Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (tương giao đồ thị)

Ta có: \(f\left( {f\left( x \right)} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = a\,\,\,\left( {a <  - 1} \right)\\f\left( x \right) = b\,\,\,\left( { - 1 < b < 0} \right)\\f\left( x \right) = c\,\,\,\left( {0 < c < 1} \right)\\f\left( x \right) = d\,\,\,\left( {d > 1} \right)\end{array} \right.\)

Dựa vào đồ thị ta thấy:

 \(f\left( x \right) = a\) với \(a <  - 1\) có \(2\) nghiệm.

\(f\left( x \right) = b\,\,\left( { - 1 < b < 0} \right)\) có \(4\) nghiệm.

\(f\left( x \right) = c\) với \(0 < c < 1\) có \(4\) nghiệm.

\(f\left( x \right) = d\) với \(d > 1\) vô nghiệm.

Số nghiệm thực phân biệt của phương trình \(f\left( {f\left( x \right)} \right) = 0\) là \(10.\)

Đặt \(t = {x^2} - 1\,\,\left( {t \ge  - 1} \right)\).

Phương trình đã cho trở thành: \(f\left( t \right) + 2 = 0\).

\( \Leftrightarrow f\left( t \right) =  - 2\), với \(t \ge  - 1\)  (*).

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đường thẳng \(y =  - 2\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) tại 4 điểm phân biệt. Trong đó, có 3 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn hoặc bằng \( - 1\).

Suy ra phương trình (*) có 3 nghiệm thực \(t\).

Khi đó ứng với mỗi nghiệm thực \(t\) thì có 2 nghiệm thực \(x\).

Vậy phương trình đã cho có tổng cộng 6 nghiệm thực phân biệt.

Thay tọa độ điểm Q vào hàm số ta có: \( - 4 = {0^3} - {3.0^2} + 5.0 - 4\) (đúng).

Vậy điểm \(Q\left( {0; - 4} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 5x - 4\).

Xét đồ thị \(y=|f\left( |x| \right)+m|\)  khi m thay đổi thì đồ thị hàm số sẽ tịnh tiến dọc theo trục Oy.

Từ bảng biến thiên ta thấy \(y=f\left( x \right)\)  đồ thị hàm số đã có 2 điểm cực trị nằm bên phải trục Oy.

Vậy nếu giả sử \(y=f\left( x \right)+m\) cắt Ox tại 3 điểm có hoành độ dương thì đồ thị hàm số \(y=|f\left( x \right)+m|\) sẽ có 5 điểm cực trị ( theo lí thuyết phần phương pháp ).

Suy ra đồ thị hàm số \(y=|f\left( |x| \right)+m|\) sẽ có 11 điểm cực trị (theo lí thuyết phần phương pháp).

Như vậy ta tìm điều kiện của m để phương trình \(f\left( x \right)+m=0\) có 3 nghiệm dương phân biệt.

Từ bảng biến thiên dễ thấy với \(0 < m < 1\) thỏa mãn.

Dựa vào đồ thị hàm số \(f\left( \left| x \right| \right)={{\left| x \right|}^{3}}-3{{\left| x \right|}^{2}},\) hình vẽ bên dưới:

Để phương trình \(g\left( x \right)=0\Leftrightarrow f\left| \left( x \right) \right|=-\,m\) có 4 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow \)\(-\,4<-\,m<0\Leftrightarrow 0<m<4.\)

Kết hợp với điều kiện \(m\in \mathbb{Z}\)\(\xrightarrow{{}}\,\,m=\left\{ 1;\,\,2;\,\,3 \right\}\) là các giá trị cần tìm.

Vẽ đồ thị hàm số \(y=\left| {{x}^{3}}-3x+2 \right|\) dựa vào đồ thị hàm số \(y={{x}^{3}}-3x+2\).

Đánh giá vị trí của đường thẳng \(y={{2}^{m}}\) để đồ thị hàm số cắt đường thẳng \(y={{2}^{m}}\) tại 3 điểm phân biệt.

Kết luận giá trị của m.

Quan sát đồ thị hàm số ta thấy:

+) Với \(m < 3\) thì đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại \(3\) điểm phân biệt.

+) Với \(m = 3\) thì đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại \(2\) điểm phân biệt.

+) Với \(m > 3\) thì đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại  duy nhất \(1\) điểm.

Vậy đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại nhiều nhất \(3\) điểm.

Do đó phương trình đã cho có nhiều nhất \(3\) nghiệm.

Xét phương trình hoành độ giao điểm \({{x}^{4}}-m{{x}^{2}}+2m-3=1\) \(\Leftrightarrow {{x}^{4}}-m{{x}^{2}}+2m-4=0\,\,\left( * \right)\)

Để để đồ thị \(\left( {{C}_{m}} \right)\) của hàm số \(y={{x}^{4}}-m{{x}^{2}}+2m-3\) có 4 giao điểm với đường thẳng \(y=1\), có hoành độ nhỏ hơn 3 \(\Rightarrow \) Phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt nhỏ hơn 3.

Đặt \({{x}^{2}}=t\,\,\left( 0\le t<9 \right)\), khi đó \(\left( * \right)\Leftrightarrow {{t}^{2}}-mt+2m-4=0\,\,\,\left( ** \right)\) , phương trình này có 2 nghiệm phân biệt thuộc \(\left( 0;9 \right)\).

\(\left( {**} \right) \Leftrightarrow \left( {{t^2} - 4} \right) - m\left( {t - 2} \right)=0 \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t - 2 = 0\\t + 2 - m = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\left( {tm} \right)\\t = m - 2\end{array} \right.\)
Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thuộc \(\left( {0;9} \right) \) \(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < m - 2 < 9\\m - 2 \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 < m < 11\\m \ne 4\end{array} \right.\)

Đồ thị hàm số \(y={{x}^{3}}-2\left( m+1 \right){{x}^{2}}+\left( 5m+1 \right)x-2m-2\) luôn đi qua điểm \(A\left( 2;0 \right)\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm

\(\begin{array}{l}
\,\,\,\,{x^3} - 2\left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {5m + 1} \right)x - 2m - 2 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} - 2mx + m + 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2\\
{x^2} - 2mx + m + 1 = 0\,\,\left( * \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)

Để phương trinh có 3 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow pt\,\left( * \right)\) có 2 nghiệm phân biệt khác 2 

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta ' = {m^2} - m - 1 > 0\\
{2^2} - 2m.2 + m + 1 \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \in \left( { - \infty ;\dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} \right) \cup \left( {\dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}; + \infty } \right)\\
m \ne \dfrac{5}{3}
\end{array} \right.\)

Giả sử \({{x}_{B}};{{x}_{C}}\,\,\left( {{x}_{B}}<{{x}_{C}} \right)\) là 2 nghiệm phân biệt của phương trình (*).

Để hai điểm B, C một điểm nằm trong một điểm nằm ngoài đường tròn \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1\)

TH1: \({x_B} < - 1 < {x_C} < 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
af\left( { - 1} \right) < 0\\
af\left( 1 \right) > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3m + 2 < 0\\
- m + 2 > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m < \dfrac{{ - 2}}{3}\\
m < 2
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow m < \dfrac{{ - 2}}{3}\)

TH2: \( - 1 < {x_B} < 1 < {x_C} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
af\left( { - 1} \right) > 0\\
af\left( 1 \right) < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3m + 2 > 0\\
- m + 2 < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > - \dfrac{2}{3}\\
m > 2
\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow m > 2\)

Kết hợp điều kiện ta có: \(m\in \left( -\infty ;-\dfrac{2}{3} \right)\cup \left( 2;+\infty  \right)\).

Lại có \(m\in \left[ -10;100 \right]\) \(\Rightarrow m\in \left[ -10;-\dfrac{2}{3} \right)\cup \left( 2;100 \right]\)

\(\Rightarrow \) có \(108\) giá trị m nguyên thỏa mãn yêu cầu bái toán.

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là \({{x}^{3}}-4x+3=x+3\Leftrightarrow x\left( {{x}^{2}}-5 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=0 \\  & x=\pm \,\sqrt{5} \\ \end{align} \right..\)

Vậy hai đồ thị cắt nhau tại 3 điểm phân biệt.

Phương trình hoành độ giao điểm:

${x^3} - 3{x^2} + 2 = m\left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2x - 2 - m} \right) = 0 $

$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}  x = 1 \hfill \\  {x^2} - 2x - 2 - m = 0\left( * \right) \hfill \\ \end{gathered}  \right.$

Để hai đồ thị hàm số cắt nhau tại ba điểm phân biệt thì phương trình hoành độ có 3 nghiệm phân biệt

$ \Leftrightarrow \left( * \right)$ có 2 nghiệm phân biệt khác $1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}  \Delta ' = 1 + 2 + m > 0 \hfill \\  1 - 2 - 2 - m \ne 0 \hfill \\ \end{gathered}  \right. \Leftrightarrow m >  - 3$

Gọi ${x_1} = 1,{x_2},{x_3}$ lần lượt là nghiệm của phương trình $\left( * \right) \Rightarrow {x_2} + {x_3} = 2;{x_2}{x_3} =  - 2 - m$

Ta có: $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 5 \Leftrightarrow {\left( {{x_2} + {x_3}} \right)^2} - 2{x_2}{x_3} = 4 $ 

$\Leftrightarrow 4 - 2\left( { - 2 - m} \right) = 4 \Leftrightarrow m =  - 2$

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( C \right)\) và \(\left( P \right)\) là \({{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2x-1={{x}^{2}}-3x+1\)

\(\Leftrightarrow {{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+5x-2=0\Leftrightarrow \left( x-2 \right){{\left( x-1 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=1\,\,\Rightarrow \,\,y\left( 1 \right)=-\,1 \\& x=2\,\,\Rightarrow \,\,y\left( 2 \right)=-\,1 \\ \end{align} \right..\)

Khi đó \(A\left( 1;-\,1 \right),\,\,B\left( 2;-\,1 \right)\) \(\xrightarrow{{}}\,\,\overrightarrow{AB}=\left( 1;0 \right)\Rightarrow AB=1.\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm \({x^4} - {x^2} + 1 =  - {x^2} \Leftrightarrow {x^4} + 1 = 0 \)

\(\Rightarrow \) Phương trình vô nghiệm.

Vậy hai đồ thị hàm số không có điểm chung.

Đồ thị hàm số \(y =  - {x^4} - 2{x^2} + 3\) cắt trục tung tại điểm có tung độ: \(y = 3\)

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng là:

$\begin{array}{l}2{x^3}-3{x^2}\; =  - 5\\ \Leftrightarrow 2{x^3}-3{x^2}\; + 5 = 0\\ \Leftrightarrow x =  - 1\end{array}$

+ Để giải phương trình \(f\left( {f\left( x \right)} \right) = 1\) ta đi xét phương trình \(f\left( x \right) = 1\).

Từ đồ thị \(f\left( x \right)\) kẻ tương giao với đường thẳng \(y = 1 \Rightarrow \) Phương trình \(f\left( x \right) = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = a\,\,\,voi\,\,a <  - 1\\x = 0\\x = b\,\,voi\,\,b \in \left( {1;2} \right)\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow \) Phương trình \(f\left( {f\left( x \right)} \right) = 1\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = a \to ke\,\,tuong\,\,giao\,\,\left( {a <  - 1} \right) \Rightarrow 1\,\,nghiem\\f\left( x \right) = 0 \to ke\,\,tuong\,\,giao \Rightarrow 3\,\,nghiem\\f\left( x \right) = b \to ke\,\,tuong\,\,giao\,\,b \in \left( {1;2} \right) \Rightarrow 3\,\,nghiem\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \) Phương trình \(f\left( {f\left( x \right)} \right) = 1\) có 7 nghiệm phân biệt.

Xét phương trình

$\begin{array}{l}{x^3} - 3{x^2} + 2 =  - {x^2} + 7x - 11\\ \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} + 2 - \left( { - {x^2} + 7x - 11} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {x^3} - 2{x^2} - 7x + 13 = 0\end{array}$

Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} - 7x + 13\) trên tập số thực \(\mathbb{R}\) có:

\(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 4x - 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = \dfrac{7}{3}\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên

Quan sát bảng biến thiên ta thấy hàm số có \({y_{CD}}.{y_{CT}} < 0\) nên phương trình \(y = 0\) có \(3\) nghiệm phân biệt.

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \) phương trình $ - {x^3} + 2{x^2}-m\; = 0$ có đúng một nghiệm thực

\( \Leftrightarrow \) đường thẳng $y = m$ có đúng $1$ điểm chung với đồ thị hàm số: $y = f(x) =  - {x^3} + 2{x^2}$

Lập bảng biến thiên của hàm số: $y = f(x) =  - {x^3} + 2{x^2}$

Dựa vào bảng biến thiên ta được kết quả: $m < 0$ hoặc $m > \dfrac{{32}}{{27}}$

Phương trình hoành độ giao điểm: ${x^3} - 3{x^2} - m + 2 =  - \,mx$

$ \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} + 2 + m\left( {x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2x + m - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\{x^2} - 2x + m - 2 = 0\,\,\,\,\,\left(  *  \right)\end{array} \right..$

Để $d$ cắt $\left( C \right)$ tại ba điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt khác \(1\)

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\{1^2} - 2.1 + m - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - \left( {m - 2} \right) > 0\\m \ne 3\end{array} \right. \Leftrightarrow m < 3.$

Do \(B\) là trung điểm của \(AC\) nên \(A,B,C\) cùng thuộc đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) và \(A,C\) đối xứng nhau qua \(B\)

Điều này có nghĩa là \(B\) chính là điểm uốn của \(\left( C \right)\). Bài toán trở thành tìm \(m\) để \(d\) đi qua điểm uốn của \(\left( C \right)\).

Ta xét $y = {x^3} - 3{x^2} - m + 2$ có \(y' = 3{x^2} - 6x;y'' = 6x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 1\) suy ra \(B\left( {1; - m} \right)\)

Dễ thấy \(B \in d\) hay \(d\) luôn đi qua \(B\) với mọi \(m\).

Kết hợp điều kiện để phương trình có ba nghiệm phân biệt ta được \(m < 3\).

Vậy với \(m < 3\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Gọi \(d:y = mx + n\).

\(d\) đi qua \(A\left( {3;20} \right)\) nên \(20 = 3m + n \Leftrightarrow n = 20 - 3m\) hay \(d:y = mx + 20 - 3m\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(d\) và \(\left( C \right)\):

\({x^3} - 3x + 2 = mx + 20 - 3m\)\( \Leftrightarrow {x^3} - \left( {m + 3} \right)x + 3m - 18 = 0\) \( \Leftrightarrow m(x - 3) = {x^3} - 3x - 18\) \( \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + 3x + 6 - m} \right) = 0\)

Để $d$ cắt đồ thị tại $3$ điểm phân biệt thì phương trình có \(3\) nghiệm phân biệt

Suy ra phương trình ${x^2} + 3x + 6 - m = 0$ có $2$ nghiệm phân biệt khác \(3\)

Điều kiện:

$\left\{ \begin{array}{l}
\Delta = {3^2} - 4\left( {6 - m} \right) > 0\\
{3^2} + 3.3 + 6 - m \ne 0
\end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- 15 + 4m > 0\\
24 - m \ne 0
\end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > \dfrac{{15}}{4}\\
m \ne 24
\end{array} \right.$