Tập nghiệm của bất phương trình \({4^{{{\log }_2}2x}} - {x^{{{\log }_2}6}} \le {2.3^{{{\log }_2}4{x^2}}}\) có dạng $\left[ {a; + \infty } \right)$, khi đó phương trình \({x^2} - x + a = 0\) có mấy nghiệm ?

ĐK : \(x > 0\)

$\begin{align} {{4}^{{{\log }_{2}}2x}}-{{x}^{{{\log }_{2}}6}}\le {{2.3}^{{{\log }_{2}}4{{x}^{2}}}} \\ \Leftrightarrow {{4}^{1+{{\log }_{2}}x}}-{{6}^{{{\log }_{2}}x}}\le {{2.3}^{2+{{\log }_{2}}{{x}^{2}}}} \\  \Leftrightarrow 4.{{\left( {{2}^{\log {_{2}}x}} \right)}^{2}}-{{2}^{{{\log }_{2}}x}}{{.3}^{{{\log }_{2}}x}}\le 2.\left( {{9.3}^{2{{\log }_{2}}x}} \right) \\  \Leftrightarrow 4.{{\left( {{2}^{\log {_{2}}x}} \right)}^{2}}-{{2}^{{{\log }_{2}}x}}{{.3}^{{{\log }_{2}}x}}-18.{{\left( {{3}^{{{\log }_{2}}x}} \right)}^{2}}\le 0 \\ \end{align}$.

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {2^{{{\log }_2}x}}\\v = {3^{{{\log }_2}x}}\end{array} \right.\,\,\,\left( {u,v > 0} \right),\) khi đó bất phương trình trở thành

\(\begin{array}{l}4{u^2} - uv - 18{v^2} \le 0\\ \Leftrightarrow 4{u^2} + 8uv - 9uv - 18{v^2} \le 0\\ \Leftrightarrow 4u\left( {u + 2v} \right) - 9v\left( {u + 2v} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow \left( {4u - 9v} \right)\left( {u + 2v} \right) \le 0\end{array}\)

Ta có \(u + 2v > 0\,\,\forall x \Rightarrow bpt \Leftrightarrow 4u - 9v \le 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {4.2^{{{\log }_2}x}} - {9.3^{{{\log }_2}x}} \le 0\\ \Leftrightarrow {4.2^{{{\log }_2}x}} \le {9.3^{{{\log }_2}x}}\\ \Leftrightarrow {2^{2 + {{\log }_2}x}} \le {3^{2 + {{\log }_2}x}}\\ \Leftrightarrow 2 + {\log _2}x \le \left( {2 + {{\log }_2}x} \right){\log _2}3\\ \Leftrightarrow \left( {2 + {{\log }_2}x} \right)\left( {{{\log }_2}3 - 1} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow 2 + {\log _2}x \ge 0 \Leftrightarrow {\log _2}x \ge  - 2 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{1}{4}\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Tập nghiệm của bất phương trình là : $\left[ {\dfrac{1}{4}; + \infty } \right) \Rightarrow a = \dfrac{1}{4} \Rightarrow $ phương trình \({x^2} - x + \dfrac{1}{4} = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} = 0\) có nghiệm duy nhất \(x = \dfrac{1}{2}\)