Cho hàm số \(f\left( x \right) = {e^{\sqrt {{x^2} + 1} }}\left( {{e^x} - {e^{ - x}}} \right)\). Có bao nhiêu số nguyên dương m thỏa mãn bất phương trình \(f\left( {m - 7} \right) + f\left( {\dfrac{{12}}{{m + 1}}} \right) < 0\)?

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

Ta có: \(f\left( { - x} \right) = {e^{\sqrt {{x^2} + 1} }}\left( {{e^{ - x}} - {e^x}} \right) =  - f\left( x \right)\) nên hàm số đã cho là hàm lẻ.

Ta có: \(f\left( x \right) = {e^{\sqrt {{x^2} + 1} }}\left( {{e^x} - {e^{ - x}}} \right) = {e^{\sqrt {{x^2} + 1}  + x}} \)\(- {e^{\sqrt {{x^2} + 1}  - x}}\).

$\Rightarrow f'\left( x \right) = \left( {\dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} + 1} \right){e^{\sqrt {{x^2} + 1}  + x}} - \left( {\dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} - 1} \right){e^{\sqrt {{x^2} + 1}  - x}}$

\(\begin{array}{l} = \dfrac{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{e^{\sqrt {{x^2} + 1}  + x}} + \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1}  - x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{e^{\sqrt {{x^2} + 1}  - x}}\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\sqrt {{x^2} + 1}  > \sqrt {{x^2}}  = \left| x \right|\\ \Leftrightarrow  - \sqrt {{x^2} + 1}  < x < \sqrt {{x^2} + 1} \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + \sqrt {{x^2} + 1}  > 0\\\sqrt {{x^2} + 1}  - x > 0\end{array} \right.\end{array}\)

Do đó \(f'\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) \( \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Theo bài ra ta có: \(f\left( {m - 7} \right) + f\left( {\dfrac{{12}}{{m + 1}}} \right) < 0 \Leftrightarrow f\left( {m - 7} \right) <  - f\left( {\dfrac{{12}}{{m + 1}}} \right)\)

Mà \(f\left( x \right)\) là hàm lẻ (cmt) \( \Rightarrow  - f\left( {\dfrac{{12}}{{m + 1}}} \right) = f\left( {\dfrac{{ - 12}}{{m + 1}}} \right)\).

\( \Rightarrow f\left( {m - 7} \right) < f\left( {\dfrac{{ - 12}}{{m + 1}}} \right)\)

Mà hàm số f(x) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) \( \Rightarrow m - 7 < \dfrac{{ - 12}}{{m + 1}} \Leftrightarrow \dfrac{{{m^2} - 6m + 5}}{{m + 1}} < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 < m < 5\\m <  - 1\end{array} \right.\).

Kết hợp điều kiện \(m \in {\mathbb{Z}^ + } \Rightarrow m \in \left\{ {2;3;4} \right\}\).

Vậy có 3 giá trị m thỏa mãn yêu cầu.