Trong không gian Oxyz, cho điểm A(3;2;0) và đường thẳng Δ:x−11=y1=z+12. Đường thẳng đi qua A, vuông góc và cắt Δ có phương trình là:
Gọi đường thẳng cần tìm là d. Gọi B=d∩Δ.
Vì B∈Δ⇒B(1+t;t;−1+2t).
Ta có: →AB=(t−2;t−2;2t−1).
Đường thẳng Δ có 1 VTCP là →uΔ=(1;1;2).
Vì d⊥Δ nên →AB⊥→uΔ.
⇒→AB.→uΔ=0⇔1.(t−2)+1.(t−2)+2.(2t−1)=0⇔6t−6=0⇔t=1
⇒B(2;1;1) và →AB=(−1;−1;1).
Vậy đường thẳng d đi qua A(3;2;0) và có 1 VTCP →u=−→AB=(1;1;−1) có phương trình là: x−31=y−21=z−1.
Trong không gian Oxyz, vị trí tương đối giữa hai đường thẳng (d1):{x=1+2ty=−4−3tz=3+2t và (d2):x−53=y+12=z−2−3 là:
Ta có: (d1):{x=1+2ty=−4−3tz=3+2t có VTCP là: →u1=(2;−3;2) và đi qua M1(1;−4;3)
(d2):x−53=y+12=z−2−3 có VTCP là: →u2=(3;2;−3) và đi qua M2(5;−1;2)
⇒[→u1,→u2]=(5;12;13)≠→0 ⇒ d1 và d2 cắt nhau hoặc chéo nhau.
Ta có: →M1M2=(4;3;−1)
⇒[→u1,→u2].→M1M2=4.5+3.12−13=43≠0
⇒d1 và d2 chéo nhau.
Trong không gian với hệ trục tọa độ (Oxyz). Cho đường thẳng (d):x−42=y−1−1=z1. Đường thẳng (d1) đi qua điểm A(0;1;2),(d1) cắt và vuông góc với (d).(d1) có phương trình là
Gọi mặt phẳng (P)là mặt phẳng đi qua A(0;1;2) và vuông góc với đường thẳng (d):x−42=y−1−1=z1
Khi đó mặt phẳng (P) có 1 vectơ pháp tuyến là →n=→ud=(2;−1;1).
⇒ Phương trình mặt phẳng (P) là: 2(x−0)−1(y−1)+1(z−2)=0 ⇔2x−y+z−1=0.
Gọi M=d∩(P).
M∈d⇒M(4+2t;1−t;t)M∈(P):2x−y+z−1=0⇒2(4+2t)−(1−t)+t−1=0⇔6t+6=0⇔t=−1⇒M(2;2;−1)
Khi đó đường thẳng (d1) đi qua A(0;1;2),M(2;2;−1) nhận →AM=(2;1;−3) là 1 VTCP.
Vậy phương trình đường thẳng d1 là: x2=y−11=z−2−3.
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(2;−2;3),B(1;3;4) và C(3;−1;5). Đường thẳng đi qua A và song song với BC có phương trình là:
Ta có →BC(2;−4;1) nên phương trình đường thẳng đi qua A và song song với BC là: x−22=y+2−4=z−31.
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng Δ1:x−1−2=y+21=z−32 và Δ2:x+31=y−11=z+2−4. Góc giữa hai đường thẳng Δ1,Δ2 bằng:
Ta có: Δ1 có VTCP là: →u1=(−2;1;2),Δ có VTCP là: →u2=(1;1;−4).
Gọi α là góc giữa hai đường thẳng (Δ1;Δ2) ta có:
cosα=|→u1.→u2||→u1|.|→u2|=|−2.1+1.1+2.(−4)|√(−2)2+1+22.√1+1+(−4)2=93.3√2=√22.⇒α=450.
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1:{x=−1+ty=3+2tz=−1−t vàd2:{x=7+3sy=1−sz=5−s . Khoảng cách giữa hai đường thẳng đã cho bằng
Ta có đường thẳng d1 đi qua M1(−1;3;−1) và nhận →u1=(1;2;−1) làm VTCP
Đường thẳng d2 đi qua M2(7;1;5) và nhận →u2=(3;−1;−1) làm VTCP
Xét [→u1;→u2]=(−3;−2;−7);→M1M2=(8;−2;6) ⇒→M1M2.[→u1;→u2]=(−3).8+(−2).(−2)+(−7).6=−62≠0
Nên d1;d2 chéo nhau.
Suy ra khoảng cách d(d1;d2)=|[→u1;→u2].→M1M2||[→u1;→u2]|=|−62|√(−3)2+(−2)2+(−7)2=√62
Cho d,d′ là các đường thẳng có VTCP lần lượt là →u,→u′. Nếu [→u,→u′]=→0 thì:
Ta có:
Nếu [→u,→u′]=→0 thì →u cùng phương →u′ nên d//d′ hoặc d≡d′.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
d1:{x=−1+2ty=−tz=1+t và d2:x−1−2=y+11=z−2−1.
Vị trí tương đối của d1 và d2 là:
Đường thẳng d1 đi qua M1(−1;0;1) và có VTCP →u1=(2;−1;1).
Đường thẳng d2 đi qua M2(1;−1;2) và có VTCP →u2=(−2;1;−1).
Ta có 2−2=−11=1−1 nên →u1//→u2. (1)
−1−1−2=0+11=1−2−1 nên M∈d2. (2)
Từ (1) và (2), suy ra d1 và d2 trùng nhau.
Khi xét hệ phương trình giao hai đường thẳng, nếu hệ có nghiệm duy nhất thì:
Nếu hệ phương trình giao điểm hai đường thẳng có nghiệm duy nhất thì hai đường thẳng cắt nhau.
Khi xét hệ phương trình giao điểm hai đường thẳng, nếu hệ vô nghiệm và hai véc tơ →u,→u′ cùng phương thì hai đường thẳng:
Nếu hệ phương trình giao điểm hai đường thẳng vô nghiệm thì d và d′ không có điểm chung thì hoặc song song hặc chéo nhau.
Hơn nữa →u,→u′ cùng phương thì hai đường thẳng song song.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
d1:x1=y2=z−2−3 và d2:{x=2ty=−3−tz=0. Mệnh đề nào sau đây đúng:
Đường thẳng d1 qua M1(0;0;2) và có VTCP →u1=(1;2;−3),
d2 qua M2(0;−3;0) và có VTCP →u2=(2;−1;0).
+) →u1.→u2=2−2=0⇒d1⊥d2(1)
+) [→u1.→u2]=(−3;−6;−5),→M1M2=(0;−3;−2)⇒→M1M2.[→u1.→u2]=18+10≠0
Vậy d1 vuông góc d2 và không cắt nhau.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:x+22=y−1=z+12. Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào song song với d?
Đường thẳng d3 qua M(−2;−3;1) và có VTCP →u3=(−4;2;−4).
Đường thẳng d có VTCP →ud=(2;−1;2). Ta có →u3=−2(2;−1;2)=−2→ud.
Thay tọa độ điểm M(−2;−3;1) vào d:−2+22=−3−1=1+12 không thỏa mãn.
Cho hình vẽ dưới đây, công thức nào không dùng để tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d′?
Quan sát hình vẽ ta thấy: {S_{AM'N'N}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AN} ,\overrightarrow {AM'} } \right]} \right| = AH.\left| {\overrightarrow {M'N'} } \right| \Rightarrow AH = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AN} ,\overrightarrow {AM'} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {M'N'} } \right|}} nên các đáp án A, B, D đều đúng.
Đáp án C sai vì \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AM'} ,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {NN'} } \right|}} = \dfrac{{{S_{AM'N'N}}}}{{\left| {\overrightarrow {NN'} } \right|}} = d\left( {A,NN'} \right)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2\\z = - t\end{array} \right..
Khoảng cách từ A\left( {0; - 1;3} \right) đến đường thẳng \Delta bằng:
Gọi M\left( {1 + 2t;2; - t} \right) \in \Delta .
Ta có A{M^2} = {\left( {1 + 2t} \right)^2} + 9 + {\left( { - t - 3} \right)^2} = 5{\left( {t + 1} \right)^2} + 14 \ge 14.
Suy ra d\left[ {A,\Delta } \right] = A{M_{\min }} \Leftrightarrow t = - 1 \Leftrightarrow AM = \sqrt {14} .
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \Delta :\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{1} = \dfrac{{z - 1}}{2}. Khoảng cách từ A\left( {1;0;3} \right) đến \Delta bằng:
Đường thẳng \Delta đi qua M\left( {1; - 1;1} \right) và có VTCP \overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {2;1;2} \right).
Ta có \overrightarrow {AM} = \left( {0; - 1; - 2} \right), suy ra \left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right] = \left( {0; - 4;2} \right).
Khi đó d\left( {A,\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|}} = \dfrac{{2\sqrt 5 }}{3}.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A\left( {1; - 1;0} \right),\,\,B\left( {1;0; - 2} \right), C\left( {3; - 1; - 1} \right). Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC.
Ta có \overrightarrow {AB} = \left( {0;1; - 2} \right) và \overrightarrow {BC} = \left( {2; - 1;1} \right). Suy ra \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right] = \left( { - 1; - 4; - 2} \right).
Khi đó d\left( {A,BC} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}} = \dfrac{{\sqrt {21} }}{{\sqrt 6 }} = \dfrac{{\sqrt {14} }}{2}.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M\left( {2; - 1;1} \right) và hai đường thẳng {d_1}:\dfrac{{x - 2}}{1} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{z - 1}}{2}, {d_2}:\dfrac{{x - 2}}{2} = \dfrac{{y + 3}}{1} = \dfrac{{z - 1}}{{ - 1}}. Đường thẳng \Delta cắt {d_1}, {d_2} lần lượt tại A và B sao cho M là trung điểm của AB có phương trình:
Do A = \Delta \cap {d_1} suy ra A\in \Delta nên A\left( {2 + t;1 - 2t;1 + 2t} \right).
Vì M là trung điểm AB, suy ra:
\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {x_M} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\ {y_M} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\\ {z_M} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_B} = 2{x_M} - {x_A}\\ {y_B} = 2{y_M} - {y_A}\\ {z_B} = 2{z_M} - {z_A} \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_B} = 2.2 - \left( {2 + t} \right) = 2 - t\\ {y_B} = 2.\left( { - 1} \right) - \left( {1 - 2t} \right) = - 3 + 2t\\ {z_B} = 2.1 - \left( {1 + 2t} \right) = 1 - 2t \end{array} \right.\\ \Rightarrow B\left( { - t + 2;2t - 3; - 2t + 1} \right) \end{array}
Theo giả thiết, B \in {d_2} nên \dfrac{{ - t + 2 - 2}}{2} = \dfrac{{2t - 3 + 3}}{1} = \dfrac{{ - 2t + 1 - 1}}{{ - 1}}
\Leftrightarrow t = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A\left( {2;1;1} \right)\\B\left( {2; - 3;1} \right)\end{array} \right.
Đường thẳng \Delta đi qua hai điểm A\left( {2;1;1} \right), B\left( {2; - 3;1} \right) nên \Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1 + t\\z = 1\end{array} \right.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng {d_1}:\dfrac{x}{2} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{z}{3},{d_2}:\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 2}} là:
Đường thẳng {d_1} đi qua điểm {M_1}\left( {0;1;0} \right) và có VTCP \overrightarrow {{u_1}} = \left( {2; - 1;3} \right).
Đường thẳng {d_2} đi qua điểm {M_2}\left( { - 1;0; - 1} \right) và có VTCP \overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;3; - 2} \right).
Khi đó \overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left( { - 1; - 1; - 1} \right),\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l} - 1\\3\end{array}&\begin{array}{l}3\\ - 2\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}3\\ - 2\end{array}&\begin{array}{l}2\\1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}2\\1\end{array}&\begin{array}{l} - 1\\3\end{array}\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 7;7;7} \right)
Vậy d\left( {{d_1},{d_2}} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}} = \dfrac{{\left| {\left( { - 7} \right).\left( { - 1} \right) + 7.\left( { - 1} \right) + 7.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{7^2} + {7^2} + {7^2}} }} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A\left( {1;0;2} \right) và đường thẳng d:\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z + 1}}{2}. Viết phương trình đường thẳng \Delta đi qua A, vuông góc và cắt d.
Gọi B = \Delta \cap d, suy ra B \in d nên B\left( {1 + t;t; - 1 + 2t} \right).
Khi đó \Delta có VTCP là \overrightarrow {AB} = \left( {t;t;2t - 3} \right). Đường thẳng d có VTCP \overrightarrow {{u_d}} = \left( {1;1;2} \right).
Theo đề bài: \Delta \bot d \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_d}} = t + t + 4t - 6 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow B\left( {2;1;1} \right).
Đường thẳng \Delta cần tìm đi qua hai điểm A,{\rm{ }}B nên \Delta :\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z - 2}}{{ - 1}}.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , tính góc giữa hai đường thẳng {d_1}:\dfrac{x}{1} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 1}}{2} và {d_2}:\dfrac{{x + 1}}{{ - 1}} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z - 3}}{1}
{d_1} có vecto chỉ phương \overrightarrow {{u_1}} = \left( {1; - 1;2} \right); {d_2} có vecto chỉ phương \overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 1;1;1} \right)
\cos \left( {\widehat {{d_1},{d_2}}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right| = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}} = \dfrac{{\left| {1.( - 1) + ( - 1).1 + 2.1} \right|}}{{\sqrt {1 + 1 + 1} .\sqrt {1 + 1 + {2^2}} }} = 0 \Rightarrow \left( {\widehat {{d_1},{d_2}}} \right) = {90^0}