Công ty sữa Vinamilk thiết kế các sản phẩm dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình chữ nhật có chiều rộng bằng \(\dfrac{2}{3}\) chiều dài. Sản phẩm chứa dung tích bằng \(180{\rm{ml}}\). Khi thiết kế công ty luôn đặt ra mục tiêu sao cho vật liệu làm vỏ hộp là tiết kiệm nhất. Để công ty tiết kiệm được vật liệu nhất thì chiều dài của đáy hộp gần bằng giá trị nào sau đây?

Bước 1: Gọi chiều dài của đáy hộp là \(x(\;{\rm{cm}}),x > 0\), chiều cao của hộp chữ nhật là \(h(\;{\rm{cm}}),h > 0\).

Ta có \(180ml = 180\;c{m^3}\).

Gọi chiều dài của đáy hộp là \(x(\;{\rm{cm}}),x > 0\), chiều cao của hộp chữ nhật là \(h(\;{\rm{cm}}),h > 0\).

Chiều rộng của đáy hộp là \(\dfrac{2}{3}x(\;{\rm{cm}})\).

Ta có thể tích của khối hộp chữ nhật là \(V = x \cdot \dfrac{2}{3}x.h = 180\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\)\( \Rightarrow h = \dfrac{{270}}{{{x^2}}}(\;{\rm{cm}})\).

Bước 2: Tính giá trị nhỏ nhất của diện tích toàn phần của khối hộp chữ nhật theo x.

Diện tích toàn phần của khối hộp chữ nhật là

\(f(x) = {S_{TP}} = 2 \cdot x \cdot \dfrac{2}{3}x + 2 \cdot x \cdot \dfrac{{270}}{{{x^2}}}\)\( + 2 \cdot \dfrac{2}{3}x \cdot \dfrac{{270}}{{{x^2}}}\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\)\( = \dfrac{4}{3}{x^2} + \dfrac{{900}}{x}\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\)

Yêu cầu bài toán trở thành tìm \(x\) dương để hàm số \(f(x) = \dfrac{4}{3}{x^2} + \dfrac{{900}}{x}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số dương \(\dfrac{4}{3}{x^2},\dfrac{{450}}{x},\dfrac{{450}}{x}\) ta có

\(\mathop 3\limits^4 {x^2} + \dfrac{{450}}{x} + \dfrac{{450}}{x}\)\( \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{4}{3}{x^2} \cdot \dfrac{{450}}{x} \cdot \dfrac{{450}}{x}}}\)\( \Leftrightarrow f(x) \ge 3\sqrt[3]{{270000}},\forall x > 0\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{4}{3}{x^2} = \dfrac{{450}}{x} = \dfrac{{450}}{x}\)\( \Leftrightarrow x = \dfrac{{\sqrt[3]{{2700}}}}{2} \approx 6,96(\;{\rm{cm}})\).