = 1\).

Vậy có 1 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy \(f\left( 2 \right) =  - 2.\)

Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = f\left( 2 \right) =  - 2.\)

Dựa vào BBT ta thấy đường thẳng \(y =  - 2\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại 2 điểm phân biệt.

Vậy phương trình \(f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\) có hai nghiệm phân biệt.

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: Đường thẳng \(y = 1\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại 3 điểm phân biệt nên phương trình \(f\left( {x + 2019} \right) = 1\) có 3 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}x + 2019 = a\\x + 2019 = b\\x + 2019 = c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = a - 2019\\x = b - 2019\\x = c - 2019\end{array} \right.\).

Phương trình \(2f\left( {\sin x} \right) + 3 = 0 \Leftrightarrow f\left( {\sin x} \right) =  - \dfrac{3}{2}\,\,\,\,\left( * \right)\) có nghiệm trên \(\left[ { - \pi ;\,\,2\pi } \right]\) \( \Leftrightarrow \) đường thẳng \(y =  - \dfrac{3}{2}\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( {\sin x} \right)\) tại các điểm trên \(\left[ { - \pi ;\,\,2\pi } \right].\)

Đặt \(\sin x = t \Rightarrow x \in \left[ { - \pi ;\,\,2\pi } \right] \Rightarrow t \in \left[ { - 1;\,\,1} \right].\)

Ta có BBT:

Dựa vào BBT ta có: đường thẳng \(y =  - \frac{3}{2}\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) tại hai điểm phân biệt.

Ta có \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = {t_1} \in \left( {0;1} \right)\\\sin x = {t_2} \in \left( { - 1;0} \right)\end{array} \right.\).

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:

+) Đường thẳng \(y = {t_1}\) cắt đồ thị hàm số \(y = \sin x\) tại hai điểm phân biệt trong \(\left[ { - \pi ;\,\,2\pi } \right].\)

+) Đường thẳng \(y = {t_2}\) cắt đồ thị hàm số \(y = \sin x\) tại bốn điểm phân biệt trong \(\left[ { - \pi ;\,\,2\pi } \right].\)

Như vậy đường thẳng \(y =  - \frac{3}{2}\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( {\sin x} \right)\) tại 6 điểm phân biệt trên \(\left[ { - \pi ;\,\,2\pi } \right].\)

Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt.

Ta có đồ thị của hàm số \(y =  - 2{x^3} + 3{x^2} - 5\) cắt trục tung tại điểm có tung độ \(y =  - 5\)

Đặt \(t = 3 - \sqrt {4 - {x^2}} \) \( \Rightarrow 3 - t = \sqrt {4 - {x^2}}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t \le 3\\{x^2} = 4 - {\left( {3 - t} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t \le 3\\{x^2} = \left( {t - 1} \right)\left( {5 - t} \right) \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow 1 \le t \le 3\)

Nhận thấy với \(t = 1\) thì \({x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hay với \(t = 1\) thì ta chỉ tìm được đúng một nghiệm \(x\) (loại)

Với \(1 < t \le 3\) thì \({x^2} > 0\) nên ta sẽ tìm được hai giá trị của \(x\) đối nhau.

Do đó để phương trình có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn \(\left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 3 } \right]\) thì phương trình phải có hai nghiệm phân biệt đối nhau thuộc \(\left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\) và \(x \ne 0\).

Dễ thấy \(x \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\backslash \left\{ 0 \right\} \Rightarrow {x^2} \in \left( {0;2} \right] \Rightarrow 4 - {x^2} \in \left[ {2;4} \right)\)

\( \Rightarrow \sqrt {4 - {x^2}}  \in \left[ {\sqrt 2 ;2} \right) \Rightarrow 3 - \sqrt {4 - {x^2}}  \in \left( {1;3 - \sqrt 2 } \right]\)

\( \Rightarrow t \in \left( {1;3 - \sqrt 2 } \right] \Rightarrow f\left( t \right) \in \left( {f\left( 1 \right);f\left( {3 - \sqrt 2 } \right)} \right]\) vì \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {1;3 - \sqrt 2 } \right]\).

Phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) phân biệt thuộc đoạn \(\left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 3 } \right]\) thì phương trình \(f\left( t \right) = m\) có nghiệm duy nhất \(t \in \left( {1;3 - \sqrt 2 } \right]\)

\( \Rightarrow m = f\left( t \right) \in \left( {f\left( 1 \right);f\left( {3 - \sqrt 2 } \right)} \right] = \left( { - 1;f\left( {3 - \sqrt 2 } \right)} \right]\).

Vậy \(S = \left( { - 1;f\left( {3 - \sqrt 2 } \right)} \right]\).

Ta có: \(Pt \Leftrightarrow 2f\left( x \right) =  - 3 \Leftrightarrow f\left( x \right) =  - \dfrac{3}{2}.\;\;\left( * \right)\)

Số nghiệm của phương trình \(\left( * \right)\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y =  - \dfrac{3}{2}.\)

Dựa vào BBT ta thấy đường thẳng \(y =  - \dfrac{3}{2}\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại 4 điểm phân biệt.

\( \Rightarrow Pt\;\;\left( * \right)\) có 4 nghiệm phân biệt.