Hệ tọa độ trong không gian

$I$ là trung điểm của $AB$ thì tọa độ của $I$ thỏa mãn 

$\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \frac{{ - 2 + 0}}{2} = - 1\\{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \frac{{ - 1 + 3}}{2} = 1\\{z_I} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2} = \frac{{3 + 1}}{2} = 2\end{array} \right. \Rightarrow I\left( { - 1;1;2} \right)$

Tọa độ trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB$:   $\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \frac{{1 - 3}}{2} =  - 1\\{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \frac{{2 - 4}}{2} =  - 1\\{z_I} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2} = \frac{{3 - 5}}{2} =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow I( - 1; - 1; - 1)$

Tọa độ điểm A’ đối xứng với $A\left( -3;2;-1 \right)$ qua gốc tọa độ O là: $A'(3;-2;1)$.

Hình chiếu vuông góc của $A\left( 3;2;-1 \right)$ trên mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ là điểm $H\left( 3;2;0 \right)$.

Hình chiếu vuông góc của điểm A(1;2;3) trên mặt phẳng (Oxy) là điểm $N(1;2;0)$.

Gọi điểm $A'\left( {{x}_{0}};\ {{y}_{0}};\ {{z}_{0}} \right)$ là hình chiếu của A trên mặt phẳng $\left( Oxy \right)\Rightarrow A'\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};0 \right).$

Suy ra $A'\left( 2;\ 2;\ 0 \right).$

Khi chiếu điểm $A\left( 3;-1;1 \right)$ lên mặt phẳng $\left( Oyz \right)$ thì tung độ và cao độ giữ nguyên, hoành độ bằng $0$.

Vậy $N\left( 0;-1;1 \right)$.

Tọa độ của điểm $M$ là $M\left( 0;-\,2;3 \right).$

Điểm $N\left( -3;-1;2 \right)$ là điểm đối xứng với $M\left( 3;-1;2 \right)$ qua (Oyz).

Hình chiếu của $A\left( 2;1;-\,3 \right)$ trên mặt phẳng $\left( Oyz \right)$ là $H\left( 0;1;-\,3 \right).$

Mà $H$ là trung điểm của $A{A}'$ suy ra tọa độ điểm ${A}'\left( -\,2;1;-\,3 \right).$

Điểm $A\left( 1;-4;-5 \right)$ có điểm đối xứng qua mặt phẳng $\left( Oxz \right)$ là $A'\left( 1;4;-5 \right)$

Lấy đối xứng điểm $B\left( {3; - 1;4} \right)$ qua $\left( {Oxz} \right)$ ta được $A\left( {3;1;4} \right)$.

Phương trình mặt phẳng $\left( {Oyz} \right):\;x = 0.$

Tọa độ điểm ${{A}_{1}}$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ là: ${A_1}\left( {0;2;3} \right)$.

$d\left( {A;\left( {Oyz} \right)} \right) = \left| 2 \right| = 2$

$M(1;0;3)\in \left( Oxz \right)$

Hình chiếu vuông góc của $M\left( 1;2;3 \right)$ trên $\left( Oxz \right)$ là điểm $E\left( 1;0;3 \right)$.

Điểm $M(1;0;2) \in \left( {Oxz} \right)$.

Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $Ox\Rightarrow \,\,H\left( -\,2;0;0 \right)$$\Rightarrow \,\,\overrightarrow{AH}=\left( 0;-\,3;-\,4 \right).$

Vậy khoảng cách từ $A$ đến trục $Ox$ là $AH=\sqrt{{{\left( -\,3 \right)}^{2}}+{{\left( -\,4 \right)}^{2}}}=5.$

Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $Ox\Rightarrow \,\,H\left( -\,2;0;0 \right)$$\Rightarrow \,\,\overrightarrow{AH}=\left( 0;-\,3;-\,4 \right).$

Vậy khoảng cách từ $A$ đến trục $Ox$ là $AH=\sqrt{{{\left( -\,3 \right)}^{2}}+{{\left( -\,4 \right)}^{2}}}=5.$

Hình chiếu của $A$ trên trục $Oz$ là $M\left( 0;0;5 \right)$

Khi đó M là trung điểm của $AA'\Rightarrow \,\,{A}'\left( -\,2;3;5 \right).$