Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm đa thức (hàm bậc bốn trùng phương)

Từ bảng biến thiên ta thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y =  + \infty \) nên \(a > 0\).

Hàm bậc bốn trùng phương có \(a > 0\) và \(3\) điểm cực trị thì có \(1\) điểm cực đại và \(2\) điểm cực tiểu.

Nếu hàm số bậc bốn trùng phương có \(y' = 0\) có \(3\) nghiệm phân biệt thì nó có \(3\) điểm cực trị.

Hàm số bậc bốn trùng phương luôn có ít nhất \(1\) điểm cực trị.

Dễ thấy hàm số bậc bốn trùng phương có cực đại, cực tiểu thì \({y_{CT}} < {y_{CD}}\) nên nếu \({y_{CT}} > 0\) thì \({y_{CD}} > 0\).

Ta có: \(y' = 4a{x^3} + 2bx = 2x\left( {2a{x^2} + b} \right)\).

Hàm số có 1 cực trị \( \Leftrightarrow y' = 0\) có \(3\) nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow 2a{x^2} + b = 0\) có \(2\) nghiệm phân biệt khác \(0\)\( \Leftrightarrow ab < 0\).

Đồ thị hàm bậc 4 trùng phương luôn cắt trục tung tại điểm \(\left( {0;c} \right)\) chính là cực trị của đồ thị hàm số.

Ngoài ra, đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương cũng có thể không cắt \(Ox\) nên A sai.

Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng nên C sai.

Đồ thị không có tâm đối xứng nên D sai.

Đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương có ba cực trị và hệ số \(a > 0\) có dạng:

Quan sát đồ thị ta thấy nếu \({y_{CD}} < 0\) thì đồ thị hàm số cắt trục hoành tại đúng \(2\) điểm phân biệt.

Hàm số chỉ có 1 cực trị thì \(y' = 0\) có 1 nghiệm \( \Leftrightarrow ab \ge 0\), khi đó đồ thị có dạng:

Trong hai trường hợp trên ta thấy nếu đồ thị hàm số nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành thì chỉ xảy ra trường hợp \(a < 0\), do đó \(b \le 0\) và điểm cực tiểu \(\left( {0;c} \right)\) cũng phải nằm phía dưới trục hoành hay \(c < 0\).

Hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\) có \(a < 0,b = 0,c > 0\) nên có \(1\) cực trị và chính là điểm cực đại.

Đồ thị có dạng như sau:

Quan sát đồ thị ta thấy:

- Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại \(2\) điểm phân biệt nên A đúng, B sai.

- Đồ thị hàm số chỉ có \(1\) điểm cực đại và nó nằm ở phía trên của trục hoành nên C đúng.

- Đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {0;c} \right)\) và \(c > 0\) nên nó không đi qua gốc tọa độ.

+ TH1: \(a > 0,b < 0\), đồ thị có dạng:

Khi đó, đồ thị hàm số có \(2\) điểm chung với \(Ox\) nếu điểm cực đại \(\left( {0;c} \right)\) nằm hoàn toàn phía dưới \(Ox\) hay \(c < 0\).

Do đó \(c < 0\) .

+TH2: \(a > 0,b \ge 0\), đồ thị có dạng:

Khi đó, đồ thị hàm số có \(2\) điểm chung với \(Ox\) nếu điểm cực tiểu \(\left( {0;c} \right)\) nằm hoàn toàn phía dưới \(Ox\) hay \(c < 0\).

Vậy trong cả hai trường hợp trên ta đều thấy, nếu \(c < 0\) thì đồ thị hàm số sẽ có hai giao điểm với \(Ox\).

Hàm số bậc bốn luôn có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y\).

Hàm số bậc bốn trùng phương xác định trên \(R\).

Hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\) hay hàm số tăng trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) và giảm trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\)

Hàm số \(y = \left( {2\sqrt 2  - 3} \right){x^4} + \sqrt 2 {x^2} - 1\) có \(a = 2\sqrt 2  - 3 < 0\) nên\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\left( {2\sqrt 2  - 3} \right){x^4} + \sqrt 2 {x^2} - 1} \right) =  - \infty \)

Hàm số bậc bốn trùng phương xác định trên \(\mathbb{R}\) nên A đúng.

Vì $a > 0$ nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  + \infty $.

Hàm số \(y = \sqrt 2 {x^4} - {x^2}\) có \(a = \sqrt 2  > 0\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt 2 {x^4} - {x^2}} \right) =  + \infty \)

Hàm số đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$ và nghịch biến trên $\left( { - \infty ;0} \right)$.

Từ bảng biến thiên ta thấy $\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y =  - \infty $ nên $a < 0$.