Cho hàm số \(y = {x^3} - 3x + 2\) có đồ thị $\left( C \right).$ Gọi $d$ là đường thẳng đi qua $A\left( {3;20} \right)$ và có hệ số góc $m.$ Giá trị của $m$ để đường thẳng $d$ cắt $\left( C \right)$ tại $3$ điểm phân biệt

Gọi \(d:y = mx + n\).

\(d\) đi qua \(A\left( {3;20} \right)\) nên \(20 = 3m + n \Leftrightarrow n = 20 - 3m\) hay \(d:y = mx + 20 - 3m\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(d\) và \(\left( C \right)\):

\({x^3} - 3x + 2 = mx + 20 - 3m\)\( \Leftrightarrow {x^3} - \left( {m + 3} \right)x + 3m - 18 = 0\) \( \Leftrightarrow m(x - 3) = {x^3} - 3x - 18\) \( \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + 3x + 6 - m} \right) = 0\)

Để $d$ cắt đồ thị tại $3$ điểm phân biệt thì phương trình có \(3\) nghiệm phân biệt

Suy ra phương trình ${x^2} + 3x + 6 - m = 0$ có $2$ nghiệm phân biệt khác \(3\)

Điều kiện:

$\left\{ \begin{array}{l}
\Delta = {3^2} - 4\left( {6 - m} \right) > 0\\
{3^2} + 3.3 + 6 - m \ne 0
\end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- 15 + 4m > 0\\
24 - m \ne 0
\end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > \dfrac{{15}}{4}\\
m \ne 24
\end{array} \right.$