Số giá trị nguyên dương của \(m\) để bất phương trình \(\left( {{2^{x + 2}} - \sqrt 2 } \right)\left( {{2^x} - m} \right) < 0\) có tập nghiệm chứa không quá 6 số nguyên?

Bước 1: Sử dụng bất phương trình tích.

Do \(m\) nguyên dương nên \(m \in \{ 1;2;3; \ldots ..\} \). Ta có

\(\left( {{2^{x + 2}} - \sqrt 2 } \right)\left( {{2^x} - m} \right) < 0\)\( \Leftrightarrow \left( {{{4.2}^x} - \sqrt 2 } \right)\left( {{2^x} - m} \right) < 0\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt 2 }}{4} < {2^x} < m\)\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{4}} \right) < x < {\log _2}m\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{ - 3}}{2} < x < {\log _2}m\)

=> Tập nghiệm là \(S = \left( { - \dfrac{3}{2};{{\log }_2}m} \right)\)

Bước 2: Biện luận m với điều kiện tập nghiệm chứa không quá 6 số nguyên

Để bất phương trình đã cho có tập nghiệm chứa không quá 6 số nguyên thì

Các nghiệm nguyên phải là -1;0;1;2;3;4

Khi đó \({\log _2}m \le 5 \Leftrightarrow m \le 32\).

Do \(m\) nguyên dương nên có 32 giá trị của \(m\) thỏa mãn bài toán.