Hệ tọa độ trong không gian

Hình chiếu vuông góc của điểm $A\left( {8;\,\,1;\,\,2} \right)$ trên trục $Ox$ là $A'\left( {8;\,\,0;\,\,0} \right).$  

Hình chiếu của điểm $M\left( {2;3; - 2} \right)$ trên trục $Oy$ có tọa độ là: $\left( {0;3;0} \right)$.

Véc tơ $\overrightarrow j$ là véc tơ đơn vị của trục $Oy$.

Ta có: $\left| {\overrightarrow i } \right| = \left| {\overrightarrow j } \right| = \left| {\overrightarrow k } \right| = 1$ nên B đúng và các đáp án còn lại sai.

Hình chiếu vuông góc của $A(1;-2;4)$ trên trục $Oy$ là điểm $N(0;-2;0)$.

Ta có: $\overrightarrow i .\overrightarrow j  = \overrightarrow k .\overrightarrow j  = \overrightarrow i .\overrightarrow k  = 0$ nên các đáp án A, B, D đều đúng.

Đáp án C sai vì tích vô hướng hai véc tơ là một số, không phải một véc tơ.

Điểm $M\left( {x;y;z} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {OM}  = x.\overrightarrow i  + y.\overrightarrow j  + z.\overrightarrow k$

$\overrightarrow {OM}  = \overrightarrow i  - 3\overrightarrow j  + \overrightarrow k  \Rightarrow M\left( {1; - 3;1} \right)$.

$\overrightarrow {OM}  = 2\overrightarrow j  - \overrightarrow i  + \overrightarrow k  =  - \overrightarrow i  + 2\overrightarrow j  + \overrightarrow k  \Rightarrow M\left( { - 1;2;1} \right)$. Do đó tung độ của $M$ bằng $2$.

Chiếu $M$ lên trục $Oz$ thì $x = 0;y = 0$ và giữ nguyên $z$ nên $N\left( {0;0;z} \right)$.

Vì chiếu điểm $M$ lên trục $Oz$ nên giữ nguyên $z$ và cho $x = y = 0$. Do đó ta được hình chiếu của điểm $M\left( {1; - 1;0} \right)$ lên trục ${\rm{O}}z$ là $N\left( {0;0;0} \right)$

Khi chiếu điểm $M\left( { - 4;3; - 2} \right)$ lên trục ${Ox}$ được điểm $N$ có tọa độ $N(-4;0;0)$  nên $\overline {ON}  =  - 4$.

Điểm $M \in \left( {Oxy} \right)$ thì cao độ $z = 0$. Do đó $M\left( {x;y;0} \right)$.

Hình chiếu của điểm $M\left( {2;2; - 1} \right)$ lên mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ là $N\left( {0;2; - 1} \right)$.

Hình chiếu của $M\left( {0;2;1} \right)$ lên mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ là $N\left( {0;2;0} \right)$.

Do đó $N$ nằm trên trục $Oy$.

Điểm $M$ là trung điểm đoạn thẳng $AB$ nếu và chỉ nếu $M\left( {\dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\dfrac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)$.

Điểm $M$ là trung điểm đoạn thẳng $AB$ nên $\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \dfrac{{ - 3 + 1}}{2} =  - 1\\{y_M} = \dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \dfrac{{1 + 1}}{2} = 1\\{z_M} = \dfrac{{{z_A} + {z_B}}}{2} = \dfrac{{2 + 0}}{2} = 1\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - 1;1;1} \right)$

Công thức tọa độ trọng tâm tam giác $G\left( {\dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3};\dfrac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)$

Trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ có tọa độ thỏa mãn:

$\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \dfrac{{2 - 1 + 1}}{3} = \dfrac{2}{3}\\{y_G} = \dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \dfrac{{1 + 0 + 2}}{3} = 1\\{z_G} = \dfrac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3} = \dfrac{{0 + 3 + 3}}{3} = 2\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {\dfrac{2}{3};1;2} \right)$

Điểm $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nếu:

$\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\\{z_G} = \dfrac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 3{x_G} - {x_A} - {x_B} = 3.4 - 0 - \left( { - 1} \right) = 13\\{y_C} = 3{y_G} - {y_A} - {y_B} = 3.\left( { - 1} \right) - 2 - 3 =  - 8\\{z_C} = 3{z_G} - {z_A} - {z_B} = 3.3 - \left( { - 1} \right) - 2 = 8\end{array} \right.$

$\Rightarrow C\left( {13; - 8;8} \right)$