Bất phương trình mũ

ĐK: \(x \ne 0\)

\({\left( {\dfrac{2}{{\sqrt 5 }}} \right)^{\frac{1}{x}}} \le {\left( {\dfrac{2}{{\sqrt 5 }}} \right)^{2017}}\)

Vì \(0 < \dfrac{2}{{\sqrt 5 }} < 1 \Rightarrow \dfrac{1}{x} \ge 2017 \)

$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \dfrac{1}{x} - 2017 \ge 0 \Leftrightarrow \dfrac{{1 - 2017x}}{x} \ge 0\\
\Leftrightarrow 0 < x \le \dfrac{1}{{2017}}
\end{array}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( {0;\dfrac{1}{{2017}}} \right]$

Bước 1: Sử dụng bất phương trình tích.

Do \(m\) nguyên dương nên \(m \in \{ 1;2;3; \ldots ..\} \). Ta có

\(\left( {{2^{x + 2}} - \sqrt 2 } \right)\left( {{2^x} - m} \right) < 0\)\( \Leftrightarrow \left( {{{4.2}^x} - \sqrt 2 } \right)\left( {{2^x} - m} \right) < 0\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt 2 }}{4} < {2^x} < m\)\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{4}} \right) < x < {\log _2}m\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{ - 3}}{2} < x < {\log _2}m\)

=> Tập nghiệm là \(S = \left( { - \dfrac{3}{2};{{\log }_2}m} \right)\)

Bước 2: Biện luận m với điều kiện tập nghiệm chứa không quá 6 số nguyên

Để bất phương trình đã cho có tập nghiệm chứa không quá 6 số nguyên thì

Các nghiệm nguyên phải là -1;0;1;2;3;4

Khi đó \({\log _2}m \le 5 \Leftrightarrow m \le 32\).

Do \(m\) nguyên dương nên có 32 giá trị của \(m\) thỏa mãn bài toán.

\({\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{{x^2} - 3{\rm{x}} + 2}} \ge \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow {x^2} - 3{\rm{x}} + 2 \le 2 \Leftrightarrow {x^2} - 3{\rm{x}} \le 0\)

\( \Leftrightarrow 0 \le x \le 3\) .

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm: \(T = \left[ {0;3} \right]\)

Do đó \(b - a = 3 - 0 = 3\)

Ta có ${3^{{x^2}}}{.4^x} > 9 \Leftrightarrow {3^{{x^2} - 2}}{.4^x} > 1 \Leftrightarrow {x^2} - 2 + 2{\rm{x}}{\log _3}2 > 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2{\rm{x}}{\log _3}2 > 2$ suy ra B đúng

Ta có ${3^{{x^2}}}{.4^x} > 9 \Leftrightarrow {3^{{x^2} - 2}}{.4^x} > 1 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2} \right){\log _2}3 + 2{\rm{x}} > 0$ suy ra A đúng

Ta có ${3^{{x^2}}}{.4^x} > 9 \Leftrightarrow {x^2}\ln 3 + {\rm{xln4}} > 2\ln 3$ suy ra C đúng

Ta có ${3^{{x^2}}}{.4^x} > 9 \Leftrightarrow {x^2}\log 3 + {\rm{xlog4}} > \log 9$ suy ra D sai

Ta có

\(\begin{array}{l}f(x) > 1 \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^x}{5^{{x^2}}} > 1 \Leftrightarrow {\log _2}\left[ {{{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^x}{5^{{x^2}}}} \right] > {\log _2}1\\ \Leftrightarrow {x^2}{\log _2}5 + x{\log _2}\dfrac{1}{2} > 0 \Leftrightarrow {x^2}{\log _2}5 - x > 0\end{array}\)$ \Leftrightarrow x - {x^2}{\log _2}5 < 0$

ĐK : \(x > 0\)

Lấy log cơ số 2 hai vế bất phương trình ta có \({\log _2}\left( {{x^{{{\log }_2}x + 4}}} \right) \le {\log _2}{2^5} \Leftrightarrow \left( {{{\log }_2}x + 4} \right){\log _2}x \le 5\)

Đặt \(t = {\log _2}x\) ta có \(\left( {t + 4} \right)t \le 5 \Leftrightarrow {t^2} + 4t - 5 \le 0 \Leftrightarrow t \in \left[ { - 5;1} \right]\)

$\begin{array}{l}t \ge  - 5 \Leftrightarrow {\log _2}x \ge  - 5 \Leftrightarrow x \ge {2^{ - 5}} = \dfrac{1}{{32}}\\t \le 1 \Leftrightarrow {\log _2}x \le 1 \Leftrightarrow 0 < x \le 2\\ \Rightarrow x \in \left[ {\dfrac{1}{{32}};2} \right]\end{array}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là một đoạn.

ĐK : \(x > 0\)

$\begin{align} {{4}^{{{\log }_{2}}2x}}-{{x}^{{{\log }_{2}}6}}\le {{2.3}^{{{\log }_{2}}4{{x}^{2}}}} \\ \Leftrightarrow {{4}^{1+{{\log }_{2}}x}}-{{6}^{{{\log }_{2}}x}}\le {{2.3}^{2+{{\log }_{2}}{{x}^{2}}}} \\  \Leftrightarrow 4.{{\left( {{2}^{\log {_{2}}x}} \right)}^{2}}-{{2}^{{{\log }_{2}}x}}{{.3}^{{{\log }_{2}}x}}\le 2.\left( {{9.3}^{2{{\log }_{2}}x}} \right) \\  \Leftrightarrow 4.{{\left( {{2}^{\log {_{2}}x}} \right)}^{2}}-{{2}^{{{\log }_{2}}x}}{{.3}^{{{\log }_{2}}x}}-18.{{\left( {{3}^{{{\log }_{2}}x}} \right)}^{2}}\le 0 \\ \end{align}$.

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {2^{{{\log }_2}x}}\\v = {3^{{{\log }_2}x}}\end{array} \right.\,\,\,\left( {u,v > 0} \right),\) khi đó bất phương trình trở thành

\(\begin{array}{l}4{u^2} - uv - 18{v^2} \le 0\\ \Leftrightarrow 4{u^2} + 8uv - 9uv - 18{v^2} \le 0\\ \Leftrightarrow 4u\left( {u + 2v} \right) - 9v\left( {u + 2v} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow \left( {4u - 9v} \right)\left( {u + 2v} \right) \le 0\end{array}\)

Ta có \(u + 2v > 0\,\,\forall x \Rightarrow bpt \Leftrightarrow 4u - 9v \le 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {4.2^{{{\log }_2}x}} - {9.3^{{{\log }_2}x}} \le 0\\ \Leftrightarrow {4.2^{{{\log }_2}x}} \le {9.3^{{{\log }_2}x}}\\ \Leftrightarrow {2^{2 + {{\log }_2}x}} \le {3^{2 + {{\log }_2}x}}\\ \Leftrightarrow 2 + {\log _2}x \le \left( {2 + {{\log }_2}x} \right){\log _2}3\\ \Leftrightarrow \left( {2 + {{\log }_2}x} \right)\left( {{{\log }_2}3 - 1} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow 2 + {\log _2}x \ge 0 \Leftrightarrow {\log _2}x \ge  - 2 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{1}{4}\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Tập nghiệm của bất phương trình là : $\left[ {\dfrac{1}{4}; + \infty } \right) \Rightarrow a = \dfrac{1}{4} \Rightarrow $ phương trình \({x^2} - x + \dfrac{1}{4} = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} = 0\) có nghiệm duy nhất \(x = \dfrac{1}{2}\)

Ta có: \({2^x} > 6 \Leftrightarrow x > {\log _2}6\).

Ta có \({2^x} > 3 \Leftrightarrow x > {\log _2}3\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( {{{\log }_2}3; + \infty } \right)\).

Ta có: \({2^x} > 5 \Leftrightarrow x > {\log _2}5\)

Ta có \({3^x} < 2 \Leftrightarrow x < {\log _3}2\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( { - \infty ;{{\log }_3}2} \right)\).

Giải bất phương trình ta được:

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;{3^{{x^2} - 2x}} < 27 \Leftrightarrow {3^{{x^2} - 2x}} < {3^3}\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x < 3 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 < 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right) < 0\\ \Leftrightarrow  - 1 < x < 3.\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:\(\left( { - 1;\;3} \right).\)

Ta có: \({4^x} \ge 2 \Leftrightarrow x \ge {\log _4}2 ={\log _{2^2}}2\)\(= \dfrac{1}{2}{\log _2}2 = \dfrac{1}{2}\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left[ {\dfrac{1}{2}; + \infty } \right)\).

\(\begin{array}{l}{\left( {\dfrac{5}{7}} \right)^{{x^2} - x + 1}} > {\left( {\dfrac{5}{7}} \right)^{2x - 1}} \Leftrightarrow 0 < {x^2} - x + 1 < 2x - 1\\ \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 < 0 \Leftrightarrow 1 < x < 2\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(S = \left( {1;2} \right)\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\end{array} \right.\).

Vậy \(A = 2b - a = 2.2 - 1 = 3.\)

Ta có: ${5^{x + 1}} - \dfrac{1}{5} > 0 \Leftrightarrow {5^{x + 1}} > \dfrac{1}{5} = {5^{ - 1}} \Leftrightarrow x + 1 > - 1 \Leftrightarrow x >  - 2$

Vì $2>1$ nên \({2^x} < 5 \Leftrightarrow x < {\log _2}5\)

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

Ta có: \(f\left( { - x} \right) = {e^{\sqrt {{x^2} + 1} }}\left( {{e^{ - x}} - {e^x}} \right) =  - f\left( x \right)\) nên hàm số đã cho là hàm lẻ.

Ta có: \(f\left( x \right) = {e^{\sqrt {{x^2} + 1} }}\left( {{e^x} - {e^{ - x}}} \right) = {e^{\sqrt {{x^2} + 1}  + x}} \)\(- {e^{\sqrt {{x^2} + 1}  - x}}\).

$\Rightarrow f'\left( x \right) = \left( {\dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} + 1} \right){e^{\sqrt {{x^2} + 1}  + x}} - \left( {\dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} - 1} \right){e^{\sqrt {{x^2} + 1}  - x}}$

\(\begin{array}{l} = \dfrac{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{e^{\sqrt {{x^2} + 1}  + x}} + \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1}  - x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{e^{\sqrt {{x^2} + 1}  - x}}\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\sqrt {{x^2} + 1}  > \sqrt {{x^2}}  = \left| x \right|\\ \Leftrightarrow  - \sqrt {{x^2} + 1}  < x < \sqrt {{x^2} + 1} \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + \sqrt {{x^2} + 1}  > 0\\\sqrt {{x^2} + 1}  - x > 0\end{array} \right.\end{array}\)

Do đó \(f'\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) \( \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Theo bài ra ta có: \(f\left( {m - 7} \right) + f\left( {\dfrac{{12}}{{m + 1}}} \right) < 0 \Leftrightarrow f\left( {m - 7} \right) <  - f\left( {\dfrac{{12}}{{m + 1}}} \right)\)

Mà \(f\left( x \right)\) là hàm lẻ (cmt) \( \Rightarrow  - f\left( {\dfrac{{12}}{{m + 1}}} \right) = f\left( {\dfrac{{ - 12}}{{m + 1}}} \right)\).

\( \Rightarrow f\left( {m - 7} \right) < f\left( {\dfrac{{ - 12}}{{m + 1}}} \right)\)

Mà hàm số f(x) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) \( \Rightarrow m - 7 < \dfrac{{ - 12}}{{m + 1}} \Leftrightarrow \dfrac{{{m^2} - 6m + 5}}{{m + 1}} < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 < m < 5\\m <  - 1\end{array} \right.\).

Kết hợp điều kiện \(m \in {\mathbb{Z}^ + } \Rightarrow m \in \left\{ {2;3;4} \right\}\).

Vậy có 3 giá trị m thỏa mãn yêu cầu.

Ta có: \({4^x} - {3.2^{x + 1}} + 5 \le 0 \Leftrightarrow {\left( {{2^x}} \right)^2} - {6.2^x} + 5 \le 0\).

Đặt \(t = {2^x} > 0\), khi đó bất phương trình trở thành \({t^2} - 6t + 5 \le 0 \Leftrightarrow 1 \le t \le 5\).

\( \Leftrightarrow 1 \le {2^x} \le 5 \Leftrightarrow {\log _2}1 \le x \le {\log _2}5 \Leftrightarrow 0 \le x \le {\log _2}5\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left[ {0;{{\log }_2}5} \right]\).

Ta có: \({2^{{x^2}}} > \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow {x^2} > {\log _2}\dfrac{1}{3}\,\,\,\,\left( * \right)\)

Vì \({\log _2}\dfrac{1}{3} < 0\)  \( \Rightarrow \left( * \right)\) luôn đúng với mọi \(x\)

\( \Rightarrow \) Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: \(S = \mathbb{R}.\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{2^{{x^2} - x - 1}}{.3^{{x^2} - x}} \le 18\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{2^{{x^2} - x}}}}{2}{.3^{{x^2} - x}} \le 18\\ \Leftrightarrow {2^{{x^2} - x}}{.3^{{x^2} - x}} \le 36\\ \Leftrightarrow {6^{{x^2} - x}} \le 36\\ \Leftrightarrow {x^2} - x \le 2\\ \Leftrightarrow  - 1 \le x \le 2\end{array}\)

Như vậy các nghiệm nguyên không âm của bất phương trình là \(x \in \left\{ {0;1;2} \right\}\).

Vậy tổng các nghiệm nguyên không âm của bất phương trình đã cho bằng 3.