Đề thi THPT QG 2020 – mã đề 104
Trong không gian \(Oxyz\), hình chiếu vuông góc của điểm \(A\left( {8;\,\,1;\,2} \right)\) trên trục \(Ox\) có tọa độ là
Hình chiếu vuông góc của điểm \(A\left( {8;\,\,1;\,\,2} \right)\) trên trục \(Ox\) là \(A'\left( {8;\,\,0;\,\,0} \right).\)
Trong không gian \(Oxyz\), hình chiếu của điểm \(M\left( {2;3; - 2} \right)\) trên trục \(Oy\) có tọa độ là:
Hình chiếu của điểm \(M\left( {2;3; - 2} \right)\) trên trục \(Oy\) có tọa độ là: \(\left( {0;3;0} \right)\).
Véc tơ đơn vị trên trục \(Oy\) là:
Véc tơ \(\overrightarrow j \) là véc tơ đơn vị của trục \(Oy\).
Chọn mệnh đề đúng:
Ta có: \(\left| {\overrightarrow i } \right| = \left| {\overrightarrow j } \right| = \left| {\overrightarrow k } \right| = 1\) nên B đúng và các đáp án còn lại sai.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm $A(1; - 2;4)$. Hình chiếu vuông góc của $A$ trên trục $Oy $ là điểm
Hình chiếu vuông góc của \(A(1;-2;4)\) trên trục $Oy$ là điểm \(N(0;-2;0)\).
Chọn mệnh đề sai:
Ta có: \(\overrightarrow i .\overrightarrow j = \overrightarrow k .\overrightarrow j = \overrightarrow i .\overrightarrow k = 0\) nên các đáp án A, B, D đều đúng.
Đáp án C sai vì tích vô hướng hai véc tơ là một số, không phải một véc tơ.
Điểm \(M\left( {x;y;z} \right)\) nếu và chỉ nếu:
Điểm \(M\left( {x;y;z} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {OM} = x.\overrightarrow i + y.\overrightarrow j + z.\overrightarrow k \)
Điểm \(M\) thỏa mãn \(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow i - 3\overrightarrow j + \overrightarrow k \) có tọa độ:
\(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow i - 3\overrightarrow j + \overrightarrow k \Rightarrow M\left( {1; - 3;1} \right)\).
Tung độ của điểm \(M\) thỏa mãn \(\overrightarrow {OM} = 2\overrightarrow j - \overrightarrow i + \overrightarrow k \) là:
\(\overrightarrow {OM} = 2\overrightarrow j - \overrightarrow i + \overrightarrow k = - \overrightarrow i + 2\overrightarrow j + \overrightarrow k \Rightarrow M\left( { - 1;2;1} \right)\). Do đó tung độ của \(M\) bằng \(2\).
Điểm \(N\) là hình chiếu của \(M\left( {x;y;z} \right)\) trên trục tọa độ \(Oz\) thì:
Chiếu \(M\) lên trục \(Oz\) thì \(x = 0;y = 0\) và giữ nguyên \(z\) nên \(N\left( {0;0;z} \right)\).
Hình chiếu của điểm \(M\left( {1; - 1;0} \right)\) lên trục ${\rm{O}}z$ là:
Vì chiếu điểm \(M\) lên trục \(Oz\) nên giữ nguyên \(z\) và cho \(x = y = 0\). Do đó ta được hình chiếu của điểm \(M\left( {1; - 1;0} \right)\) lên trục ${\rm{O}}z$ là \(N\left( {0;0;0} \right)\)
Khi chiếu điểm \(M\left( { - 4;3; - 2} \right)\) lên trục ${\rm{Ox}}$ được điểm \(N\) thì:
Khi chiếu điểm \(M\left( { - 4;3; - 2} \right)\) lên trục ${Ox}$ được điểm \(N\) có tọa độ \(N(-4;0;0)\) nên $\overline {ON} = - 4$.
Điểm \(M \in \left( {Oxy} \right)\) thì tọa độ của \(M\) là:
Điểm \(M \in \left( {Oxy} \right)\) thì cao độ \(z = 0\). Do đó \(M\left( {x;y;0} \right)\).
Hình chiếu của điểm \(M\left( {2;2; - 1} \right)\) lên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) là:
Hình chiếu của điểm \(M\left( {2;2; - 1} \right)\) lên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) là \(N\left( {0;2; - 1} \right)\).
Hình chiếu của điểm \(M\left( {0;2;1} \right)\) trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) thuộc:
Hình chiếu của \(M\left( {0;2;1} \right)\) lên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) là \(N\left( {0;2;0} \right)\).
Do đó \(N\) nằm trên trục \(Oy\).
Tọa độ điểm \(M\) là trung điểm đoạn thẳng \(AB\) là:
Điểm \(M\) là trung điểm đoạn thẳng \(AB\) nếu và chỉ nếu \(M\left( {\dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\dfrac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)\).
Cho hai điểm \(A\left( { - 3;1;2} \right),B\left( {1;1;0} \right)\), tọa độ trung điểm đoạn thẳng \(AB\) là:
Điểm \(M\) là trung điểm đoạn thẳng \(AB\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \dfrac{{ - 3 + 1}}{2} = - 1\\{y_M} = \dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \dfrac{{1 + 1}}{2} = 1\\{z_M} = \dfrac{{{z_A} + {z_B}}}{2} = \dfrac{{2 + 0}}{2} = 1\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - 1;1;1} \right)\)
Tọa độ trọng tâm tam giác \(ABC\) là:
Công thức tọa độ trọng tâm tam giác \(G\left( {\dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3};\dfrac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)\)
Cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {2;1;0} \right),B\left( { - 1;0;3} \right),C\left( {1;2;3} \right)\). Tọa độ trọng tâm tam giác là:
Trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\) có tọa độ thỏa mãn:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \dfrac{{2 - 1 + 1}}{3} = \dfrac{2}{3}\\{y_G} = \dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \dfrac{{1 + 0 + 2}}{3} = 1\\{z_G} = \dfrac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3} = \dfrac{{0 + 3 + 3}}{3} = 2\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {\dfrac{2}{3};1;2} \right)\)
Gọi \(G\left( {4; - 1;3} \right)\) là tọa độ trọng tâm tam giác \(ABC\) với \(A\left( {0;2; - 1} \right),B\left( { - 1;3;2} \right)\). Tìm tọa độ điểm \(C\).
Điểm \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nếu:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\\{z_G} = \dfrac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 3{x_G} - {x_A} - {x_B} = 3.4 - 0 - \left( { - 1} \right) = 13\\{y_C} = 3{y_G} - {y_A} - {y_B} = 3.\left( { - 1} \right) - 2 - 3 = - 8\\{z_C} = 3{z_G} - {z_A} - {z_B} = 3.3 - \left( { - 1} \right) - 2 = 8\end{array} \right. \)
$\Rightarrow C\left( {13; - 8;8} \right)$
