Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Ta có $y' = \cos x \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \cos x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Do $x\in \left[ { - \dfrac{\pi }{2}; - \dfrac{\pi }{3}} \right]$ nên $k=-1$ hay $x=-\dfrac{\pi }{2}$

Suy ra $y\left( { - \dfrac{\pi }{2}} \right) =  - 1;\;\;y\left( { - \dfrac{\pi }{3}} \right) =  - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\rm{\;}}&{\mathop {\max}\limits_{\left[ { - \frac{\pi }{2}; - \frac{\pi }{3}} \right]}y =  - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}\\{{\rm{ \;}}}&{\mathop {\min }\limits_{\left[ { - \frac{\pi }{2}; - \frac{\pi }{3}} \right]} y =  - 1}\end{array}} \right.$

Bước 1: Gọi chiều dài của đáy hộp là \(x(\;{\rm{cm}}),x > 0\), chiều cao của hộp chữ nhật là \(h(\;{\rm{cm}}),h > 0\).

Ta có \(180ml = 180\;c{m^3}\).

Gọi chiều dài của đáy hộp là \(x(\;{\rm{cm}}),x > 0\), chiều cao của hộp chữ nhật là \(h(\;{\rm{cm}}),h > 0\).

Chiều rộng của đáy hộp là \(\dfrac{2}{3}x(\;{\rm{cm}})\).

Ta có thể tích của khối hộp chữ nhật là \(V = x \cdot \dfrac{2}{3}x.h = 180\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\)\( \Rightarrow h = \dfrac{{270}}{{{x^2}}}(\;{\rm{cm}})\).

Bước 2: Tính giá trị nhỏ nhất của diện tích toàn phần của khối hộp chữ nhật theo x.

Diện tích toàn phần của khối hộp chữ nhật là

\(f(x) = {S_{TP}} = 2 \cdot x \cdot \dfrac{2}{3}x + 2 \cdot x \cdot \dfrac{{270}}{{{x^2}}}\)\( + 2 \cdot \dfrac{2}{3}x \cdot \dfrac{{270}}{{{x^2}}}\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\)\( = \dfrac{4}{3}{x^2} + \dfrac{{900}}{x}\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\)

Yêu cầu bài toán trở thành tìm \(x\) dương để hàm số \(f(x) = \dfrac{4}{3}{x^2} + \dfrac{{900}}{x}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số dương \(\dfrac{4}{3}{x^2},\dfrac{{450}}{x},\dfrac{{450}}{x}\) ta có

\(\mathop 3\limits^4 {x^2} + \dfrac{{450}}{x} + \dfrac{{450}}{x}\)\( \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{4}{3}{x^2} \cdot \dfrac{{450}}{x} \cdot \dfrac{{450}}{x}}}\)\( \Leftrightarrow f(x) \ge 3\sqrt[3]{{270000}},\forall x > 0\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{4}{3}{x^2} = \dfrac{{450}}{x} = \dfrac{{450}}{x}\)\( \Leftrightarrow x = \dfrac{{\sqrt[3]{{2700}}}}{2} \approx 6,96(\;{\rm{cm}})\).

Ta có: \(y = x - \sqrt {4 - {x^2}} \)

TXĐ: \(D = \left[ { - 2;\,\,2} \right].\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow y' = 1 + \dfrac{x}{{\sqrt {4 - {x^2}} }} \Rightarrow y' = 0\\ \Leftrightarrow x + \sqrt {4 - {x^2}}  = 0 \Leftrightarrow \sqrt {4 - {x^2}}  =  - x\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 0\\{x^2} = 4 - {x^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 0\\{x^2} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 0\\\left[ \begin{array}{l}x = \sqrt 2 \\x =  - \sqrt 2 \end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x =  - \sqrt 2 \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y\left( 2 \right) = 2\\y\left( { - \sqrt 2 } \right) =  - 2\sqrt 2 \\y\left( { - 2} \right) =  - 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M = \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} y = y\left( 2 \right) = 2\\m = \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} y = y\left( { - \sqrt 2 } \right) =  - 2\sqrt 2 \end{array} \right.\\ \Rightarrow M + m = 2 - 2\sqrt 2 .\end{array}\)

Đặt \(h\left( x \right) = 3{x^4} - 4{x^3} - 12{x^2} + m\) ta có:

\(h'\left( x \right) = 12{x^3} - 12{x^2} - 24x = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - 1\\x = 2\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Ta thấy \(m - 32 < m - 5 < m < m + 27\).

TH1: \(m - 32 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge 32\).

\( \Rightarrow M = m + 27 = \dfrac{{71}}{2} \Leftrightarrow m = \dfrac{{17}}{2}\,\,\left( {ktm} \right)\).

TH2: \(m - 32 < 0 \le m - 5 \Leftrightarrow 5 \le m < 32\).

\( \Rightarrow M \in \left\{ {32 - m;m + 27} \right\}\).

Nếu \(m + 27 \ge 32 - m \Leftrightarrow 2m \ge 5 \Leftrightarrow m \ge \dfrac{5}{2}\), kết hợp điều kiện \( \Rightarrow 5 \le m < 32\), khi đó \(M = m + 27 = \dfrac{{71}}{2} \Leftrightarrow m = \dfrac{{17}}{2}\,\,\,\left( {tm} \right)\).

Nếu \(m + 27 < 32 - m \Leftrightarrow m < \dfrac{5}{2}\), kết hợp điều kiện \( \Rightarrow m \in \emptyset \).

TH3: \(m - 5 < 0 \le m \Leftrightarrow 0 \le m < 5\).

 \( \Rightarrow M \in \left\{ {32 - m;m + 27} \right\}\).

Nếu \(m + 27 \ge 32 - m \Leftrightarrow 2m \ge 5 \Leftrightarrow m \ge \dfrac{5}{2}\), kết hợp điều kiện \( \Rightarrow \dfrac{5}{2} \le m < 5\), khi đó \(M = m + 27 = \dfrac{{71}}{2} \Leftrightarrow m = \dfrac{{17}}{2}\,\,\,\left( {ktm} \right)\).

Nếu \(m + 27 < 32 - m \Leftrightarrow m < \dfrac{5}{2}\), kết hợp điều kiện \( \Rightarrow 0 \le m < \dfrac{5}{2}\), khi đó \(M = 32 - m = \dfrac{{71}}{2} \Leftrightarrow m =  - \dfrac{7}{2}\,\,\left( {ktm} \right)\).

TH4: \(m + 27 \le 0 \Leftrightarrow m \le  - 27\), khi đó \(M = 32 - m = \dfrac{{71}}{2} \Leftrightarrow m =  - \dfrac{7}{2}\,\,\,\left( {tm} \right)\).

Vậy có hai giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(m \in \left\{ {\dfrac{{17}}{2}; - \dfrac{7}{2}} \right\}\), tổng các giá trị của \(m\) là \(\dfrac{{17}}{2} + \left( { - \dfrac{7}{2}} \right) = \dfrac{{10}}{2} = 5\).

Bước 1:

Gọi \(x\) (đồng) là giá bán thực tế của mỗi kilôgam vải thiều \((25000 \le x \le 40000)\).

Bước 2: Biểu diễn số \({\rm{kg}}\) vải thiều bán được tương ứng với giá bán \(x\)

Theo bài ra số kilôgam bán thêm được là: \((40000 - x) \cdot \dfrac{{40}}{{4000}} = \dfrac{1}{{100}}(40000 - x)\).

Do đó số \({\rm{kg}}\) vải thiều bán được tương ứng với giá bán \(x\) :

\(30 + \dfrac{1}{{100}}(40000 - x)\)\( =  - \dfrac{1}{{100}}x + 430\).

Gọi \(F(x)\) là hàm lợi nhuận thu được \((F(x)\) : đồng).

Ta có:

\(\begin{array}{l}F(x) = \left( { - \dfrac{1}{{100}}x + 430} \right) \cdot (x - 25000)\\ =  - \dfrac{1}{{100}}{x^2} + 680x - 10750000\end{array}\).

Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất của hàm lợi nhuận \(F(x)\) trên $[25000 ; 40000]$.

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của

\(F(x) =  - \dfrac{1}{{100}}{x^2} + 680x - 10750000\) trên $[25000 ; 40000]$.

Ta có: \({F^\prime }(x) =  - \dfrac{1}{{50}}x + 680.\)

\({F^\prime }(x) = 0\)\( \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{{50}}x + 680 = 0 \Leftrightarrow x = 34000\).

Vì hàm \(F(x)\) liên tục trên đoạn $[25000 ; 40000]$ nên ta có:

\(F(25000) = 0;F(34000) = 810000;\)\(F(40000) = 450000.{\rm{ }}\)

Vậy với \(x = 34000\) thì \(F(x)\) đạt giá trị lớn nhất.

Vậy để cửa hàng đó thu được lợi nhuận lớn nhất thì giá bán thực tế của mỗi kg vải thiều là 34000 đồng.

Cách 1. Hàm số \(y = f(x) = x + \dfrac{4}{x}\) xác định trên đoạn [1 ; 5].

Ta có: \(y' = 1 - \dfrac{4}{{{x^2}}}\)

\({y^\prime } = 0 \Leftrightarrow 1 - \dfrac{4}{{{x^2}}} = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 \in [1;5]}\\{x =  - 2 \notin [1;5]}\end{array}} \right.\)

\(f\left( 1 \right) = 5;\) \(f(5) = \dfrac{{29}}{5};f(2) = 4\)

Vậy GTNN của hàm số là 4 đạt tại \(x = 2\).

Cách 2. Áp dụng BĐT Cô si cho hai số dương \(x;\dfrac{4}{x}\) ta được:

\(x + \dfrac{4}{x} \ge 2\sqrt {x.\dfrac{4}{x}}  = 4\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x = \dfrac{4}{x} \Leftrightarrow x = 2\)

Hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x\) xác định trên \(\mathbb{R}\) nên xác định trên \(\left[ { - 3;3} \right]\).

Ta có \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 1 \in \left[ { - 3;3} \right]\).

\(f\left( { - 3} \right) =  - 18;\,\,f\left( 3 \right) = 18;\,\,f\left( { - 1} \right) = 2;\,\,f\left( 1 \right) =  - 2\).

Vậy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 3;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 3} \right) =  - 18\).

Khảo sát hàm số \(y = {x^3} - 3x + 4\) trên \(\left[ {0;3} \right]\).

+ \(y' = 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x = {\kern 1pt}  \pm 1\).

+ BBT:

\( \Rightarrow \) Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = 1\).

Từ đồ thị hàm số, xét trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right]\) ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số là \(y = 2 \Leftrightarrow x =  - 2\) và giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(y =  - 6 \Leftrightarrow x = \sqrt 2 \).

Suy ra \(M = 2;\,\,m =  - 6\) nên \(M + m = 2 + \left( { - 6} \right) =  - 4\).

ĐK : \(x \ne m\)

Ta có \(y' = \dfrac{{{m^2} - m + 2}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}}\)  nhận thấy\({m^2} - m + 2 = {\left( {m - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{7}{4} > 0;\,\forall m\)  nên \(y' > 0;\,\forall m\)

Hay hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.

Để hàm số đạt GTLN trên \(\left[ {0;4} \right]\) thì \(m \notin \left[ {0;4} \right] \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < 0\\m > 4\end{array} \right.\)

Suy ra \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;4} \right]} y = y\left( 4 \right) = \dfrac{{4 - {m^2} - 2}}{{4 - m}}\,\) . Theo bài ra ta có

\(\dfrac{{4 - {m^2} - 2}}{{4 - m}} =  - 1 \) \(\Rightarrow  - {m^2} + 2 = m - 4 \Leftrightarrow {m^2} + m - 6 = 0 \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\,\,\,\left( {ktm} \right)\\m =  - 3\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

Vậy có một giá trị của \(m\) thỏa mãn.

Từ đồ thị hàm số ta thấy trên đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\) thì điểm cao nhất của đồ thị  là điểm \(A\left( {3;3} \right)\) và điểm thấp nhất của đồ thị  là \(B\left( {2; - 2} \right)\)  nên GTLN của hàm số  là \(M = 3\) và GTNN của hàm số là \(m =  - 2.\)

Từ đó \(M - m = 3 - \left( { - 2} \right) = 5.\)

Nếu $M =  - 2$ là GTLN của hàm số $y = f\left( x \right)$ trên $\left[ {1;3} \right]$ thì $f\left( x \right) \leqslant  - 2,\forall x \in \left[ {1;3} \right]$.

Ta có: \(y' = 3{x^2} + 6x = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\, \in \left[ { - 1;2} \right]\\x = -2\, \notin \left[ { - 1;2} \right]\end{array} \right.\)

\(y\left( { - 1} \right) =  3;\,\,y\left( 0 \right) =  1\,\,;\,y\left( 2 \right) =  21\)

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm \(x = 0\).

TXĐ: $x \ne 0$.

$f'\left( x \right) = \dfrac{{x\cos x - \sin x}}{{{x^2}}} < 0 \forall x \in \left[ {\dfrac{\pi }{6};\dfrac{\pi }{3}} \right]$

Thật vậy,

Xét hàm \(g\left( x \right) = x\cos x - \sin x\) trên \(\left[ {\dfrac{\pi }{6};\dfrac{\pi }{3}} \right]\) có:

\(g'\left( x \right) = \cos x - x\sin x - \cos x\) \( =  - x\sin x < 0,\forall x \in \left[ {\dfrac{\pi }{6};\dfrac{\pi }{3}} \right]\)

Do đó hàm số \(g\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left[ {\dfrac{\pi }{6};\dfrac{\pi }{3}} \right]\).

Suy ra \(g\left( x \right) \le g\left( {\dfrac{\pi }{6}} \right)\) \( = \dfrac{\pi }{6}.\cos \dfrac{\pi }{6} - \sin \dfrac{\pi }{6} < 0\) hay \(x\cos x - \sin x < 0\) với \(\forall x \in \left[ {\dfrac{\pi }{6};\dfrac{\pi }{3}} \right]\)

$ \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {\dfrac{\pi }{6};\dfrac{\pi }{3}} \right]} f\left( x \right) = f\left( {\dfrac{\pi }{6}} \right) = \dfrac{3}{\pi }$.

\(y = 0\) là GTNN của hàm số

Vì hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( { - 3;7} \right)\) và tồn tại \(f\left( { - 3} \right),f\left( 7 \right)\) nên \(f\left( { - 3} \right) < f\left( x \right) < f\left( 7 \right),\forall x \in \left[ { - 3;7} \right]\).

Vậy \(f\left( { - 3} \right)\) là GTNN của \(f\left( x \right)\) trên \(\left[ { - 3;7} \right]\).

Xét hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}$ trên $\left[ {3;5} \right],$ có $f'\left( x \right) =  - \dfrac{2}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in \left[ {3;5} \right].$

Suy ra $f\left( x \right)$ là hàm số nghịch biến trên [3;5]

=>\(M=f(3)=2,m=f(5)=\dfrac{3}{2}\)

=>\(M-m=\dfrac{1}{2}\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) =  + \infty \) nên không tồn tại số \(M\) để \(f\left( x \right) \le M,\forall x \in \left( {a;b} \right)\), do đó hàm số không có GTLN trên \(\left( {a;b} \right)\)

$x + \dfrac{1}{x} - m\mathop  \ge \limits^{Cauchy} {\mkern 1mu} 2\sqrt {x.\dfrac{1}{x}}  - m = 2 - m$$ \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty {\rm{\;}}} \right)} {\mkern 1mu} y = 2 - m =  - 3 \Leftrightarrow m = 5$

Dựa vào bảng biến thiên nhận thấy:

+) \(f\left( x \right) \le 2,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) và \(f\left( 0 \right) = 2\) nên GTLN của hàm số bằng \(2.\)

+) \(f\left( x \right) \ge - 1,{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}\) và vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) =  - 1\) nên không tồn tại \({x_0} \in \mathbb{R}\) sao cho \(f\left( {{x_0}} \right) = 1\), do đó hàm số không có GTNN.