Cho hàm số $f\left( x \right) = {e^{\sqrt {{x^2} + 1} }}\left( {{e^x} - {e^{ - x}}} \right)$. Có bao nhiêu số nguyên dương m thỏa mãn bất phương trình $f\left( {m - 7} \right) + f\left( {\dfrac{{12}}{{m + 1}}} \right) < 0$?

TXĐ: $D = \mathbb{R}$.

Ta có: $f\left( { - x} \right) = {e^{\sqrt {{x^2} + 1} }}\left( {{e^{ - x}} - {e^x}} \right) =  - f\left( x \right)$ nên hàm số đã cho là hàm lẻ.

Ta có: $f\left( x \right) = {e^{\sqrt {{x^2} + 1} }}\left( {{e^x} - {e^{ - x}}} \right) = {e^{\sqrt {{x^2} + 1}  + x}}$$- {e^{\sqrt {{x^2} + 1}  - x}}$.

$\Rightarrow f'\left( x \right) = \left( {\dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} + 1} \right){e^{\sqrt {{x^2} + 1}  + x}} - \left( {\dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} - 1} \right){e^{\sqrt {{x^2} + 1}  - x}}$

$\begin{array}{l} = \dfrac{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{e^{\sqrt {{x^2} + 1}  + x}} + \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1}  - x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{e^{\sqrt {{x^2} + 1}  - x}}\end{array}$

Ta có:

$\begin{array}{l}\sqrt {{x^2} + 1}  > \sqrt {{x^2}}  = \left| x \right|\\ \Leftrightarrow  - \sqrt {{x^2} + 1}  < x < \sqrt {{x^2} + 1} \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + \sqrt {{x^2} + 1}  > 0\\\sqrt {{x^2} + 1}  - x > 0\end{array} \right.\end{array}$

Do đó $f'\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}$ $\Rightarrow$ Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Theo bài ra ta có: $f\left( {m - 7} \right) + f\left( {\dfrac{{12}}{{m + 1}}} \right) < 0 \Leftrightarrow f\left( {m - 7} \right) <  - f\left( {\dfrac{{12}}{{m + 1}}} \right)$

Mà $f\left( x \right)$ là hàm lẻ (cmt) $\Rightarrow  - f\left( {\dfrac{{12}}{{m + 1}}} \right) = f\left( {\dfrac{{ - 12}}{{m + 1}}} \right)$.

$\Rightarrow f\left( {m - 7} \right) < f\left( {\dfrac{{ - 12}}{{m + 1}}} \right)$

Mà hàm số f(x) đồng biến trên $\mathbb{R}$ $\Rightarrow m - 7 < \dfrac{{ - 12}}{{m + 1}} \Leftrightarrow \dfrac{{{m^2} - 6m + 5}}{{m + 1}} < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 < m < 5\\m <  - 1\end{array} \right.$.

Kết hợp điều kiện $m \in {\mathbb{Z}^ + } \Rightarrow m \in \left\{ {2;3;4} \right\}$.

Vậy có 3 giá trị m thỏa mãn yêu cầu.