Một cửa hàng bán quả vải thiều của Bắc Giang với giá bán mỗi kg là \(40\;000\) đồng. Với giá bán này thì cửa hàng chỉ bán được khoảng \(30\;{\rm{kg}}\). Cửa hàng này dự định giảm giá bán, ước tính nếu cửa hàng cứ giảm mỗi kg 4000 đồng thì số vải thiều bán được tăng thêm là \(40\;{\rm{kg}}\). Xác định giá bán để cửa hàng đó thu được lợi nhuận lớn nhất, biết rằng giá nhập về ban đầu mỗi kilôgam là 25000 đồng.

Bước 1:

Gọi \(x\) (đồng) là giá bán thực tế của mỗi kilôgam vải thiều \((25000 \le x \le 40000)\).

Bước 2: Biểu diễn số \({\rm{kg}}\) vải thiều bán được tương ứng với giá bán \(x\)

Theo bài ra số kilôgam bán thêm được là: \((40000 - x) \cdot \dfrac{{40}}{{4000}} = \dfrac{1}{{100}}(40000 - x)\).

Do đó số \({\rm{kg}}\) vải thiều bán được tương ứng với giá bán \(x\) :

\(30 + \dfrac{1}{{100}}(40000 - x)\)\( =  - \dfrac{1}{{100}}x + 430\).

Gọi \(F(x)\) là hàm lợi nhuận thu được \((F(x)\) : đồng).

Ta có:

\(\begin{array}{l}F(x) = \left( { - \dfrac{1}{{100}}x + 430} \right) \cdot (x - 25000)\\ =  - \dfrac{1}{{100}}{x^2} + 680x - 10750000\end{array}\).

Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất của hàm lợi nhuận \(F(x)\) trên $[25000 ; 40000]$.

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của

\(F(x) =  - \dfrac{1}{{100}}{x^2} + 680x - 10750000\) trên $[25000 ; 40000]$.

Ta có: \({F^\prime }(x) =  - \dfrac{1}{{50}}x + 680.\)

\({F^\prime }(x) = 0\)\( \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{{50}}x + 680 = 0 \Leftrightarrow x = 34000\).

Vì hàm \(F(x)\) liên tục trên đoạn $[25000 ; 40000]$ nên ta có:

\(F(25000) = 0;F(34000) = 810000;\)\(F(40000) = 450000.{\rm{ }}\)

Vậy với \(x = 34000\) thì \(F(x)\) đạt giá trị lớn nhất.

Vậy để cửa hàng đó thu được lợi nhuận lớn nhất thì giá bán thực tế của mỗi kg vải thiều là 34000 đồng.