Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (tương giao đồ thị)

Bước 1:

Ta có: ${x^3} - 3{x^2} =  - m$

Bước 2:

Đặt $y = f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2}$ , ta có: $f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.$

BBT của hàm số $f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2}$

Bước 3:

Đường thẳng $y =  - m$ cắt đồ thị hàm số $f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2}$ tại ba điểm phân biệt khi $- 4 <  - m < 0 \Leftrightarrow 0 < m < 4$

$\left| {f\left( {{x^3} - 3x} \right)} \right| = \dfrac{2}{3} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( {{x^3} - 3x} \right) = \dfrac{2}{3}\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\\f\left( {{x^3} - 3x} \right) =  - \dfrac{2}{3}\,\,\left( {**} \right)\end{array} \right.$

$Pt\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^3} - 3x = {x_1}\,\,\left( { - 2 < {x_1} < 0} \right)\,\,\left( 1 \right)\\{x^3} - 3x = {x_2}\,\,\left( {0 < {x_2} < 2} \right)\,\,\,\,\left( 2 \right)\\{x^3} - 3x = {x_3}\,\,\left( {{x_3} > 2} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.$

$Pt\left( {**} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^3} - 3x = {x_4}\,\,\left( {{x_4} <  - 2} \right)\,\,\,\,\left( 4 \right)\\{x^3} - 3x = {x_5}\,\,\left( {{x_5} > 2} \right)\,\,\,\,\,\,\,\left( 5 \right)\\{x^3} - 3x = {x_6}\,\,\left( {{x_6} > 2} \right)\,\,\,\,\,\,\,\left( 6 \right)\end{array} \right.$

Xét phương trình $g\left( x \right) = {x^3} - 3x = {x_i}$, số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = g\left( x \right)$ và đường thẳng $y = {x_i}$ song song với trục hoành.

Ta có $g'\left( x \right) = 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 1$.

BBT:

Từ BBT ta thấy:

(1), (2) có 3 nghiệm phân biệt.

(3), (4), (5), (6) có 1 nghiệm.

Và dễ thấy tất cả các nghiệm trên là không trùng nhau.

Vậy phương trình ban đầu có 10 nghiệm phân biệt.

Ta có:

$\begin{array}{l}{x^3} - 3{x^2} - {m^3} + 3{m^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^3} - {m^3}} \right) - 3\left( {{x^2} - {m^2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - m} \right)\left( {{x^2} + mx + {m^2}} \right)\\ - 3\left( {x - m} \right)\left( {x + m} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - m} \right)\left( {{x^2} + mx + {m^2} - 3x - 3m} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - m} \right)\left[ {{x^2} + \left( {m - 3} \right)x + {m^2} - 3m} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - m = 0\\{x^2} + \left( {m - 3} \right)x + {m^2} - 3m = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = m\\{x^2} + \left( {m - 3} \right)x + {m^2} - 3m = 0\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\end{array}$

Đặt $f\left( x \right) = {x^2} + \left( {m - 3} \right)x + {m^2} - 3m$.

Để pt đã cho có 3 nghiệm phân biệt thì (1) có 2 nghiệm phân biệt khác $m$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\f\left( m \right) \ne 0\end{array} \right.$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 3} \right)^2} - 4\left( {{m^2} - 3m} \right) > 0\\{m^2} + \left( {m - 3} \right).m + {m^2} - 3m \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 3} \right)^2} - 4m\left( {m - 3} \right) > 0\\{m^2} + {m^2} - 3m + {m^2} - 3m \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {m - 3} \right)\left( {m - 3 - 4m} \right) > 0\\3{m^2} - 6m \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {m - 3} \right)\left( { - 3m - 3} \right) > 0\\3m\left( {m - 2} \right) \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < m < 3\\m \ne 0,m \ne 2\end{array} \right.\end{array}$

Do $m \in \mathbb{Z}$ nên $m = 1$ hay $T = \left\{ 1 \right\}$.

Vậy tổng các phần tử của T là 1.

Xét phương trình hoành độ giao điểm $13{x^4} - 3{x^2} - 2020 = 0$ (*)

Đặt ${x^2} = t \ge 0$ ta có phương trình $13{t^2} - 3t - 2020 = 0$

Phương trình trên có $ac = 13.\left( { - 2020} \right) < 0$ nên có hai nghiệm trái dấu ${t_1} < 0 < {t_2}$

Suy ra ${x^2} = {t_2} \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt {{t_2}}$

Hay phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt.

Xét phương trình hoành độ giao điểm

$\dfrac{{x - 2}}{{x - 1}} + \dfrac{{x - 1}}{x} + \dfrac{x}{{x + 1}} + \dfrac{{x + 1}}{{x + 2}} = \left| {x + 1} \right| - x - m$

$\Leftrightarrow \dfrac{{x - 2}}{{x - 1}} + \dfrac{{x - 1}}{x} + \dfrac{x}{{x + 1}} + \dfrac{{x + 1}}{{x + 2}} - \left| {x + 1} \right| + x =  - m$.

Xét hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{{x - 2}}{{x - 1}} + \dfrac{{x - 1}}{x} + \dfrac{x}{{x + 1}} + \dfrac{{x + 1}}{{x + 2}} - \left| {x + 1} \right| + x$ có TXĐ $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2; - 1;0;1} \right\}$.

$f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}$$- \dfrac{{x + 1}}{{\left| {x + 1} \right|}} + 1$

Ta có $- \dfrac{{x + 1}}{{\left| {x + 1} \right|}} + 1 = \dfrac{{\left| {x + 1} \right| - \left( {x + 1} \right)}}{{\left| {x + 1} \right|}}$.

Do $\left| {x + 1} \right| \ge x + 1\,\,\forall x \Rightarrow \left| {x + 1} \right| - \left( {x + 1} \right) \ge 0$$\Leftrightarrow \dfrac{{\left| {x + 1} \right| - \left( {x + 1} \right)}}{{\left| {x + 1} \right|}} \ge 0$.

$\Rightarrow f'\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in D$

$\Rightarrow$Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.

Bảng biến thiên:

Từ BBT ta thấy phương trình $f\left( x \right) =  - m$ có đúng 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $- m \ge 3 \Leftrightarrow m \le  - 3$

Số nghiệm của phương trình $4f\left( x \right) - 7 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = \dfrac{7}{4}$ là số giao điểm của đường thẳng $y = \dfrac{7}{4}$ và đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số $y = f\left( x \right).$

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng $y = \dfrac{7}{4}$ cắt đồ thị hàm số $\left( C \right):\,\,\,y = f\left( x \right)$ tại 3 điểm phân biệt.

$\Rightarrow$ Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.

Xét phương trình hoành độ giao điểm $\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2$ (do ${x^2} + 1 > 0\,\,\,\forall x$).

Vậy $\left( C \right)$ cắt trục hoành tại một điểm.

Số nghiệm của phương trình $2f\left( x \right) - 3 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = \frac{3}{2}$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ và đường thẳng $y = \frac{3}{2}$

Ta có BBT:

Dựa vào BBT ta thấy đường thẳng $y = \frac{3}{2}$ cắt đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ tại 3 điểm phân biệt

$\Rightarrow$ Phương trình $2f\left( x \right) - 3 = 0$ có 3 nghiệm phân biệt.

Đặt $t = f\left( {\cos x} \right) - 1$, phương trình trở thành $f\left( t \right) = 0$.

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy $f\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = a \in \left( { - 2; - 1} \right)\\t = b \in \left( { - 1;0} \right)\\t = c \in \left( {1;2} \right)\end{array} \right.$

Khi đó ta có: $\left[ \begin{array}{l}f\left( {\cos x} \right) - 1 = a \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\\f\left( {\cos x} \right) - 1 = b \in \left( { - 1;0} \right)\\f\left( {\cos x} \right) - 1 = c \in \left( {1;2} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( {\cos x} \right) = a + 1 \in \left( { - 1;0} \right)\,\,\,\left( 1 \right)\\f\left( {\cos x} \right) = b + 1 \in \left( {0;1} \right)\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\\f\left( {\cos x} \right) = c + 1 \in \left( {2;3} \right)\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.$

Tiếp tục dựa vào đồ thị hàm số ta có:

$\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = {a_1} <  - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {1.1} \right)\\\cos x = {a_2} \in \left( { - 1;0} \right)\,\,\,\,\left( {1.2} \right)\\\cos x = {a_3} > 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {1.3} \right)\end{array} \right.$

Các phương trình (1.1), (1.3) vô nghiệm do $- 1 \le \cos x \le 1$, phương trình (1.2) có 2 nghiệm phân biệt thuộc $\left[ {0;2\pi } \right]$.

$\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = {b_1} <  - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {2.1} \right)\\\cos x = {b_2} \in \left( { - 1;0} \right)\,\,\,\left( {2.2} \right)\\\cos x = {b_3} > 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {2.3} \right)\end{array} \right.$

Các phương trình (1.1), (1.3) vô nghiệm do $- 1 \le \cos x \le 1$, phương trình (1.2) có 2 nghiệm phân biệt thuộc $\left[ {0;2\pi } \right]$.

$\left( 3 \right) \Leftrightarrow \cos x = {c_1} > 1 \Rightarrow$ Phương trình vô nghiệm.

Vậy phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt thuộc $\left[ {0;2\pi } \right]$.

Nghiệm của phương trình $f\left( x \right) = 5$ là số giao điểm của đường thẳng $y = 5$ và đồ thị hàm số.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng $y = 5 > 3$ cắt đồ thị hàm số tại 1 điểm.

Vậy phương trình $f\left( x \right) = 5$ có duy nhất 1 nghiệm.

Đặt $t = {x^3} - 3x$ ta có $t' = 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \in \left( {0;2} \right)\\x =  - 1 \notin \left( {0;2} \right)\end{array} \right.$.

Ta có BBT:

Suy ra $x \in \left( {0;2} \right)$ thì $t \in \left[ { - 2;2} \right)$.

Khi đó phương trình trở thành $f\left( t \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow f\left( t \right) =  - 1$.

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = f\left( t \right)$ và đường thẳng $y =  - 1$.

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng $y =  - 1$ cắt đồ thị hàm số $y = f\left( t \right)$ tại 3 điểm phân biệt, do đó phương trình $f\left( t \right) =  - 1$ có 3 nghiệm phân biệt $\left[ \begin{array}{l}t = a \in \left( { - \infty ; - 2} \right)\,\,\left( {ktm} \right)\\t = b \in \left( { - 2;0} \right)\\t = c \in \left( {0;2} \right)\end{array} \right.$.

Dựa vào BBT hàm số $t = {x^3} - 3x$ ta có:

+ Phương trình $t = b \in \left( { - 2;0} \right)$ có 2 nghiệm phân biệt.

+ Phương trình $t = c \in \left( {0;2} \right)$ có 1 nghiệm duy nhất.

Vậy phương trình đã cho có tất cả 3 nghiệm.

Đặt $t = 2\tan x$, với $x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{4}} \right)$  thì $\tan x \in \left( {0;1} \right) \Rightarrow t \in \left( {0;2} \right)$.

Khi đó phương trình trở thành: $f\left( t \right) = 2m + 1$, số nghiệm của phương trình $f\left( t \right) = 2m + 1$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = f\left( t \right)$ và đường thẳng $y = 2m + 1$ song song với trục hoành.

Quan sát BBT trên khoảng (0;2), ta thấy, phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow  - 1 < 2m + 1 < 3 \Leftrightarrow  - 1 < m < 1$.

Ta có: $\left| {f\left( x \right)} \right| = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = 1\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\f\left( x \right) =  - 1\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$.

+ Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ và đường thẳng $y = 1$, suy ra phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt.

+ Số nghiệm của phương trình (2) là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ và đường thẳng $y =  - 1$, suy ra phương trình (2) có 4 nghiệm phân biệt.

Dễ thấy các nghiệm trên không có nghiệm nào trùng nhau.

Vậy phương trình đã cho có 7 nghiệm phân biệt.

Số nghiệm của phương trình $\left| {{x^3} - 3{x^2} + 2} \right| = m$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = \left| {{x^3} - 3{x^2} + 2} \right|$ và đường thẳng $y = m$ song song với trục hoành.

Xét hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} + 2$ ta có:

+ TXĐ: $D = \mathbb{R}$.

+ $y' = 3{x^2} - 6x$, $y' = 0 \Leftrightarrow 3x\left( {x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.$.

+ $\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = 2\\x = 2 \Rightarrow y =  - 2\end{array} \right.$

Ta vẽ được đồ thị hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} + 2$ như sau:

Từ đó ta vẽ được đồ thị hàm số $y = \left| {{x^3} - 3{x^2} + 2} \right|$ như sau:

(Đường màu đỏ)

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy phương trình $\left| {{x^3} - 3{x^2} + 2} \right| = m$ có 6 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $0 < m < 2$.

Mà m nguyên dương $\Rightarrow m = 1$.

Vậy có 1 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy $f\left( 2 \right) =  - 2.$

Số nghiệm của phương trình $f\left( x \right) = f\left( 2 \right)$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ và đường thẳng $y = f\left( 2 \right) =  - 2.$

Dựa vào BBT ta thấy đường thẳng $y =  - 2$ cắt đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ tại 2 điểm phân biệt.

Vậy phương trình $f\left( x \right) = f\left( 2 \right)$ có hai nghiệm phân biệt.

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: Đường thẳng $y = 1$ cắt đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ tại 3 điểm phân biệt nên phương trình $f\left( {x + 2019} \right) = 1$ có 3 nghiệm phân biệt $\left[ \begin{array}{l}x + 2019 = a\\x + 2019 = b\\x + 2019 = c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = a - 2019\\x = b - 2019\\x = c - 2019\end{array} \right.$.

Phương trình $2f\left( {\sin x} \right) + 3 = 0 \Leftrightarrow f\left( {\sin x} \right) =  - \dfrac{3}{2}\,\,\,\,\left( * \right)$ có nghiệm trên $\left[ { - \pi ;\,\,2\pi } \right]$ $\Leftrightarrow$ đường thẳng $y =  - \dfrac{3}{2}$ cắt đồ thị hàm số $y = f\left( {\sin x} \right)$ tại các điểm trên $\left[ { - \pi ;\,\,2\pi } \right].$

Đặt $\sin x = t \Rightarrow x \in \left[ { - \pi ;\,\,2\pi } \right] \Rightarrow t \in \left[ { - 1;\,\,1} \right].$

Ta có BBT:

Dựa vào BBT ta có: đường thẳng $y =  - \frac{3}{2}$ cắt đồ thị hàm số $y = f\left( t \right)$ tại hai điểm phân biệt.

Ta có $\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = {t_1} \in \left( {0;1} \right)\\\sin x = {t_2} \in \left( { - 1;0} \right)\end{array} \right.$.

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:

+) Đường thẳng $y = {t_1}$ cắt đồ thị hàm số $y = \sin x$ tại hai điểm phân biệt trong $\left[ { - \pi ;\,\,2\pi } \right].$

+) Đường thẳng $y = {t_2}$ cắt đồ thị hàm số $y = \sin x$ tại bốn điểm phân biệt trong $\left[ { - \pi ;\,\,2\pi } \right].$

Như vậy đường thẳng $y =  - \frac{3}{2}$ cắt đồ thị hàm số $y = f\left( {\sin x} \right)$ tại 6 điểm phân biệt trên $\left[ { - \pi ;\,\,2\pi } \right].$

Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt.

Ta có đồ thị của hàm số $y =  - 2{x^3} + 3{x^2} - 5$ cắt trục tung tại điểm có tung độ $y =  - 5$

Đặt $t = 3 - \sqrt {4 - {x^2}}$ $\Rightarrow 3 - t = \sqrt {4 - {x^2}}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t \le 3\\{x^2} = 4 - {\left( {3 - t} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t \le 3\\{x^2} = \left( {t - 1} \right)\left( {5 - t} \right) \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow 1 \le t \le 3$

Nhận thấy với $t = 1$ thì ${x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hay với $t = 1$ thì ta chỉ tìm được đúng một nghiệm $x$ (loại)

Với $1 < t \le 3$ thì ${x^2} > 0$ nên ta sẽ tìm được hai giá trị của $x$ đối nhau.

Do đó để phương trình có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn $\left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 3 } \right]$ thì phương trình phải có hai nghiệm phân biệt đối nhau thuộc $\left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]$ và $x \ne 0$.

Dễ thấy $x \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\backslash \left\{ 0 \right\} \Rightarrow {x^2} \in \left( {0;2} \right] \Rightarrow 4 - {x^2} \in \left[ {2;4} \right)$

$\Rightarrow \sqrt {4 - {x^2}}  \in \left[ {\sqrt 2 ;2} \right) \Rightarrow 3 - \sqrt {4 - {x^2}}  \in \left( {1;3 - \sqrt 2 } \right]$

$\Rightarrow t \in \left( {1;3 - \sqrt 2 } \right] \Rightarrow f\left( t \right) \in \left( {f\left( 1 \right);f\left( {3 - \sqrt 2 } \right)} \right]$ vì $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( {1;3 - \sqrt 2 } \right]$.

Phương trình đã cho có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ phân biệt thuộc đoạn $\left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 3 } \right]$ thì phương trình $f\left( t \right) = m$ có nghiệm duy nhất $t \in \left( {1;3 - \sqrt 2 } \right]$

$\Rightarrow m = f\left( t \right) \in \left( {f\left( 1 \right);f\left( {3 - \sqrt 2 } \right)} \right] = \left( { - 1;f\left( {3 - \sqrt 2 } \right)} \right]$.

Vậy $S = \left( { - 1;f\left( {3 - \sqrt 2 } \right)} \right]$.

Ta có: $Pt \Leftrightarrow 2f\left( x \right) =  - 3 \Leftrightarrow f\left( x \right) =  - \dfrac{3}{2}.\;\;\left( * \right)$

Số nghiệm của phương trình $\left( * \right)$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ và đường thẳng $y =  - \dfrac{3}{2}.$

Dựa vào BBT ta thấy đường thẳng $y =  - \dfrac{3}{2}$ cắt đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ tại 4 điểm phân biệt.

$\Rightarrow Pt\;\;\left( * \right)$ có 4 nghiệm phân biệt.