Bất phương trình logarit

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}x - 1 > 0\\11 - 2x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\x < \dfrac{{11}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 < x < \dfrac{{11}}{2}$

Ta có:

${\log _{\dfrac{1}{3}}}\left( {x - 1} \right) + {\log _3}\left( {11 - 2x} \right) \ge 0$$\Leftrightarrow  - {\log _3}\left( {x - 1} \right) + {\log _3}\left( {11 - 2x} \right) \ge 0$ $\Rightarrow {\log _3}\dfrac{{11 - 2x}}{{x - 1}} \ge 0 \Leftrightarrow \dfrac{{11 - 2x}}{{x - 1}} \ge 1 \Leftrightarrow \dfrac{{11 - 2x}}{{x - 1}} - 1 \ge 0 \Leftrightarrow \dfrac{{12 - 3x}}{{x - 1}} \ge 0$

 $\Leftrightarrow 12 - 3x \ge 0 \Leftrightarrow x \le 4$ (do $x - 1 > 0$)

Kết hợp với điều kiện $1 < x < \dfrac{{11}}{2}$ ta được $1 < x \le 4$ hay tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( {1;4} \right]$.

BPT: $\left( {{2^{{x^2}}} - {4^x}} \right)\left[ {{{\log }_2}\left( {x + 14} \right) - 4} \right] \le 0$.

Bài này ta chia 2 trường hợp để giải.

TH1:

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{2^{{x^2}}} - {4^x} \ge 0\\{\log _2}\left( {x + 14} \right) - 4 \le 0\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^{{x^2}}} \ge {2^{2x}}\\{\log _2}\left( {x + 14} \right) \le 4\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} \ge 2x\\0 < x + 14 \le {2^4}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \le 0\\x \ge 2\end{array} \right.\\ - 14 < x \le 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 14 < x \le 0\\x = 2\end{array} \right.\end{array}$

$\Rightarrow$ Trường hợp này có 15 giá trị nguyên $x \in \left\{ { - 13; - 12; - 11;...;0;2} \right\}$.

TH2:

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{2^{{x^2}}} - {2^x} \le 0\\{\log _2}\left( {x + 14} \right) - 4 \ge 0\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^{{x^2}}} \le {2^{2x}}\\{\log _2}\left( {x + 14} \right) \ge 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} \le 2x\\x + 14 \ge 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 2\\x \ge 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2\end{array}$

$\Rightarrow$ Trường hợp này có 1 nghiệm nguyên $x$ thuộc trường hợp 1.

Vậy có tất cả 15 nghiệm nguyên $x$ thỏa mãn bất phương trình.

Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2 - \log (4x) \ge 0}\\{4x > 0}\end{array} \Leftrightarrow 0 < x \le 25.} \right.$

Ta có $\left( {{4^x} - {{5.2}^{x + 2}} + 64} \right)\sqrt {2 - \log (4x)}  \ge 0$ $\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{2 - \log (4x) = 0{\rm{ (1) }}}\\{{4^x} - {{5.2}^{x + 2}} + 64 \ge 0{\rm{ (2) }}}\end{array}} \right.$

$(1) \Leftrightarrow \log (4x) = 2 \Leftrightarrow 4x = {10^2}$ $\Leftrightarrow x = 25({\rm{tm}}).$

$(2) \Leftrightarrow {\left( {{2^x}} \right)^2} - {20.2^x} + 64 \ge 0$ $\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{2^x} \ge 16}\\{{2^x} \le 4}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 4}\\{x \le 2}\end{array}} \right.} \right.$

Kết hợp với điều kiện, ta có các giá trị nguyên thoả mãn trong trường hợp này là $x \in \{ 1;2\}  \cup \{ 4;5;6; \ldots .25\}$.

Vậy có 24 số nguyên $x$ thoả mãn đề bài

ĐK: $- \dfrac{3}{2} < x < 1$.

Ta có ${\log _3}\left( {2x + 3} \right) < {\log _3}\left( {1 - x} \right) \Leftrightarrow 2x + 3 < 1 - x \Leftrightarrow 3x <  - 2 \Leftrightarrow x <  - \dfrac{2}{3}$

Kết hợp điều kiện $- \dfrac{3}{2} < x < 1$ ta có tập nghiệm $S = \left( { - \dfrac{3}{2}; - \dfrac{2}{3}} \right)$

ĐK: $\left\{ \begin{array}{l}3x - 2 > 0\\6 - 5x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \dfrac{2}{3}\\x < \dfrac{6}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow x \in \left( {\dfrac{2}{3};\dfrac{6}{5}} \right)$

${\log _2}\left( {3x - 2} \right) > {\log _2}\left( {6 - 5x} \right) \Leftrightarrow 3x - 2 > 6 - 5x \Leftrightarrow 8x > 8 \Leftrightarrow x > 1$

Kết hợp điều kiện ta có $x \in \left( {1;\dfrac{6}{5}} \right)$.

Bước 1 : đúng

Bước 2 : đúng

Bước 3 : $\dfrac{{2x}}{{x - 1}} > 1 \Leftrightarrow \dfrac{{2x - \left( {x - 1} \right)}}{{x - 1}} > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}} > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 1\\x <  - 1\end{array} \right.\,\,\,\left( 3 \right)$

Kết hợp (3) và (1) ta được: $\left[ \begin{array}{l}x > 1\\x <  - 1\end{array} \right.$

Sai lầm ở đây là khi chưa biết dấu của $\left( {x - 1} \right)$ , học sinh vẫn nhân cả 2 vế của bất phương trình với $\left( {x - 1} \right)$ và giữ nguyên chiều của bất phương trình. Vậy lập luận trên sai từ bước 3.

Ta có : ${\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 1} \right) >  -  1$ $\Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 1} \right) > {\log _{\frac{1}{2}}}2$ $\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - 1 > 0}\\{2x - 1 < 2}\end{array}} \right.$ $\Leftrightarrow \dfrac{1}{2} < x < \dfrac{3}{2}.$

${\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 3} \right) \ge 2 \Leftrightarrow 0 < x - 3 \le {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2}$ $\Leftrightarrow 3 < x \le \dfrac{{13}}{4}$

ĐK: $x > 0$

${\log _{0,5}}x > {\log _{0,5}}2 \Leftrightarrow x < 2$

Vậy tâp nghiệm của bất phương trình là $S = \left( {0;2} \right)$.

${\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 3} \right) \ge {\log _{\frac{1}{2}}}4 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 3 > 0}\\{x - 3 \le 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > 3}\\{x \le 7}\end{array}} \right. \Leftrightarrow 3 < x \le 7$

$\begin{array}{*{20}{l}}{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {{\log }_{\sqrt 3 }}x + {{\log }_{\sqrt[4]{3}}}x + {{\log }_{\sqrt[6]{3}}}x + ... + {{\log }_{\sqrt[{16}]{3}}}x < 36}\\{ \Leftrightarrow {{\log }_{\sqrt 3 }}x + {{\log }_{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^{1/2}}}}x + {{\log }_{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^{1/3}}}}x + ... + {{\log }_{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^{1/8}}}}x < 36}\\{ \Leftrightarrow {{\log }_{\sqrt 3 }}x + 2.{{\log }_{\sqrt 3 }}x + 3.{{\log }_{\sqrt 3 }}x + ... + 8.{{\log }_{\sqrt 3 }}x < 36}\\{ \Leftrightarrow 36{{\log }_{\sqrt 3 }}x < 36 \Leftrightarrow {{\log }_{\sqrt 3 }}x < 1 \Leftrightarrow 0 < x < \sqrt 3 }\end{array}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\left( {0;\sqrt 3 } \right)$.

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}x + 3 > 0\\x + 7 > 0\\2 - x > 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x >  - 3\\x >  - 7\\x < 2\end{array} \right.$$\Leftrightarrow  - 3 < x < 2$

Bất phương trình đã cho tương đương với

$3\left( {{{\log }_2}\left( {x + 3} \right) - 1} \right) \le 3\left( {{{\log }_2}\left( {x + 7} \right) - {{\log }_2}\left( {2 - x} \right)} \right)$

$\Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + 3} \right) - 1 \le {\log _2}\left( {x + 7} \right) - {\log _2}\left( {2 - x} \right)$

$\Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + 3} \right) + {\log _2}\left( {2 - x} \right) \le {\log _2}\left( {x + 7} \right) + 1$

$\Leftrightarrow \left( {x + 3} \right)\left( {2 - x} \right) \le 2\left( {x + 7} \right)$

$\Leftrightarrow {x^2} + 3x + 8 \ge 0$ (luôn đúng)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( { - 3;{\rm{ 2}}} \right)$. Suy ra $P = 2 - \left( { - 3} \right) = 5$.

ĐK: $x > 0$

$\left( {x - 3} \right)\left( {1 + logx} \right) < 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x - 3 < 0\\1 + logx > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x - 3 > 0\\1 + logx < 0\end{array} \right.\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x < 3\\logx >  - 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x > 3\\logx <  - 1\end{array} \right.\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x < 3\\x > \dfrac{1}{{10}}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x > 3\\x < \dfrac{1}{{10}}\end{array} \right.\,\,\,\,\left( {vn} \right)\end{array} \right.$ $\Rightarrow \dfrac{1}{{10}} < x < 3\,\,\,\left( {tm} \right)$

Vậy số nghiệm nguyên của bất phương trình là $x \in \left\{ {1;2} \right\}$

$Bpt \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > 0}\\{x < 3\;\;\left( {do\;\;0 < 0,3 < 1} \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow 0 < x < 3.$

$\begin{array}{l}DK:x > \dfrac{3}{2},x \ne \dfrac{{22}}{5}\\{\log _{\frac{1}{2}}}\left( {3x - 2} \right) > \dfrac{1}{2}{\log _{\frac{1}{2}}}{\left( {22 - 5x} \right)^2} \Leftrightarrow 2{\log _{\frac{1}{2}}}\left( {3x - 2} \right) > {\log _{\frac{1}{2}}}{\left( {22 - 5x} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}{\left( {3x - 2} \right)^2} > {\log _{\frac{1}{2}}}{\left( {22 - 5x} \right)^2} \Leftrightarrow {\left( {3x - 2} \right)^2} < {\left( {22 - 5x} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 16{x^2} - 208x + 480 > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > 10}\\{x < 3}\end{array}} \right.\end{array}$

Hàm số $f\left( x \right) = \sqrt {{{\log }_{\dfrac{1}{2}}}\dfrac{{3 - 2x - {x^2}}}{{x + 1}}}$ xác định

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _{\dfrac{1}{2}}}\dfrac{{3 - 2x - {x^2}}}{{x + 1}} \ge 0\\\dfrac{{3 - 2x - {x^2}}}{{x + 1}} > 0\\x + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _{\dfrac{1}{2}}}\dfrac{{3 - 2x - {x^2}}}{{x + 1}} \ge {\log _{\dfrac{1}{2}}}1\\\dfrac{{ - \left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{x + 1}} > 0\\x + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{3 - 2x - {x^2}}}{{x + 1}} \le 1\\\left[ \begin{array}{l}x <  - 3\\ - 1 < x < 1\end{array} \right.\\x \ne  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{3 - 2x - {x^2} - x - 1}}{{x + 1}} \le 0\\\left[ \begin{array}{l}x <  - 3\\ - 1 < x < 1\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{ - {x^2} - 3x + 2}}{{x + 1}} \le 0\\\left[ \begin{array}{l}x <  - 3\\ - 1 < x < 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}\dfrac{{ - 3 - \sqrt {17} }}{2} \le x \le  - 1\\x \ge \dfrac{{ - 3 + \sqrt {17} }}{2}\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}x <  - 3\\ - 1 < x < 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\dfrac{{ - 3 - \sqrt {17} }}{2} \le x <  - 3\\\dfrac{{ - 3 + \sqrt {17} }}{2} \le x < 1\end{array} \right.\end{array}$

Vậy tập xác định của phương trình là $D = \left[ {\dfrac{{ - 3 - \sqrt {17} }}{2}; - 3} \right) \cup \left[ {\dfrac{{ - 3 + \sqrt {17} }}{2};1} \right)$

ĐK: $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + x > 0\\ - 2x + 4 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x > 0\\x <  - 1\end{array} \right.\\x < 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x <  - 1\\0 < x < 2\end{array} \right.$

$\begin{array}{l}{\log _{0,8}}\left( {{x^2} + x} \right) < {\log _{0,8}}\left( { - 2x + 4} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} + x >  - 2x + 4\\ \Leftrightarrow {x^2} + 3x - 4 > 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 1\\x <  - 4\end{array} \right.\end{array}$

Kết hợp điều kiện ta có: $x \in \left( { - \infty ; - 4} \right) \cup \left( {1;2} \right)$

Bất phương trình đã cho tương đương với $0 < 3x - 5 < x + 1 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > \dfrac{5}{3}}\\{2x < 6}\end{array}} \right.$ $\Leftrightarrow \dfrac{5}{3} < x < 3$

Điều kiện xác định $x >  - 25$

TH1: $\left\{ \begin{array}{l}{2^{{x^2}}} - {4^x} \le 0\\{\log _3}\left( {x + 25} \right) - 3 \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^{{x^2}}} \le {4^x}\\{\log _3}\left( {x + 25} \right) \ge 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} \le 2x\\x + 25 \ge 27\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 2\\x \ge 2\end{array} \right. \Rightarrow x = 2$

TH2: $\left\{ \begin{array}{l}{2^{{x^2}}} - {4^x} \ge 0\\{\log _3}\left( {x + 25} \right) - 3 \le 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^{{x^2}}} \ge {4^x}\\x + 25 \le {3^3}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} \ge 2x\\x \le 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \le 0\\x \ge 2\end{array} \right.\\x \le 2\end{array} \right.$

Kết hợp với điều kiện $x >  - 25$ ta có $x \in \left\{ { - 24; - 23;...;0} \right\}$ => Có 25 giá trị

Vậy từ 2 trường hợp trên ta có 26 giá trị của $x$ thỏa mãn bài toán.

${\log _4}\left( {x + 7} \right) > {\log _2}\left( {x + 1} \right)$. Điều kiện: $x >  - 1$

Bất phương trình tương đương với:

${\log _2}\left( {x + 7} \right) > 2{\log _2}\left( {x + 1} \right)$ $\Leftrightarrow x + 7 > {\left( {x + 1} \right)^2}$ $\Leftrightarrow {x^2} + x - 6 < 0$ $\Leftrightarrow  - 3 < x < 2$

Kết hợp với điều kiện: $x >  - 1$ ta được: $- 1 < x < 2$

Mà $x \in Z \Rightarrow x \in \left\{ {0;1} \right\}$

Vậy bất phương trình đã cho có 2 nghiệm nguyên.