Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _{\dfrac{1}{3}}}\left( {x - 1} \right) + {\log _3}\left( {11 - 2x} \right) \ge 0\) là
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 > 0\\11 - 2x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\x < \dfrac{{11}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 < x < \dfrac{{11}}{2}\)
Ta có:
\({\log _{\dfrac{1}{3}}}\left( {x - 1} \right) + {\log _3}\left( {11 - 2x} \right) \ge 0\)\( \Leftrightarrow - {\log _3}\left( {x - 1} \right) + {\log _3}\left( {11 - 2x} \right) \ge 0\) \( \Rightarrow {\log _3}\dfrac{{11 - 2x}}{{x - 1}} \ge 0 \Leftrightarrow \dfrac{{11 - 2x}}{{x - 1}} \ge 1 \Leftrightarrow \dfrac{{11 - 2x}}{{x - 1}} - 1 \ge 0 \Leftrightarrow \dfrac{{12 - 3x}}{{x - 1}} \ge 0\)
\( \Leftrightarrow 12 - 3x \ge 0 \Leftrightarrow x \le 4\) (do \(x - 1 > 0\))
Kết hợp với điều kiện \(1 < x < \dfrac{{11}}{2}\) ta được \(1 < x \le 4\) hay tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( {1;4} \right]\).
Có bao nhiêu số nguyên \(x\) thỏa mãn \(\left( {{2^{{x^2}}} - {4^x}} \right)\left[ {{{\log }_2}\left( {x + 14} \right) - 4} \right] \le 0\)?
BPT: \(\left( {{2^{{x^2}}} - {4^x}} \right)\left[ {{{\log }_2}\left( {x + 14} \right) - 4} \right] \le 0\).
Bài này ta chia 2 trường hợp để giải.
TH1:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{2^{{x^2}}} - {4^x} \ge 0\\{\log _2}\left( {x + 14} \right) - 4 \le 0\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^{{x^2}}} \ge {2^{2x}}\\{\log _2}\left( {x + 14} \right) \le 4\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} \ge 2x\\0 < x + 14 \le {2^4}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \le 0\\x \ge 2\end{array} \right.\\ - 14 < x \le 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 14 < x \le 0\\x = 2\end{array} \right.\end{array}\)
\( \Rightarrow \) Trường hợp này có 15 giá trị nguyên \(x \in \left\{ { - 13; - 12; - 11;...;0;2} \right\}\).
TH2:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{2^{{x^2}}} - {2^x} \le 0\\{\log _2}\left( {x + 14} \right) - 4 \ge 0\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^{{x^2}}} \le {2^{2x}}\\{\log _2}\left( {x + 14} \right) \ge 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} \le 2x\\x + 14 \ge 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 2\\x \ge 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2\end{array}\)
\( \Rightarrow \) Trường hợp này có 1 nghiệm nguyên \(x\) thuộc trường hợp 1.
Vậy có tất cả 15 nghiệm nguyên \(x\) thỏa mãn bất phương trình.
Có bao nhiêu số nguyên \(x\) thỏa mãn \(\left( {{4^x} - {{5.2}^{x + 2}} + 64} \right)\sqrt {2 - \log (4x)} \ge 0\) ?
Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2 - \log (4x) \ge 0}\\{4x > 0}\end{array} \Leftrightarrow 0 < x \le 25.} \right.\)
Ta có \(\left( {{4^x} - {{5.2}^{x + 2}} + 64} \right)\sqrt {2 - \log (4x)} \ge 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{2 - \log (4x) = 0{\rm{ (1) }}}\\{{4^x} - {{5.2}^{x + 2}} + 64 \ge 0{\rm{ (2) }}}\end{array}} \right.\)
\((1) \Leftrightarrow \log (4x) = 2 \Leftrightarrow 4x = {10^2}\) \( \Leftrightarrow x = 25({\rm{tm}}).\)
\((2) \Leftrightarrow {\left( {{2^x}} \right)^2} - {20.2^x} + 64 \ge 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{2^x} \ge 16}\\{{2^x} \le 4}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 4}\\{x \le 2}\end{array}} \right.} \right.\)
Kết hợp với điều kiện, ta có các giá trị nguyên thoả mãn trong trường hợp này là \(x \in \{ 1;2\} \cup \{ 4;5;6; \ldots .25\} \).
Vậy có 24 số nguyên \(x\) thoả mãn đề bài
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _3}\left( {2x + 3} \right) < {\log _3}\left( {1 - x} \right)\)
ĐK: \( - \dfrac{3}{2} < x < 1\).
Ta có \({\log _3}\left( {2x + 3} \right) < {\log _3}\left( {1 - x} \right) \Leftrightarrow 2x + 3 < 1 - x \Leftrightarrow 3x < - 2 \Leftrightarrow x < - \dfrac{2}{3}\)
Kết hợp điều kiện \( - \dfrac{3}{2} < x < 1\) ta có tập nghiệm \(S = \left( { - \dfrac{3}{2}; - \dfrac{2}{3}} \right)\)
Bất phương trình \({\log _2}\left( {3x - 2} \right) > {\log _2}\left( {6 - 5x} \right)\) có tập nghiệm là:
ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}3x - 2 > 0\\6 - 5x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \dfrac{2}{3}\\x < \dfrac{6}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow x \in \left( {\dfrac{2}{3};\dfrac{6}{5}} \right)\)
\({\log _2}\left( {3x - 2} \right) > {\log _2}\left( {6 - 5x} \right) \Leftrightarrow 3x - 2 > 6 - 5x \Leftrightarrow 8x > 8 \Leftrightarrow x > 1\)
Kết hợp điều kiện ta có \(x \in \left( {1;\dfrac{6}{5}} \right)\).
Để giải bất phương trình \(\ln \dfrac{{2x}}{{x - 1}} > 0\,\,\,\left( * \right)\), một học sinh lập luận qua ba bước như sau:
Bước 1: Điều kiện \(\dfrac{{2x}}{{x - 1}} > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < 0\\x > 1\end{array} \right.\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Bước 2: Ta có: \(\ln \dfrac{{2x}}{{x - 1}} > 0 \Leftrightarrow \ln \dfrac{{2x}}{{x - 1}} > \ln 1 \Leftrightarrow \dfrac{{2x}}{{x - 1}} > 1\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Bước 3: \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow 2x > x - 1 \Leftrightarrow x > - 1\,\,\,\,\left( 3 \right)\)
Kết hợp (3) và (1) ta được: \(\left[ \begin{array}{l} - 1 < x < 0\\x > 1\end{array} \right.\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( { - 1;0} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\)
Hỏi lập luận trên là đúng hay sai ? Nếu sai thì sai từ bước nào ?
Bước 1 : đúng
Bước 2 : đúng
Bước 3 : \(\dfrac{{2x}}{{x - 1}} > 1 \Leftrightarrow \dfrac{{2x - \left( {x - 1} \right)}}{{x - 1}} > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}} > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 1\\x < - 1\end{array} \right.\,\,\,\left( 3 \right)\)
Kết hợp (3) và (1) ta được: \(\left[ \begin{array}{l}x > 1\\x < - 1\end{array} \right.\)
Sai lầm ở đây là khi chưa biết dấu của \(\left( {x - 1} \right)\) , học sinh vẫn nhân cả 2 vế của bất phương trình với \(\left( {x - 1} \right)\) và giữ nguyên chiều của bất phương trình. Vậy lập luận trên sai từ bước 3.
Tập nghiệm của bất phương trình ${\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 1} \right) > - 1$ là
Ta có : ${\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 1} \right) > - 1$ $ \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 1} \right) > {\log _{\frac{1}{2}}}2 $ $\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - 1 > 0}\\{2x - 1 < 2}\end{array}} \right. $ $\Leftrightarrow \dfrac{1}{2} < x < \dfrac{3}{2}.$
Nghiệm của bất phương trình ${\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 3} \right) \ge 2$.
${\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 3} \right) \ge 2 \Leftrightarrow 0 < x - 3 \le {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} $ $\Leftrightarrow 3 < x \le \dfrac{{13}}{4}$
Tập nghiệm của bất phương trình ${\log _{0,5}}x > {\log _{0,5}}2$ là:
ĐK: $x > 0$
${\log _{0,5}}x > {\log _{0,5}}2 \Leftrightarrow x < 2$
Vậy tâp nghiệm của bất phương trình là $S = \left( {0;2} \right)$.
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình ${\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 3} \right) \ge {\log _{\frac{1}{2}}}4$.
${\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 3} \right) \ge {\log _{\frac{1}{2}}}4 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 3 > 0}\\{x - 3 \le 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > 3}\\{x \le 7}\end{array}} \right. \Leftrightarrow 3 < x \le 7$
Tập nghiệm của bất phương trình ${\log _{\sqrt 3 }}x + {\log _{\sqrt[4]{3}}}x + {\log _{\sqrt[6]{3}}}x + ... + {\log _{\sqrt[{16}]{3}}}x < 36$ là:
\(\begin{array}{*{20}{l}}{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {{\log }_{\sqrt 3 }}x + {{\log }_{\sqrt[4]{3}}}x + {{\log }_{\sqrt[6]{3}}}x + ... + {{\log }_{\sqrt[{16}]{3}}}x < 36}\\{ \Leftrightarrow {{\log }_{\sqrt 3 }}x + {{\log }_{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^{1/2}}}}x + {{\log }_{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^{1/3}}}}x + ... + {{\log }_{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^{1/8}}}}x < 36}\\{ \Leftrightarrow {{\log }_{\sqrt 3 }}x + 2.{{\log }_{\sqrt 3 }}x + 3.{{\log }_{\sqrt 3 }}x + ... + 8.{{\log }_{\sqrt 3 }}x < 36}\\{ \Leftrightarrow 36{{\log }_{\sqrt 3 }}x < 36 \Leftrightarrow {{\log }_{\sqrt 3 }}x < 1 \Leftrightarrow 0 < x < \sqrt 3 }\end{array}\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\left( {0;\sqrt 3 } \right)$.
Tập nghiệm của bất phương trình $3{\log _2}\left( {x + 3} \right) - 3 \le {\log _2}{\left( {x + 7} \right)^3} - {\log _2}{\left( {2 - x} \right)^3}$ là $S = \left( {a;{\rm{ }}b} \right)$. Tính $P = b - a$.
Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}x + 3 > 0\\x + 7 > 0\\2 - x > 0\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - 3\\x > - 7\\x < 2\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow - 3 < x < 2$
Bất phương trình đã cho tương đương với
$3\left( {{{\log }_2}\left( {x + 3} \right) - 1} \right) \le 3\left( {{{\log }_2}\left( {x + 7} \right) - {{\log }_2}\left( {2 - x} \right)} \right)$
$ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + 3} \right) - 1 \le {\log _2}\left( {x + 7} \right) - {\log _2}\left( {2 - x} \right)$
$ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + 3} \right) + {\log _2}\left( {2 - x} \right) \le {\log _2}\left( {x + 7} \right) + 1$
$ \Leftrightarrow \left( {x + 3} \right)\left( {2 - x} \right) \le 2\left( {x + 7} \right)$
$ \Leftrightarrow {x^2} + 3x + 8 \ge 0$ (luôn đúng)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( { - 3;{\rm{ 2}}} \right)$. Suy ra $P = 2 - \left( { - 3} \right) = 5$.
Số nghiệm nguyên của phương trình \(\left( {x - 3} \right)\left( {1 + logx} \right) < 0\) là:
ĐK: \(x > 0\)
$\left( {x - 3} \right)\left( {1 + logx} \right) < 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x - 3 < 0\\1 + logx > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x - 3 > 0\\1 + logx < 0\end{array} \right.\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x < 3\\logx > - 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x > 3\\logx < - 1\end{array} \right.\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x < 3\\x > \dfrac{1}{{10}}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x > 3\\x < \dfrac{1}{{10}}\end{array} \right.\,\,\,\,\left( {vn} \right)\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \dfrac{1}{{10}} < x < 3\,\,\,\left( {tm} \right)$
Vậy số nghiệm nguyên của bất phương trình là \(x \in \left\{ {1;2} \right\}\)
Tập nghiệm của bất phương trình ${\log _{0,3}}x > {\log _{0,3}}3$ là:
$Bpt \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > 0}\\{x < 3\;\;\left( {do\;\;0 < 0,3 < 1} \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow 0 < x < 3.$
Bất phương trình ${\log _{\frac{1}{2}}}\left( {3x - 2} \right) > \dfrac{1}{2}{\log _{\frac{1}{2}}}{\left( {22 - 5x} \right)^2}$ có bao nhiêu nghiệm nguyên?
\(\begin{array}{l}DK:x > \dfrac{3}{2},x \ne \dfrac{{22}}{5}\\{\log _{\frac{1}{2}}}\left( {3x - 2} \right) > \dfrac{1}{2}{\log _{\frac{1}{2}}}{\left( {22 - 5x} \right)^2} \Leftrightarrow 2{\log _{\frac{1}{2}}}\left( {3x - 2} \right) > {\log _{\frac{1}{2}}}{\left( {22 - 5x} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}{\left( {3x - 2} \right)^2} > {\log _{\frac{1}{2}}}{\left( {22 - 5x} \right)^2} \Leftrightarrow {\left( {3x - 2} \right)^2} < {\left( {22 - 5x} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 16{x^2} - 208x + 480 > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > 10}\\{x < 3}\end{array}} \right.\end{array}\)
Tập xác định của hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {{{\log }_{\dfrac{1}{2}}}\dfrac{{3 - 2x - {x^2}}}{{x + 1}}} \) là:
Hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {{{\log }_{\dfrac{1}{2}}}\dfrac{{3 - 2x - {x^2}}}{{x + 1}}} \) xác định
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _{\dfrac{1}{2}}}\dfrac{{3 - 2x - {x^2}}}{{x + 1}} \ge 0\\\dfrac{{3 - 2x - {x^2}}}{{x + 1}} > 0\\x + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _{\dfrac{1}{2}}}\dfrac{{3 - 2x - {x^2}}}{{x + 1}} \ge {\log _{\dfrac{1}{2}}}1\\\dfrac{{ - \left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{x + 1}} > 0\\x + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{3 - 2x - {x^2}}}{{x + 1}} \le 1\\\left[ \begin{array}{l}x < - 3\\ - 1 < x < 1\end{array} \right.\\x \ne - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{3 - 2x - {x^2} - x - 1}}{{x + 1}} \le 0\\\left[ \begin{array}{l}x < - 3\\ - 1 < x < 1\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{ - {x^2} - 3x + 2}}{{x + 1}} \le 0\\\left[ \begin{array}{l}x < - 3\\ - 1 < x < 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}\dfrac{{ - 3 - \sqrt {17} }}{2} \le x \le - 1\\x \ge \dfrac{{ - 3 + \sqrt {17} }}{2}\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}x < - 3\\ - 1 < x < 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\dfrac{{ - 3 - \sqrt {17} }}{2} \le x < - 3\\\dfrac{{ - 3 + \sqrt {17} }}{2} \le x < 1\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy tập xác định của phương trình là \(D = \left[ {\dfrac{{ - 3 - \sqrt {17} }}{2}; - 3} \right) \cup \left[ {\dfrac{{ - 3 + \sqrt {17} }}{2};1} \right)\)
Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _{0,8}}\left( {{x^2} + x} \right) < {\log _{0,8}}\left( { - 2x + 4} \right)\) là:
ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + x > 0\\ - 2x + 4 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x > 0\\x < - 1\end{array} \right.\\x < 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - 1\\0 < x < 2\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l}{\log _{0,8}}\left( {{x^2} + x} \right) < {\log _{0,8}}\left( { - 2x + 4} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} + x > - 2x + 4\\ \Leftrightarrow {x^2} + 3x - 4 > 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 1\\x < - 4\end{array} \right.\end{array}\)
Kết hợp điều kiện ta có: \(x \in \left( { - \infty ; - 4} \right) \cup \left( {1;2} \right)\)
Giải bất phương trình sau ${\log _{\frac{1}{5}}}\left( {3x - 5} \right) > {\log _{\frac{1}{5}}}\left( {x + 1} \right)$
Bất phương trình đã cho tương đương với $0 < 3x - 5 < x + 1 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > \dfrac{5}{3}}\\{2x < 6}\end{array}} \right. $ $\Leftrightarrow \dfrac{5}{3} < x < 3$
Đề thi THPT QG – 2021 lần 1– mã 104
Có bao nhiêu số nguyên \(x\) thỏa mãn \(\left( {{2^{{x^2}}} - {4^x}} \right)\left[ {{{\log }_3}\left( {x + 25} \right) - 3} \right] \le 0\)?
Điều kiện xác định \(x > - 25\)
TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}{2^{{x^2}}} - {4^x} \le 0\\{\log _3}\left( {x + 25} \right) - 3 \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^{{x^2}}} \le {4^x}\\{\log _3}\left( {x + 25} \right) \ge 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} \le 2x\\x + 25 \ge 27\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 2\\x \ge 2\end{array} \right. \Rightarrow x = 2\)
TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}{2^{{x^2}}} - {4^x} \ge 0\\{\log _3}\left( {x + 25} \right) - 3 \le 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^{{x^2}}} \ge {4^x}\\x + 25 \le {3^3}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} \ge 2x\\x \le 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \le 0\\x \ge 2\end{array} \right.\\x \le 2\end{array} \right.\)
Kết hợp với điều kiện \(x > - 25\) ta có \(x \in \left\{ { - 24; - 23;...;0} \right\}\) => Có 25 giá trị
Vậy từ 2 trường hợp trên ta có 26 giá trị của $x$ thỏa mãn bài toán.
Bất phương trình ${\log _4}\left( {x + 7} \right) > {\log _2}\left( {x + 1} \right)$ có bao nhiêu nghiệm nguyên?
${\log _4}\left( {x + 7} \right) > {\log _2}\left( {x + 1} \right)$. Điều kiện: $x > - 1$
Bất phương trình tương đương với:
${\log _2}\left( {x + 7} \right) > 2{\log _2}\left( {x + 1} \right)$ $ \Leftrightarrow x + 7 > {\left( {x + 1} \right)^2}$ $ \Leftrightarrow {x^2} + x - 6 < 0 $ $\Leftrightarrow - 3 < x < 2$
Kết hợp với điều kiện: $x > - 1$ ta được: $ - 1 < x < 2$
Mà $x \in Z \Rightarrow x \in \left\{ {0;1} \right\}$
Vậy bất phương trình đã cho có 2 nghiệm nguyên.
