Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Từ BBT ta thấy $f'\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( {2; + \infty {\rm{\;}}} \right)$nên hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {2; + \infty {\rm{\;}}} \right)$.

Dựa vào BBT ta thấy :

Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;1} \right),\left( {2; + \infty } \right)$ và nghịch biến trên $\left( {1;2} \right)$

Nếu hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( {a;b} \right)$ thì $f'\left( x \right) \ge 0$ với mọi $x \in \left( {a;b} \right).$

Chẳng hạn hàm số $y = f\left( x \right) = {x^3}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ và có đạo hàm $f'\left( x \right) = 3{x^2} \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}$.

Ta có $y' = \left[ {f\left( {5 - 2x} \right)} \right]' =  - 2f'\left( {5 - 2x} \right)$.

Xét $y' > 0 \Leftrightarrow  - 2f'\left( {5 - 2x} \right) > 0$ $\Leftrightarrow f'\left( {5 - 2x} \right) < 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5 - 2x <  - 3\\ - 1 < 5 - 2x < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 4\\2 < x < 3\end{array} \right.$

=> Hàm số đồng biến trên $\left( {2;3} \right)$ và $\left( {4; + \infty } \right)$.

Đáp án A: Nếu $f'\left( x \right) \le 0,\forall x\left( {a;b} \right)$ thì $f\left( x \right)$ chưa chắc đã nghịch biến trên $\left( {a;b} \right)$, chẳng hạn hàm số $y = f\left( x \right) = 2$ có $f'\left( x \right) = 0 \le 0,\forall x$ nhưng đây là hàm hằng nên không nghịch biến, do đó A sai.

Đáp án B: Nếu $f'\left( x \right) < 0,\forall x\left( {a;b} \right)$ thì $f\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( {a;b} \right)$ đúng.

Đáp án C: Nếu $f'\left( x \right) = 0,\forall x\left( {a;b} \right)$ thì $f\left( x \right)$ không đổi trên $\left( {a;b} \right)$, chưa chắc nó đã có giá trị bằng $0$ nên C sai.

Đáp án D: Nếu $f'\left( x \right) \le 0,\forall x\left( {a;b} \right)$ thì $f\left( x \right)$ không đổi trên $\left( {a;b} \right)$ sai.

Nếu hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( {a;b} \right)$ thì $f'\left( x \right) \ge 0$ với mọi $x \in \left( {a;b} \right).$

Chẳng hạn hàm số $y = f\left( x \right) = {x^3}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ và có đạo hàm $f'\left( x \right) = 3{x^2} \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}$.

Ta có: $f'\left( x \right) = \sqrt 5 {x^2} \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}$ và $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Ta có: $f'\left( x \right) = \left( {1 - \sqrt 2 } \right){x^2} \le 0,\forall x \in \mathbb{R}$ và $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ nên hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Ta có: $f'\left( x \right) =  - \left( {\sqrt 5  - 2} \right){x^2} \le 0,\forall x \in \mathbb{R}$ và $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ nên hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Ta thấy: $f'\left( x \right)$ mang dấu âm trong khoảng $\left( { - \infty ;2} \right)$

$\Rightarrow$  Hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên $\left( { - \infty ;2} \right)$

Ta có: $f'\left( x \right) =  - {x^2} + 4 > 0 \Leftrightarrow  - 2 < x < 2$ và $f'\left( x \right) =  - {x^2} + 4 < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 2\\x <  - 2\end{array} \right.$

Do đó hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 2} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$; đồng biến trên khoảng $\left( { - 2;2} \right)$.

Hàm số $y = {\rm{\;}} - {x^3} + {x^2} - 2x + 1$ có đạo hàm $y' =  - 3{x^2} + 2x - 2,$ $\Delta ' =  - 5 < 0,a =  - 3 < 0$ nên $y' < 0,\forall x \in \mathbb{R}$

Vậy hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$

Nhận thấy $y = {x^3} + 3x + 2 \Rightarrow y' = 3{x^2} + 3 > 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in R$ nên hàm số $y = {x^3} + 3x + 2$ đồng biến trên $R.$

Đáp án A ta có $y = 2x - \sin {\mkern 1mu} x \Rightarrow y' = 2 - \cos x > 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x$

$\Rightarrow$ Hàm số đồng biến trên R.

Đáp án B ta có $y' = {\rm{\;}} - 3{x^2} + 6x < 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)$

$\Rightarrow$ Hàm số không nghịch biến trên R.

Đáp án C ta có $y' = \dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} < 0$

$\Rightarrow$ Hàm số nghịch biến trên $\left( { - \infty ;2} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$

$\Rightarrow$ Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.

Đáp án D ta có $y' = 4{x^3} - 2x < 0$

$\Leftrightarrow 2x\left( {2{x^2} - 1} \right) < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x <  - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\0 < x < \frac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right.$

$\Rightarrow$ Hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( { - \infty ; - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)$ và $\left( {0;\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)$ chứ không nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy

Hàm số đồng biến trên $\left( {1; + \infty } \right)$

Hàm số đồng biến trên $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ do đó cũng đồng biến trên $\left( { - \infty ; - 2} \right)$

Trên các khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$ và $\left( { - 1; + \infty } \right)$ hàm số không đơn điệu (đồng biến hay nghịch biến)

Trong khoảng $\left( {0;6} \right)$ ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {0;3} \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left( {3;6} \right)$ nên đáp án B sai.

Quan sát bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( { - 2;0} \right)$ và $\left( {2; + \infty {\rm{\;}}} \right)$

Mà khoảng $\left( { - 2; - 1} \right)$ nằm trong khoảng $\left( { - 2;0} \right)$ nên hàm số đã cho cũng nghịch biến trên $\left( { - 2; - 1} \right)$

Ta có $y' = 8{x^3} = 0 \Leftrightarrow x = 0;y' > 0 \Leftrightarrow x > 0$

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$

Đạo hàm: $y' = 4{x^3} - 4x$.

Hàm số đồng biến khi và chỉ khi:

$y' = 4{x^3} - 4x > 0$$\Leftrightarrow 4x\left( {{x^2} - 1} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 1\\ - 1 < x < 0\end{array} \right.$ $\Rightarrow x \in \left( { - 1;0} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$

Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - 1;0} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$

Ta có $y' =  - {\mkern 1mu} 4{x^3} + 6{x^2} - 2;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in \mathbb{R}.$

Khi đó $y' = 0 \Leftrightarrow  - 4{x^3} + 6{x^2} - 2 = 0$$\Leftrightarrow  - 2{\left( {x - 1} \right)^2}\left( {2x + 1} \right) =0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - {\mkern 1mu} \dfrac{1}{2}\\x = 1\end{array} \right.$

Bảng biến thiên:

Suy ra hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left( { - {\mkern 1mu} \dfrac{1}{2}; + {\mkern 1mu} \infty {\rm{\;}}} \right).$