Lũy thừa (số mũ hữu tỉ) - Định nghĩa và tính chất

Với $a \ne 0$ thì ${a^n} = \dfrac{1}{{{a^{ - n}}}}$.

Lũy thừa với số mũ nguyên dương $a \in R:{a^n} = a.a...a$ (n thừa số a).

Ta có: ${a^{\dfrac{3}{2}}} = \sqrt {{a^3}}$

Ta có: ${a^{\dfrac{1}{{10}}}} = \sqrt[{10}]{a}$

Ta có: ${a^{45}} = {a^{5.9}} = {\left( {{a^5}} \right)^9} = {\left( {{a^9}} \right)^5}$

Ta có: ${\left( {{a^3}} \right)^2} = {a^{3.2}} = {a^6} = {\left( {{a^2}} \right)^3}$

Vì $\sqrt 2  - 1 < 1$ và $2 > 0$ nên ${\left( {\sqrt 2  - 1} \right)^2} < {\left( {\sqrt 2  - 1} \right)^0} = 1$ hay ${\left( {\sqrt 2  - 1} \right)^2} < 1$

Vì $0 < \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} < \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} < 1$ nên ${\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^m} < {\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^m} < 1$

Vì $1 < \dfrac{6}{5} < \dfrac{5}{4}$ và $m$ nguyên âm nên ${1^m} > {\left( {\dfrac{6}{5}} \right)^m} > {\left( {\dfrac{5}{4}} \right)^m} \Leftrightarrow 1 > {\left( {\dfrac{6}{5}} \right)^m} > {\left( {\dfrac{5}{4}} \right)^m}$.

Cho số thực $b$ và số nguyên dương $n\left( {n \ge 2} \right)$. Nếu có ${a^n} = b$ thì $a$ được gọi là căn bậc $n$ của $b$.

Với $n$ lẻ và $a,b$ thỏa mãn ${a^n} = b$ thì $a = \sqrt[n]{b}$.

Với $n$ lẻ thì luôn tồn tại một căn bậc $n$ của số thực $b$.

Do đó điều kiện để $\sqrt[n]{b}$ có nghĩa là $b \in \mathbb{R}$.

Ta có: $5 > 1$ nên ${5^m} > {5^n} \Leftrightarrow m > n$.

Đáp án A: Vì $2\sqrt 3  > 3,m \in {N^*}$ nên ${\left( {2\sqrt 3 } \right)^m} > {3^m}$ (đúng).

Đáp án B: Vì $\sqrt 3  > 1,m \in {N^*}$ nên $1 = {1^m} < {\left( {\sqrt 3 } \right)^m}$ (đúng).

Đáp án C: Vì $\dfrac{2}{3} < \dfrac{3}{4},m \in {N^*}$ nên ${\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^m} < {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^m}$ (đúng).

Đáp án D: Vì $\dfrac{{3\sqrt 3 }}{2} < 3,m \in {N^*}$ nên ${\left( {\dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}} \right)^m} < {3^m}$ (D sai).

Vì $0 < 1 < \sqrt 3  < 2$ nên ${1^m} < {\left( {\sqrt 3 } \right)^m} < {2^m} \Leftrightarrow 1 < {\left( {\sqrt 3 } \right)^m} < {2^m}$

Số $16$ có $2$ căn bậc bốn là $- 2$ và $2$ vì ${2^4} = {\left( { - 2} \right)^4} = 16$.

- Số $0$ có một căn bậc $n$ duy nhất là $0$ (A đúng).

- Số $1$ có một căn bậc $n$ nếu $n$ lẻ và có hai căn bậc $n$ nếu $n$ chẵn (B sai, C đúng).

- Số $- 1$ có một căn bậc $n$ nếu $n$ lẻ (D đúng).

- Nếu $n$ lẻ thì $\sqrt[n]{{{a^n}}} = a$ nên B, D sai.

- Nếu $n$ chẵn thì $\sqrt[n]{{{a^n}}} = a$ nếu $a > 0$ và $\sqrt[n]{{{a^n}}} =  - a$ nếu $a < 0$ nên A đúng, C sai.

Ta có: $\sqrt[6]{4}.\sqrt[6]{{16}} = \sqrt[6]{{4.16}} = \sqrt[6]{{64}} = 2$

Cho $a \ge 0,b > 0,m,n \in {N^*}$ ta có: $\sqrt[n]{{\dfrac{a}{b}}} = \dfrac{{\sqrt[n]{a}}}{{\sqrt[n]{b}}}$