Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

$y = {x^3} - 3{x^2} + 5 \Rightarrow y' = 3{x^2} - 6x = 3x\left( {x - 2} \right)$

Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$

Hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( {0;2} \right)$

Ta có: $y' = 3{{\rm{x}}^2} - 6{\rm{x}} = 3{\rm{x}}\left( {x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = 2}\end{array}} \right.$

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$

$y = f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} - 2 \Rightarrow y' = 3{x^2} - 6x;$$y' = 0 \Leftrightarrow 3x\left( {x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.$

Xét dấu của y’:

Từ đó ta tìm được Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng $\left( {0;2} \right)$.

Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng $\left( {2; + \infty {\rm{\;}}} \right)$

Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$

Ta có: $y' = {x^3} - 4x$

$y' = 0 \Rightarrow {x^3} - 4x = 0 \Leftrightarrow x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = {\rm{\;}} - 2}\\{x = 2}\end{array}} \right.$

Xét dấu :

Từ bảng xét dấu ta dễ dàng quan sát được hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( { - \infty , - 2} \right)$ và $\left( {0,2} \right)$.

$y = \dfrac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 3x - 1 \Rightarrow y' = {x^2} - 4x + 3$

$y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x = 3}\end{array}} \right.$

Hàm số đồng biến $ \Leftrightarrow y' > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > 3}\\{x < 1}\end{array}} \right.$ .

Có $y' = -3{x^2} + 6x = 0$ $ \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$

$y' > 0 \Leftrightarrow 0 < x < 2$

Vậy hàm số đồng biến trên $\left( {0;2} \right)$

Để hàm số đã cho đồng biến trên $\mathbb{R}$ thì điều kiện cần và đủ là

$y' \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {mx - \sin x} \right)^\prime } \ge 0 \Leftrightarrow m - \cos x \ge 0 \Leftrightarrow m \ge \cos x{\mkern 1mu} ,\forall x \in \mathbb{R}.$

Do $ - 1 \le \cos x \le 1,\forall x \in \mathbb{R},$ nên ta có $m \ge \cos x,{\mkern 1mu} \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow m \ge 1.$

Có $y' = 3{x^2} + 2x + m$. Xét phương trình bậc hai $3{x^2} + 2x + m = 0$ (1)

Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R} \Leftrightarrow y' \ge 0,\forall x \Leftrightarrow {\Delta _{\left( 1 \right)}}' = {1^2} - 3m \le 0 \Leftrightarrow m \ge \dfrac{1}{3}$

Xét hàm số: $y = \dfrac{1}{3}{x^3} - \left( {m - 1} \right){x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x - 2$ trên $R$

Có $y'\left( x \right) = {x^2} - 2\left( {m - 2} \right)x + 2\left( {m - 1} \right).$

Hàm số đã cho tăng trên $R \Leftrightarrow y'\left( x \right) > 0,\forall x \in R$$ \Leftrightarrow \Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} - 2\left( {m - 1} \right) \le 0$.

Vì $a = 1 > 0.$$ \Leftrightarrow {m^2} - 4m + 3 \le 0$$ \Leftrightarrow 1 \le m \le 3.$

Tập xác định: $D = R.$

Ta có: $y' =  - {x^2} - 2mx + 2m - 3$$ \Rightarrow $ Hàm số nghịch biến trên tập xác định

$ \Leftrightarrow y' \le 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in R \Leftrightarrow  - {x^2} - 2mx + 2m - 3 \le 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \in R$

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a < 0}\\{\Delta ' \le 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 1 < 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall {\mkern 1mu} m}\\{{m^2} + 2m - 3 \le 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow  - 3 \le m \le 1.$

+) Xét với $m =  - 3$ ta có: $y' =  - {x^2} + 6x - 9 =  - {\left( {x - 3} \right)^2} \le 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in R \Rightarrow m =  - 3$ thì hàm số nghịch biến trên R.

+) Xét với $m = 1$ ta có: $y' =  - {x^2} - 2x - 1 =  - {\left( {x + 1} \right)^2} \le 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in R \Rightarrow m = 1$ thì hàm số nghịch biến trên R.

+) Nếu $\dfrac{m}{3} = 0 \Leftrightarrow m = 0$ thì $y = \dfrac{m}{3}{x^3} - (m + 1){x^2} + (m - 2)x - 3m \Leftrightarrow y =  - {x^2} - 2x$ là hàm số bậc hai $ \Rightarrow $Không nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ; + \infty {\rm{\;}}} \right)$.

+) Nếu $\dfrac{m}{3} \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 0$ thì $y = \dfrac{m}{3}{x^3} - (m + 1){x^2} + (m - 2)x - 3m$ là hàm số bậc ba

Ta có:

$\begin{array}{*{20}{l}}{y' = m{x^2} - 2(m + 1)x + m - 2}\\{y' = 0 \Leftrightarrow m{x^2} - 2(m + 1)x + m - 2 = 0}\end{array}$

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ; + \infty {\rm{\;}}} \right)$

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{m}{3} < 0\\\Delta ' \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\{\left( {m + 1} \right)^2} - m\left( {m - 2} \right) \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\{m^2} + 2m + 1 - {m^2} + 2m \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\4m + 1 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\m \le  - \dfrac{1}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le  - \dfrac{1}{4}\end{array}\)

Vậy \(m \le  - \dfrac{1}{4}\) .

Ta có $y = {x^3} - 3m{x^2} + 3\left( {2m - 1} \right)x + 1 \Rightarrow y' = 3{x^2} - 6mx + 3\left( {2m - 1} \right)$

Hàm số đồng biến trên R $ \Leftrightarrow $$y' \ge 0;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in R\\ \Leftrightarrow {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 3{x^2} - 6mx + 3(2m - 1) \ge 0;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in R\\\Leftrightarrow {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x^2} - 2mx + 2m - 1 \ge 0;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in R$

$ \Leftrightarrow {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left\{ \begin{array}{l}{\rm{\;}}a = 1 > 0\\{\rm{\;}}\Delta ' = {\left( { - {\mkern 1mu} m} \right)^2} - 2m + 1 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\left( {m - 1} \right)^2} \le 0 \Leftrightarrow {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} m = 1.$

Ta có trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\) hàm số nghịch biến.

TXĐ: $D = R$

$\begin{array}{*{20}{l}}{y = {x^3} - 3m{x^2} - 9{m^2}x \Rightarrow y' = 3{x^2} - 6mx - 9{m^2}}\\{y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6mx - 9{m^2} = 0 \Leftrightarrow 3({x^2} - 2mx - 3{m^2}) = 0 \Leftrightarrow 3\left( {x + m} \right)\left( {x - 3m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} = {\rm{\;}} - m}\\{{x_2} = 3m}\end{array}} \right.}\end{array}$

$y' < 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in \left( {0;1} \right) \Leftrightarrow \left( {0;1} \right)$ nằm trong khoảng 2 nghiệm ${x_1};{\mkern 1mu} {x_2}$.

Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;1) khi và chỉ khi:

TH1: $ - m \le 0 < 1 \le 3m \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{\;}}m \ge 0\\{\rm{ \;}}m \ge \dfrac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge \dfrac{1}{3}$ .

TH2: $3m \le 0 < 1 \le  - m \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{\;}}m \le 0\\{\rm{ \;}}m \le  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le  - 1$.

Vậy, $m \ge \dfrac{1}{3}$ hoặc $m \le  - 1$.

$\begin{array}{*{20}{l}}{y = {x^4} - 2m{x^2} - 3m + 1 \Rightarrow y' = 4{x^3} - 4mx}\\{y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{{x^2} = m}\end{array}} \right.}\end{array}$

Theo đề bài, ta có: $m \ge 0$

+) Nếu $m = 0$ thì $y' = 4{x^3}$: Hàm số đồng biến trên $\left( {0; + \infty {\rm{\;}}} \right) \supset (1;2){\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu}  \Rightarrow m = 0$ thỏa mãn.

+) Nếu $m > 0$ thì $y' = 0$ có ba nghiệm phân biệt $x = 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x =  \pm \sqrt m $, hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - \sqrt m ;0} \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {\sqrt m ; + \infty {\rm{\;}}} \right)$

Để hàm số đồng biến trên khoảng $(1;2)$thì $\left[ \begin{array}{l}{\rm{\;}}(1;2) \subset \left( { - \sqrt m ;0} \right)\\{\rm{ \;}}(1;2) \subset {\mkern 1mu} \left( {\sqrt m ; + \infty {\rm{\;}}} \right)\end{array} \right.$

TH1: $(1;2) \subset \left( { - \sqrt m ;0} \right)$: Vô lí, do 2 > 0.

TH2: $(1;2) \subset {\mkern 1mu} \left( {\sqrt m ; + \infty {\rm{\;}}} \right) \Leftrightarrow \sqrt m  \le 1 \Leftrightarrow m \le 1$

Vì $m > 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} m \in Z \Rightarrow m = 1$.

Vậy $m \in \left\{ {0;1} \right\}$, có 2 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Ta có $y = {x^3} - mx + 1 \Rightarrow {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y' = 3{x^2} - m$

+ Nếu \(m > 0\) thì phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm \({x_1} =  - \sqrt {\dfrac{m}{3}} ,{x_2} = \sqrt {\dfrac{m}{3}} \)

\(y' > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x <  - \sqrt {\dfrac{m}{3}} \\x > \sqrt {\dfrac{m}{3}} \end{array} \right.\) hay hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - \sqrt {\dfrac{m}{3}} } \right)\) và \(\left( {\sqrt {\dfrac{m}{3}} ; + \infty } \right)\)

Do đó bài toán thỏa nếu $\left( {1; + {\mkern 1mu} \infty } \right) \subset \left( {\sqrt {\dfrac{m}{3}} ; + \infty } \right)$ hay \(\sqrt {\dfrac{m}{3}}  \le 1 \Leftrightarrow m \le 3\) \( \Rightarrow 0 < m \le 3\)

+ Nếu \(m \le 0\) thì \( - m \ge 0 \Rightarrow y' = 3{x^2} - m \ge 0\forall x\)

(Trong trường hợp $m=0$ thì $y'\ge 0$ với mọi $x$ và $y'=0$ tại điểm duy nhất $x=0$)

Do đó hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) (cũng thỏa mãn đồng biến trên $\left( {1; + {\mkern 1mu} \infty } \right)$)

Kết hợp các TH trên ta được \(m \le 3\).

Nhìn trên đồ thị ta thấy khi \(x\) tăng trong \(\left( {0;1} \right)\) thì đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) đi xuống\( \Rightarrow \) giá trị tung độ giảm \( \Rightarrow \) Hàm số nghịch biến trên \(\left( {0;1} \right)\).

Ta có $y' = 3{x^2} - 6x + m.$ Để hàm số đã cho tăng trên $\left( {1; + \infty {\rm{\;}}} \right)$ thì $y' > 0,{\mkern 1mu} \forall x \in \left( {1; + \infty {\rm{\;}}} \right) \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x + m > 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in \left( {1; + \infty {\rm{\;}}} \right).$

Xét hàm số $f\left( x \right) = 3{x^2} - 6x$ trên $\left( {1; + \infty {\rm{\;}}} \right).$ Ta có $f\left( x \right) = 3{x^2} - 6x = 3{\left( {x - 1} \right)^2} - 3 >  - 3,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in \left( {1; + \infty {\rm{\;}}} \right).$

Do đó nếu $ - 3 + m \ge 0 \Leftrightarrow m \ge 3.$ thì ta có $3{x^2} - 6x + m > 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in \left( {1; + \infty {\rm{\;}}} \right).$ Hay hàm số đã cho tăng trên $\left( {1; + \infty {\rm{\;}}} \right).$

Ta có $y' = 3{x^2} - 12x + m$. Để hàm số đồng biến trên $\left( {0; + \infty {\rm{\;}}} \right)$ thì $y' \ge 0{\mkern 1mu} ,\forall x > 0$

$ \Leftrightarrow 3{x^2} - 12x + m \ge 0,{\mkern 1mu} \forall x > 0 \Leftrightarrow  - 3{x^2} + 12x \le m,\forall x > 0$. (*)

Xét $y = g\left( x \right) =  - 3{x^2} + 12x$ với $x > 0$.

Ta có $g'\left( x \right) =  - 6x + 12 = 0 \Leftrightarrow x = 2$(TM).

BBT $y = g\left( x \right)$ với $x > 0$. 

Từ BBT ta có $\mathop {\max }\limits_{\left( {0; + \infty {\rm{\;}}} \right)} {\mkern 1mu} g\left( x \right) = 12$, từ (*) suy ra $m \ge \mathop {\max }\limits_{\left( {0; + \infty {\rm{\;}}} \right)} {\mkern 1mu} g\left( x \right) = 12 \Leftrightarrow m \ge 12$.

Ta có $y =  - {\mkern 1mu} {x^3} + m{x^2} - m \Rightarrow y' =  - {\mkern 1mu} 3{x^2} + 2mx;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in \mathbb{R}.$

Yêu cầu bài toán $ \Leftrightarrow {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y' \ge 0;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in \left( {1;2} \right) \Leftrightarrow {\mkern 1mu} {\mkern 1mu}  - {\mkern 1mu} 3{x^2} + 2mx \ge 0;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in \left( {1;2} \right)$

$ \Leftrightarrow {\mkern 1mu} {\mkern 1mu}  - 3x + 2m \ge 0 \Leftrightarrow 2m \ge 3x;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in \left( {1;2} \right) \Leftrightarrow {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 2m \ge 3.2 \Leftrightarrow {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} m \ge 3.$