Điều kiện của \(x\) để biểu thức \({\left( {\sqrt x - 1} \right)^{\dfrac{1}{2}}}\) có nghĩa là:
Để biểu thức \({\left( {\sqrt x - 1} \right)^{\dfrac{1}{2}}}\) có nghĩa thì \(\sqrt x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1\)
Tìm $x$ để biểu thức \({\left( {{x^2} - 1} \right)^{\sqrt {\dfrac{1}{3}} }}\) có nghĩa:
Biểu thức \({\left( {{x^2} - 1} \right)^{\sqrt {\dfrac{1}{3}} }}\) có nghĩa \( \Leftrightarrow {x^2} - 1 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 1\\x < - 1\end{array} \right.\)
Tìm $x$ để biểu thức \({\left( {{x^2} + x + 1} \right)^{ - \dfrac{{2\pi }}{3}}}\) có nghĩa:
Biểu thức \({\left( {{x^2} + x + 1} \right)^{ - \dfrac{{2\pi }}{3}}}\) có nghĩa \( \Leftrightarrow {x^2} + x + 1 > 0 \Leftrightarrow \forall x \in \mathbb{R}\)
Biểu thức ${\left( {a + 2} \right)^\pi }$ có nghĩa với:
${\left( {a + 2} \right)^\pi }$có nghĩa khi \(a + 2 > 0 \Leftrightarrow a > - 2\).
Biểu thức nào dưới đây không có nghĩa?
Đáp án A: Số mũ \( - 3 \in {\mathbb{Z}^ - }\) và \(1 - \sqrt 2 \ne 0\) nên biểu thức có nghĩa.
Đáp án B: Biểu thức \({\left( {2 - \sqrt 2 } \right)^0}\) xác định vì \(2 - \sqrt 2 \ne 0\).
Đáp án C: Vì \(3 - 2\sqrt 2 \notin \mathbb{Z}\) và \(3 - 2\sqrt 2 > 0\) nên biểu thức \({\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)^{3 - 2\sqrt 2 }}\) có nghĩa.
Đáp án D: Vì \(\pi \notin \mathbb{Z}\) và \( - \dfrac{3}{2} < 0\) nên biểu thức \({\left( { - \dfrac{3}{2}} \right)^\pi }\) không có nghĩa.
Tìm biểu thức không có nghĩa trong các biểu thức sau:
Vì \( - \dfrac{1}{3} \notin \mathbb{Z}\) nên ${\left( { - 3} \right)^{ - \dfrac{1}{3}}}$ không có nghĩa.
Cho $n \in N;n \ge 2$. Khẳng định nào sau đây đúng?
Đáp án B đúng. Đáp án A, C, D sai vì điều kiện của \(a\)
Mệnh đề nào đúng với mọi số thực \(x,y\)?
Ta có: \({3^{x + y}} = {3^x}{.3^y}\) nên A sai.
\({2^{\dfrac{x}{y}}} \ne {2^x} - {2^y}\) nên B sai.
\({\pi ^{xy}} = {\left( {{\pi ^x}} \right)^y}\) nên C đúng.
\({\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right)^x} = \dfrac{{{\pi ^x}}}{{{2^x}}} \ne \dfrac{{{\pi ^x}}}{{{2^y}}}\) nên D sai.
Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
Đáp án A sai vì \(a,b\) chưa chắc đã lớn hơn \(0\).
Các đáp án B, C, D đều đúng.
Mệnh đề nào đúng với mọi số thực dương \(x,y\)?
Đáp án A sai.
Đáp án B: \({3^{\sqrt {xy} }} = {3^{\sqrt x .\sqrt y }} = {\left( {{3^{\sqrt x }}} \right)^{\sqrt y }}\) nên B sai.
Đáp án C: \({\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{x - y}} = {\left( {{2^{ - 1}}} \right)^{x - y}} = {2^{y - x}}\) nên C đúng.
Đáp án D: \({\left( {x - y} \right)^3} = - {\left( {y - x} \right)^3}\) nên D sai.
Cho $a > 0,b < 0$, khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
Do $a > 0,b < 0$ nên $\sqrt[4]{{{a^4}{b^4}}} = \sqrt[4]{{{{(ab)}^4}}} = \left| {ab} \right| = - ab$ nên A sai.
Ngoài ra $\sqrt[3]{{{a^3}{b^3}}} = \sqrt[3]{{{{\left( {ab} \right)}^3}}} = ab$ nên B đúng.
$\sqrt {{a^2}{b^2}} = \left| {ab} \right|$ và $\sqrt {{a^2}{b^4}} = a{b^2}$ nên C và D đúng.
Rút gọn biểu thức \(P = \dfrac{{{a^{\sqrt 3 + 1}}.{a^{2 - \sqrt 3 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 - 2}}} \right)}^{\sqrt 2 + 2}}}}\) với \(a > 0\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{a^{\sqrt 3 + 1}}.{a^{2 - \sqrt 3 }} = {a^{\sqrt 3 + 1 + \left( {2 - \sqrt 3 } \right)}} = {a^3}\\{\left( {{a^{\sqrt 2 - 2}}} \right)^{\sqrt 2 + 2}} = {a^{\left( {\sqrt 2 - 2} \right)\left( {\sqrt 2 + 2} \right)}} = {a^{2 - 4}} = {a^{ - 2}}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow P = \dfrac{{{a^3}}}{{{a^{ - 2}}}} = {a^{3 - \left( { - 2} \right)}} = {a^5}.\)
Giá trị của biểu thức \(E = {3^{\sqrt 2 - 1}}{.9^{\sqrt 2 }}{.27^{1 - \sqrt 2 }}\) bằng:
Ta có:
\(E = {3^{\sqrt 2 - 1}}{.9^{\sqrt 2 }}{.27^{1 - \sqrt 2 }}\)\( = {3^{\sqrt 2 - 1}}{.3^{2\sqrt 2 }}{.3^{3\left( {1 - \sqrt 2 } \right)}} = {3^{\sqrt 2 - 1 + 2\sqrt 2 + 3 - 3\sqrt 2 }} = {3^2} = 9\)
Cho biểu thức \(P = \dfrac{{{a^{\sqrt 7 + 1}}.{a^{2 - \sqrt 7 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 - 2}}} \right)}^{\sqrt 2 + 2}}}}\) với \(a > 0\). Rút gọn biểu thức \(P\) được kết quả.
\(P = \dfrac{{{a^{\sqrt 7 + 1}}.{a^{2 - \sqrt 7 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 - 2}}} \right)}^{\sqrt 2 + 2}}}} = \dfrac{{{a^3}}}{{{a^{ - 2}}}} = {a^5}\).
Cho biểu thức $P = \dfrac{{b\sqrt[3]{{{a^4}}} + a\sqrt[3]{{{b^4}}}}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}}$, với $a > 0$, $b > 0$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có: $P = \dfrac{{b\sqrt[3]{{{a^4}}} + a\sqrt[3]{{{b^4}}}}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}} = \dfrac{{ab\sqrt[3]{a} + ab\sqrt[3]{b}}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}} = \dfrac{{ab\left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right)}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}} = ab$.
Cho \({\pi ^\alpha } > {\pi ^\beta }\). Kết luận nào sau đây đúng?
Vì $\pi \approx 3,14 > 0$ nên ${\pi ^\alpha } > {\pi ^\beta } \Leftrightarrow \alpha > \beta .$
So sánh hai số \(m\) và \(n\) nếu \({\left( {\dfrac{1}{9}} \right)^m} > {\left( {\dfrac{1}{9}} \right)^n}\)
Do \(0 < \dfrac{1}{9} < 1\) nên \({\left( {\dfrac{1}{9}} \right)^m} > {\left( {\dfrac{1}{9}} \right)^n} \Leftrightarrow m < n\).
So sánh hai số \(m\) và \(n\) nếu \({\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^m} > {\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^n}\)
Do \(0 < \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} < 1\) nên \({\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^m} > {\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^n} \Leftrightarrow m < n\).
So sánh hai số \(m\) và \(n\) nếu \({\left( {\sqrt 5 - 1} \right)^m} < {\left( {\sqrt 5 - 1} \right)^n}\)
Do \(\sqrt 5 - 1 > 1\) nên \({\left( {\sqrt 5 - 1} \right)^m} < {\left( {\sqrt 5 - 1} \right)^n} \Leftrightarrow m < n\).
So sánh hai số \(m\) và \(n\) nếu \({\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^m} < {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^n}\)
Do \(0 < \sqrt 2 - 1 < 1\) nên \({\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^m} < {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^n} \Leftrightarrow m > n\).
