Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

TXĐ: $D = \mathbb{R}$. Ta có $y' = 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 1$.

Bảng xét dấu $y'$ :

$\Rightarrow$ Hàm số đã cho đồng biến trên $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$ và nghịch biến trên $\left( { - 1;1} \right)$.

Nhìn trên đồ thị ta thấy khi $x$ tăng trong $\left( {0;2} \right)$ thì đồ thị hàm số $f\left( x \right)$ đi lên $\Rightarrow$ giá trị tung độ tăng $\Rightarrow$ Hàm số đồng biến trên $\left( {0;2} \right)$.

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $( - 2;0)$

ĐKXĐ: $x \ge \dfrac{m}{4}$

Ta có: ${x^3} + \left( {m - 12} \right)\sqrt {4x - m}  = 4x\left( {\sqrt {4x - m}  - 3} \right)\\ \Leftrightarrow {x^3} + 12x = \left( {4x - m} \right)\sqrt {4x - m}  + 12\sqrt {4x - m}$

$\Leftrightarrow {x^3} + 12x = {\left( {\sqrt {4x - m} } \right)^3} + 12\sqrt {4x - m} (*)$

Xét hàm số $f\left( t \right) = {t^3} + 12t,\,\,\,f'\left( t \right) = 3{t^2} + 12 > 0,\,\forall t \Rightarrow$ Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$

Phương trình (*) trở thành 

$f\left( x \right) = f\left( {\sqrt {4x - m} } \right)$

$\Leftrightarrow x = \sqrt {4x - m}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} = 4x - m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\m = 4x - {x^2} = g\left( x \right)\end{array} \right.$

Phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt $\Leftrightarrow 0 \le m < 4 \Rightarrow m \in \left\{ {0;1;2;3} \right\}$: 4 giá trị thỏa mãn.

Dựa vào BBT ta thấy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left( {0\,;\,\,1} \right)$.

Quan sát đồ thị hàm số ta thấy trong khoảng $\left( { - 1;0} \right)$ thì đồ thị hàm số đi lên nên hàm số đồng biến trong khoảng $\left( { - 1;0} \right)$.

TXĐ: $D = \mathbb{R}$.

Ta có $y' = 6{x^2} - 6\left( {m + 1} \right)x + 6m$.

Xét $y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - \left( {m + 1} \right)x + m = 0$.

Ta có $\Delta  = {\left( {m + 1} \right)^2} - 4m = {\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0$$\forall m$

+) Với $m = 1$ ta có $y' = 6{x^2} - 12x + 6 = 6{\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0$$\forall x \in \left( {1;3} \right)$, do đó hàm số đồng biến trên $\left( {1;3} \right)$ (loại).

+) Với $m \ne 1 \Rightarrow \Delta  > 0\,\,\forall m$, suy ra phương trình $y' = 0$ có 2 nghiệm phân biệt $\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{m + 1 + m - 1}}{2} = m\\{x_2} = \dfrac{{m + 1 - m + 1}}{2} = 1\end{array} \right.$.

Ta có bảng xét dấu:

Từ BXD ta thấy để hàm số nghịch biến trên $\left( {1;3} \right)$ thì $y' \le 0\,\,\forall x \in \left( {1;3} \right)$ $\Rightarrow \left( {1;3} \right) \subset \left( {{x_1};{x_2}} \right)$

$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left( {1;3} \right) \subset \left( {1;m} \right)\\\left( {1;3} \right) \subset \left( {m;1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 \le 1 < 3 \le m\\m \le 1 < 3 \le 1\,\,\left( \text{Loại} \right)\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow m \ge 3\,\,\left( {tm} \right)$

Vậy $m \ge 3$.

$y =  - {x^3} - x$ $\Rightarrow {y^\prime } =  - {x^2} - 1 =  - \left( {{x^2} + 1} \right) < 0\forall x \in \mathbb{R}$

Hàm số $y =  - {x^3} - x$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$

Hàm số đã cho là hàm số bậc ba có $a = 1 > 0$, có: $y' = 3{x^2} - 6mx + 3$.

Do đó nó đồng biến trên $\mathbb{R}$ nếu và chỉ nếu phương trình $y' = 0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép $\Leftrightarrow \Delta ' = 9{m^2} - 9 \le 0 \Leftrightarrow  - 1 \le m \le 1$.

Vậy $m \in \left[ { - 1;1} \right]$.

Hàm số $y = f\left( x \right)$ thỏa mãn nếu với mọi ${x_1},{x_2} \in D$ mà ${x_1} < {x_2}$ ta đều có $f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)$ thì hàm số đồng biến trên $D$

Đáp án A: Nếu $f'\left( x \right) > 0,\forall x \in R$ thì hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên $R$ nên A đúng.

Đáp án B: Nếu $f'\left( x \right) < 0,\forall x \in R$ thì hàm số nghịch biến trên $R$ nên B sai.

Đáp án C, D: Nếu $f'\left( x \right) = 0,\forall x \in R$ thì hàm số không đổi trên $R$ nên C, D sai.

Hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên $D$ thì với mọi ${x_1},{x_2} \in D$ mà ${x_1} > {x_2}$ thì $f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)$.

Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên $R$ thì $f'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in R$.

Hàm số $y = f\left( x \right)$ thỏa mãn nếu với mọi ${x_1},{x_2} \in D$ mà ${x_1} < {x_2}$ ta đều có $f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)$ thì hàm số nghịch biến trên $D$

Hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên $R$ thì $f'\left( x \right) \le 0,\forall x \in R$.

Ta có: $f'\left( x \right) =  - {x^2} - 1 < 0,\forall x \in R$ nên hàm số nghịch biến trên $R$.

Vì $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( { - 5;5} \right)$ nên $f'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \left( { - 5;5} \right)$.

Do đó $f'\left( 3 \right) \ge 0,$ $f'\left( 0 \right) \ge 0$ nên các đáp án A, B, D đều sai.

Từ BBT ta thấy hàm số đồng biến trên $\left( { - 1;0} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$

Ta có: $f'\left( x \right) = {x^2} + 2 > 0,\forall x \in R$ nên hàm số đồng biến trên $R$.

Dựa vào bàng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - 1;\;0} \right)$ và $\left( {1; + \infty {\rm{\;}}} \right).$

Hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và $\left( {0;\;1} \right).$