Hệ tọa độ trong không gian

Điểm \(Q\left( {0; - 10;0} \right)\) thuộc trục $Oy$.

\(\overrightarrow {OM}  = 2\overrightarrow i  + \overrightarrow j  = 2\overrightarrow i  + \overrightarrow j  + 0\overrightarrow k  \) suy ra \(M \left( {2;1;0} \right)\)

Trong không gian Oxyz, điểm N đối xứng với \(M(3; - 1;2)\) qua trục Oy là \(N( - 3; - 1; - 2)\).

Trong không gian \(Oxyz\), hình chiếu vuông góc của điểm \(M\left( {3\,;\,\,1\,;\,\, - 1} \right)\) trên trục \(Oy\) có tọa độ là \(\left( {0\,;\,\,1\,;\,\,0} \right)\)

Véc tơ \(\overrightarrow i \) là véc tơ đơn vị của trục \(Ox\).

Ta có: \(\left| {\overrightarrow i } \right| = \left| {\overrightarrow j } \right| = \left| {\overrightarrow k } \right| = 1\) hoặc \({\overrightarrow i ^2} = {\overrightarrow j ^2} = {\overrightarrow k ^2} = 1\) nên \(\left| {\overrightarrow i } \right| = {\overrightarrow k ^2}\) đúng.

Do \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \) là các véc tơ đơn vị nên \(\overrightarrow i .\overrightarrow k  = 0,\overrightarrow i .\overrightarrow j  = 0\), A sai, C đúng.

Ngoài ra, \(\overrightarrow i .\overrightarrow i  = {\overrightarrow i ^2} = {\left| {\overrightarrow i } \right|^2} = 1,\overrightarrow j .\overrightarrow j  = {\overrightarrow j ^2} = {\left| {\overrightarrow j } \right|^2} = 1\) nên B, D đúng.

\(\overrightarrow {OM}  = a\overrightarrow i  + b\overrightarrow k  + c\overrightarrow j  = a\overrightarrow i  + c\overrightarrow j  + b\overrightarrow k \) nên \(M\left( {a;c;b} \right)\).

\(\overrightarrow {OM}  = 2\overrightarrow j  - \overrightarrow i  + \overrightarrow k  =  - \overrightarrow i  + 2\overrightarrow j  + \overrightarrow k  \Rightarrow M\left( { - 1;2;1} \right)\). Do đó hoành độ của \(M\) bằng \( - 1\).

Do \(A \in Ox,B \in Oy,C \in Oz\) nên \(A\left( {{x_A};0;0} \right),B\left( {0;{y_B};0} \right),C\left( {0;0;{z_C}} \right)\)

Khi đó tọa độ trọng tâm tam giác là \(G\left( {\dfrac{{{x_A}}}{3};\dfrac{{{y_B}}}{3};\dfrac{{{z_C}}}{3}} \right)\)

Do \(A\left( {1;2; - 1} \right),B\left( {2;1;0} \right),O\left( {0;0;0} \right)\) nên tọa độ trọng tâm tam giác là: \(\left( {\dfrac{{1 + 2 + 0}}{3};\dfrac{{2 + 1 + 0}}{3};\dfrac{{ - 1 + 0 + 0}}{3}} \right) = \left( {1;1; - \dfrac{1}{3}} \right)\)

Gọi \(C\left( {x;y;z} \right)\).

Do \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}1 = \dfrac{{2 + 2 + x}}{3}\\1 = \dfrac{{1 + 2 + y}}{3}\\2 = \dfrac{{3 + 1 + z}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = 0\\z = 2\end{array} \right. \Rightarrow C\left( { - 1;0;2} \right)\)

Do đó \(C \in \left( {Oxz} \right)\).

Do \(G\) là trọng tâm tứ diện \(ABCD\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C} + {x_D}}}{4}\\{y_G} = \dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C} + {y_D}}}{4}\\{z_G} = \dfrac{{{z_A} + {z_B} + {z_C} + {z_D}}}{4}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} + {x_C} + {x_D} = 4{x_G}\\{y_A} + {y_B} + {y_C} + {y_D} = 4{y_G}\\{z_A} + {z_B} + {z_C} + {z_D} = 4{z_G}\end{array} \right.\)

Trọng tâm tứ diện \(OABC\) thỏa mãn hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{0 + 1 + 0 + 0}}{4} = \dfrac{1}{4}\\{y_G} = \dfrac{{0 + 0 + 1 + 0}}{4} = \dfrac{1}{4}\\{z_G} = \dfrac{{0 + 0 + 0 + 1}}{4} = \dfrac{1}{4}\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{4}} \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {OM}  = 2\overrightarrow i  + \overrightarrow j \) nên \(M\left( {2;1;0} \right)\).

Ta có \(A\left( { - 1;3;5} \right),B\left( {3; - 5;1} \right)\)

Khi đó trung điểm \(I\left( {1; - 1;3} \right)\)

Trung điểm \(I\) của \(AB\) có tọa độ: \(I\left( {1; - 2;4} \right)\).

Vậy hình chiếu vuông góc của \(I\) trên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) là: \(M\left( {0; - 2;4} \right)\).

Tọa độ điểm đối xứng với điểm \(Q\left( {2;7;5} \right)\) qua mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) là \(\left( {2; - 7;5} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {AO}  = 3\left( {\overrightarrow i  + 4\overrightarrow j } \right) - 2\overrightarrow k  + 5\overrightarrow j \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \overrightarrow {AO}  = 3\overrightarrow i  + 12\overrightarrow j  - 2\overrightarrow k  + 5\overrightarrow j \\ \Leftrightarrow \left( { - {x_A};\, - {y_A};\, - {z_A}} \right) = 3\overrightarrow i  + 17\overrightarrow j  - 2\overrightarrow k \\ \Leftrightarrow \left( { - {x_A};\, - {y_A};\, - {z_A}} \right) = \left( {3;\,\,17;\, - 2} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {{x_A};\,\,\,{y_A};\,\,\,{z_A}} \right) = \left( { - 3; - 17;\,\,2} \right)\\ \Rightarrow A\left( { - 3; - 17;\,\,2} \right).\end{array}\)

Hình chiếu của điểm \(A\left( {3;2;4} \right)\) trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) là \(P\left( {3;2;0} \right)\).