Ứng dụng tích phân trong hình học (thể tích vật thể)

\(\begin{array}{l}V = \dfrac{1}{2}.\left( {\int\limits_0^1 {\dfrac{{\sqrt 3 .4{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{4} + \int\limits_{ - 1}^0 {\dfrac{{\sqrt 3 .4{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{4}} } } \right)\\ = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.\left( {\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3}} \right) = \dfrac{\sqrt 3 }{3} \end{array}\)

Vậy \(0 < a < 2\)

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{x}{{4 - {x^2}}} \ge 0\\4 - {x^2} \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x <  - 2\\0 \le x < 2\end{array} \right.\)

Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \sqrt {\dfrac{x}{{4 - {x^2}}}} \) và trục hoành là \(\sqrt {\dfrac{x}{{4 - {x^2}}}}  = 0 \Leftrightarrow x = 0\,\,\left( {tm} \right)\)

Thể tích khối tròn xoay khi quay hình \(\left( H \right)\) quanh trục Ox là \(V = \pi \int\limits_0^1 {\dfrac{x}{{4 - {x^2}}}dx}  = \dfrac{\pi }{2}\ln \dfrac{4}{3}.\)

Ta có \({{x}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=4\Leftrightarrow {{\left( y-3 \right)}^{2}}=4-{{x}^{2}}\Leftrightarrow \left[\begin{align}  & y=f\left( x \right)=\sqrt{4-{{x}^{2}}}+3 \\ & y=g\left( x \right)=-\,\sqrt{4-{{x}^{2}}}+3 \\\end{align} \right.\)

Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính là \(V=\pi \int\limits_{-\,2}^{2}{{{f}^{2}}\left( x \right)\,\text{d}x}-\pi \int\limits_{-\,2}^{2}{{{g}^{2}}\left( x \right)\,\text{d}x}\)

\(\begin{align}  & =\pi \int\limits_{-\,2}^{2}{\left( {{f}^{2}}\left( x \right)-{{g}^{2}}\left( x \right) \right)\,\text{d}x} \\ & =\pi \int\limits_{-\,2}^{2}{\left( {{\left( \sqrt{4-{{x}^{2}}}+3 \right)}^{2}}-{{\left( 3-\sqrt{4-{{x}^{2}}} \right)}^{2}} \right)\,\text{d}x} \\ & =\pi \,\int\limits_{-\,2}^{2}{12\sqrt{4-{{x}^{2}}}\,\text{d}x}=24{{\pi }^{2}}. \\\end{align}\)

Vậy thể tích cần tính là \(V=24{{\pi }^{2}}.\)

Cung tròn khi quay quanh \(Ox\) tạo thành một khối cầu có thể tích \(V=\frac{4}{3}\pi {{\left( \sqrt{6} \right)}^{3}}=8\pi \sqrt{6}\).

Thể tích nửa khối cầu là \({{V}_{1}}=4\pi \sqrt{6}\). Xét phương trình:

\(\sqrt x = \sqrt {6 - {x^2}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 0\\
{x^2} + x - 6 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 0\\
\left[ \begin{array}{l}
x = 2\\
x = - 3
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2.\)

Thể tích khối tròn xoay có được khi quay hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y=\sqrt{x}\), cung tròn có phương trình \(y=\sqrt{6-{{x}^{2}}}\), và hai đường thẳng \(x=0,\,\,x=2\) quanh \(Ox\) là:

\({{V}_{2}}=\pi \int\limits_{0}^{2}{\left( 6-{{x}^{2}}-x \right)\text{d}x}=\left. \pi \left( 6x-\frac{{{x}^{3}}}{3}-\frac{{{x}^{2}}}{2} \right) \right|_{0}^{2}=\frac{22\pi }{3}.\)

Vậy thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là \(V={{V}_{1}}+{{V}_{2}}=4\pi \sqrt{6}+\frac{22\pi }{3}\).

\({V_1}\) là hiệu thể tích khối trụ có bán kính đáy bằng $4$, chiều cao bằng $8$ với hai lần thể tích của vật thể tròn xoay tạo thành khi vật thể bị giới hạn bởi các đường \(x = 2\sqrt y ;\,\,x = 0;\,\,y = 0;\,\,x = 4\) quay quanh trục $Oy$.

\( \Rightarrow {V_1} = \pi {.4^2}.8 - 2\pi \int\limits_0^4 {4ydy}  = 64\pi \)

\({V_2}\) là hiệu thể tích khối cầu có bán kính bằng $4$ với $2$ lần thể tích khối cầu có bán kính bằng $2$.

\( \Rightarrow {V_2} = \dfrac{4}{3}\pi \left( {{4^3} - {{2.2}^3}} \right) = 64\pi \)

Vậy \({V_1} = {V_2}\).

Gắn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ:

Ta có:

Đường tròn tâm \(O(0;0)\) bán kính $R = 2\sqrt 5 $ có phương trình: \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}=20\Rightarrow y=\sqrt{20-{{x}^{2}}}\)

Parabol $y = a{x^2} + bx + c$ có đỉnh \(O(0;0)\) và đi qua điểm \((2;4)\) nên:

$\left\{ \begin{array}{l}
- \dfrac{b}{{2a}} = 0\\
a{.0^2} + b.0 + c = 0\\
a{.2^2} + b.2 + c = 4
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b = 0\\
c = 0\\
a = 1
\end{array} \right.$

Vậy phương trình parabol: \(y={{x}^{2}}\)

Thể tích khối cầu \(V=\dfrac{4}{3}\pi {{\left( 2\sqrt{5} \right)}^{3}}=\dfrac{160\sqrt{5}}{3}\pi \)

Thể tích khi quay phần tô đậm quanh trục $Ox$ là: \(V'=\pi \int\limits_{-2}^{2}{\left( 20-{{x}^{2}}-{{x}^{4}} \right)dx}=\dfrac{928}{15}\pi \)

\(\Rightarrow \) Thể tích cần tính \({{V}_{1}}=V-V'=\dfrac{160\sqrt{5}}{3}\pi -\dfrac{928}{15}\pi =\dfrac{\pi }{15}\left( 800\sqrt{5}-928 \right)\)

\(V = \pi \int\limits_1^4 {\frac{{dx}}{{{x^2}}}}  = \pi \left( {\left. { - \frac{1}{x}} \right|_1^4} \right) = \pi \left( { - \frac{1}{4} + 1} \right) = \frac{{3\pi }}{4}\)

Phương trình hoành độ giao điểm : \({{x}^{2}}=2x\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  x=0 \\  x=2 \\ \end{align} \right.\)

Thể tích cần tìm : \(V=~\pi \int_{0}^{2}{\left| {{\left( {{x}^{2}} \right)}^{2}}-{{\left( 2x \right)}^{2}} \right|dx}=\pi \int_{0}^{2}{\left| {{x}^{4}}-4{{x}^{2}} \right|dx}=\left| \pi \int_{0}^{2}{\left( {{x}^{4}}-4{{x}^{2}} \right)dx} \right|=\left| \pi \left. \left( \frac{1}{5}{{x}^{5}}-\frac{4}{3}{{x}^{3}} \right) \right|_{0}^{2} \right|=\left| \pi \left( \frac{32}{5}-\frac{32}{3} \right) \right|=\frac{64\pi }{15}\)

Diện tích tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng \(\sqrt {1 - {x^4}} \) là \(S\left( x \right) = \dfrac{1}{2}{\left( {\dfrac{{\sqrt {1 - {x^4}} }}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} = \dfrac{{1 - {x^4}}}{4}\).

Thể tích cần tìm là: \(V = \;\int_{ - 1}^1 {S\left( x \right)dx}  = \dfrac{1}{4}\int_{ - 1}^1 {\left( {1 - {x^4}} \right)dx}  = \left. {\dfrac{1}{4}\left( {x - \dfrac{1}{5}{x^5}} \right)} \right|_{ - 1}^1 = \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{4}{5} + \dfrac{4}{5}} \right) = \dfrac{2}{5}\).

Vì \(\left( P \right)\) đi qua ba điểm \(O\left( 0;0 \right),\,\,A\left( 2;4 \right)\)

\(\Rightarrow \,\,\) Phương trình parabol là \(\left( P \right):y={{x}^{2}}.\) Tiếp tuyến của \(\left( P \right)\) tại điểm \(A\left( 2;4 \right)\) có phương trình là \(\left( d \right):y=4x-4.\)

Hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) là nghiệm phương trình: \({{x}^{2}}=4x-4\Leftrightarrow x=2.\)

Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng \(\left( {{H}_{1}} \right)\) giới hạn bởi \(\left( P \right),\,\,y=0,\,\,x=0,\,\,x=2\) là \({{V}_{1}}=\pi \int\limits_{0}^{2}{{{f}^{2}}\left( x \right)\,\text{d}x}=\pi \int\limits_{0}^{2}{{{x}^{4}}\,\text{d}x}=\left. \frac{\pi {{x}^{5}}}{5} \right|_{0}^{2}=\frac{32\pi }{5}.\)

Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng \(\left( {{H}_{2}} \right)\) giới hạn bởi \(\left( d \right),\,\,y=0,\,\,x=1,\,\,x=2\) là \({{V}_{2}}=\pi \int\limits_{1}^{2}{{{g}^{2}}\left( x \right)\,\text{d}x}=\pi \int\limits_{1}^{2}{{{\left( 4x-4 \right)}^{2}}\,\text{d}x=}\pi \int\limits_{1}^{2}{16{{\left( x-1 \right)}^{2}}\,\text{d}x=}\left. \frac{16\pi {{\left( x-1 \right)}^{3}}}{3} \right|_{1}^{2}=\frac{16\pi }{3}.\)

Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính là \(V={{V}_{1}}-{{V}_{2}}=\frac{32\pi }{5}-\frac{16\pi }{3}=\frac{16\pi }{15}.\)

Thể tích của vật tròn xoay là

\(V=\pi \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{{{\tan }^{2}}x\text{d}x}\)\(=\pi \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{\left( \frac{1}{{{\cos }^{2}}x}-1 \right)\text{d}x}\)\(=\pi \left. \left( \tan x-x \right) \right|_{0}^{\frac{\pi }{3}}\)\(=\pi \left( \tan \frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{3} \right)\)\(=\pi \sqrt{3}-\frac{{{\pi }^{2}}}{3}\).

Diện tích nửa hình tròn đường kính \(\sqrt{5}{{x}^{2}}\) là \(S\left( x \right)=\frac{1}{2}.\pi {{\left( \frac{\sqrt{5}{{x}^{2}}}{2} \right)}^{2}}=\frac{5\pi {{x}^{4}}}{8}\).

Vậy \(V=\int\limits_{0}^{2}{S\left( x \right)dx}=\int\limits_{0}^{2}{\frac{5\pi {{x}^{4}}}{8}dx}=\frac{5\pi }{8}\left. \frac{{{x}^{5}}}{5} \right|_{0}^{2}=4\pi \).

Diện tích thiết diện là \(S=x.{{e}^{x}}\)

Như vậy theo trên ta có thể tích \(V=\int\limits_{0}^{\ln 4}{x{{e}^{x}}dx}\)

Ở mặt đáy, tam giác $OHB$ vuông tại $H$ \(\Rightarrow HB=\sqrt{O{{B}^{2}}-O{{H}^{2}}}=\sqrt{1-{{x}^{2}}}\)

\(\Rightarrow AB=2\sqrt{1-{{x}^{2}}}\)

Diện tích của mặt cắt khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ \(\left( -1\le x\le 1 \right)\)là:

\(S(x)=\frac{A{{B}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{{{\left( 2\sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)}^{2}}.\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}(1-{{x}^{2}})\)

Thể tích cần tìm : \(V=\int\limits_{-1}^{1}{S(x)dx}=\int\limits_{-1}^{1}{\sqrt{3}(1-{{x}^{2}})dx}=\sqrt{3}\left. \left( x-\frac{1}{3}{{x}^{3}} \right) \right|_{-1}^{1}=\sqrt{3}.\frac{4}{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}\)

Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi các mặt phẳng \(x = a,x = b\) biết diện tích thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc trục $Ox$ là \(S = S\left( x \right)\).

Công thức tính: \(V = \int\limits_a^b {S\left( x \right)dx} \).

Thể tích $V$ của vật thế đó được tính theo công thức: \(V = \int\limits_a^b {S(x)dx} \).

ĐKXĐ: \(x \ge 0.\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm

\(\begin{array}{l}\sqrt x  = {x^2} \Leftrightarrow \sqrt x \left( {x\sqrt x  - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\\sqrt x  - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\end{array}\)

Thể tích V của một vật tròn xoay tạo thành khi quay quanh hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường \(y={{x}^{2}};\,\,y=\sqrt{x}\) quanh trục Ox là:

\(V=~\pi \int_{0}^{1}{\left| {{\left( {{x}^{2}} \right)}^{2}}-{{\left( \sqrt{x} \right)}^{2}} \right|dx=}\pi \int_{0}^{1}{\left| {{x}^{4}}-x \right|dx=}-\pi \int_{0}^{1}{({{x}^{4}}-x)dx=}=-\pi \left. \left( \dfrac{{{x}^{5}}}{5}-\dfrac{{{x}^{2}}}{2} \right)\,\, \right|_{o}^{1}=\dfrac{3\pi }{10}\)

Phương trình hoành độ giao điểm của \(4y={{x}^{2}}\) và \(y=x\) là: \(\frac{{{x}^{2}}}{4}=x\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  x=0 \\  x=4 \\ \end{align} \right.\)

\(V=\pi \int\limits_{0}^{4}{\left| \left( \frac{{{x}^{2}}}{4} \right)^2-{{x}^{2}} \right|dx}=\frac{\pi }{16}\int\limits_{0}^{4}{\left| {{x}^{4}}-16{{x}^{2}} \right|dx=}-\frac{\pi }{16}\int\limits_{0}^{4}{\left( {{x}^{4}}-16{{x}^{2}} \right)dx=-}\frac{\pi }{16}\left. \left( \frac{{{x}^{5}}}{5}-\frac{16}{3}{{x}^{3}} \right) \right|_{0}^{4}=-\frac{\pi }{16}\left( \frac{{{4}^{5}}}{5}-\frac{16}{3}{{.4}^{3}} \right)=\frac{128}{15}\pi \)

Xét phương trình hoành độ giao điểm \({x^3} = 0 \Leftrightarrow x = 0\).

Vậy \(V = \pi \int\limits_{ - 1}^0 {\left| {{x^6}} \right|dx}  = \pi \left. {\frac{{{x^7}}}{7}} \right|_{ - 1}^0 = \pi \left( {0 + \frac{1}{7}} \right) = \frac{\pi }{7}\)

Hoành độ giao điểm của \(\left( C \right)\) và \(d\) là nghiệm phương trình: \(\sqrt x  = x - 2 \Leftrightarrow x = 4.\)

Khi đó, thể tích khối tròn xoay cần tính là \(V = \pi \int\limits_0^4 {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2}\,{\rm{d}}x}  - \pi \int\limits_2^4 {{{\left( {x - 2} \right)}^2}\,{\rm{d}}x}  = \frac{{16\pi }}{3}.\)