Các bài toán về mối quan hệ giữa hai đường thẳng

Câu 1 Trắc nghiệm

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(3;2;0) và đường thẳng Δ:x11=y1=z+12. Đường thẳng đi qua A, vuông góc và cắt Δ có phương trình là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Gọi đường thẳng cần tìm là d. Gọi B=dΔ.

BΔB(1+t;t;1+2t).

Ta có: AB=(t2;t2;2t1).

Đường thẳng Δ có 1 VTCP là uΔ=(1;1;2).

dΔ nên ABuΔ.

AB.uΔ=01.(t2)+1.(t2)+2.(2t1)=06t6=0t=1

B(2;1;1)AB=(1;1;1).

Vậy đường thẳng d đi qua A(3;2;0) và có 1 VTCP u=AB=(1;1;1) có phương trình là:  x31=y21=z1.

Câu 2 Trắc nghiệm

Trong không gian Oxyz, vị trí tương đối giữa hai đường thẳng (d1):{x=1+2ty=43tz=3+2t(d2):x53=y+12=z23 là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Ta có: (d1):{x=1+2ty=43tz=3+2t có VTCP là: u1=(2;3;2) và đi qua M1(1;4;3)

(d2):x53=y+12=z23 có VTCP là: u2=(3;2;3) và đi qua M2(5;1;2)

[u1,u2]=(5;12;13)0 d1d2 cắt nhau hoặc chéo nhau.

Ta có: M1M2=(4;3;1)

[u1,u2].M1M2=4.5+3.1213=430

d1d2 chéo nhau.

Câu 3 Trắc nghiệm

Trong không gian với hệ trục tọa độ (Oxyz). Cho đường thẳng (d):x42=y11=z1. Đường thẳng (d1) đi qua điểm A(0;1;2),(d1) cắt và vuông góc với (d).(d1) có phương trình là

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Gọi mặt phẳng (P)là mặt phẳng đi qua A(0;1;2) và vuông góc với đường thẳng (d):x42=y11=z1

Khi đó mặt phẳng (P) có 1 vectơ pháp tuyến là n=ud=(2;1;1).

Phương trình mặt phẳng (P) là: 2(x0)1(y1)+1(z2)=0 2xy+z1=0.

Gọi M=d(P).

MdM(4+2t;1t;t)M(P):2xy+z1=02(4+2t)(1t)+t1=06t+6=0t=1M(2;2;1)

Khi đó đường thẳng (d1) đi qua A(0;1;2),M(2;2;1) nhận AM=(2;1;3) là 1 VTCP.

Vậy phương trình đường thẳng d1 là: x2=y11=z23.

Câu 4 Trắc nghiệm

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(2;2;3),B(1;3;4)C(3;1;5). Đường thẳng đi qua A và song song với BC có phương trình là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Ta có BC(2;4;1) nên phương trình đường thẳng đi qua A và song song với BC là: x22=y+24=z31.

Câu 5 Trắc nghiệm

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng Δ1:x12=y+21=z32Δ2:x+31=y11=z+24. Góc giữa hai đường thẳng Δ1,Δ2 bằng:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Ta có: Δ1 có VTCP là: u1=(2;1;2),Δ có VTCP là: u2=(1;1;4).

Gọi α là góc giữa hai đường thẳng (Δ1;Δ2) ta có:

cosα=|u1.u2||u1|.|u2|=|2.1+1.1+2.(4)|(2)2+1+22.1+1+(4)2=93.32=22.α=450.

Câu 6 Trắc nghiệm

Trong không gian Oxyz,  cho hai đường thẳng d1:{x=1+ty=3+2tz=1t  vàd2:{x=7+3sy=1sz=5s . Khoảng cách giữa hai đường thẳng đã cho bằng

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Ta có đường thẳng d1 đi qua M1(1;3;1) và nhận u1=(1;2;1) làm VTCP

Đường thẳng d2 đi qua M2(7;1;5) và nhận u2=(3;1;1) làm VTCP

Xét [u1;u2]=(3;2;7);M1M2=(8;2;6) M1M2.[u1;u2]=(3).8+(2).(2)+(7).6=620

Nên d1;d2 chéo nhau.

Suy ra khoảng cách d(d1;d2)=|[u1;u2].M1M2||[u1;u2]|=|62|(3)2+(2)2+(7)2=62

Câu 7 Trắc nghiệm

Cho d,d là các đường thẳng có VTCP lần lượt là u,u. Nếu [u,u]=0 thì:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Ta có:

Nếu [u,u]=0 thì u cùng phương u nên d//d hoặc dd.

Câu 8 Trắc nghiệm

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

d1:{x=1+2ty=tz=1+td2:x12=y+11=z21.

      Vị trí tương đối của d1d2 là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Đường thẳng d1 đi qua M1(1;0;1) và có VTCP u1=(2;1;1).

Đường thẳng d2 đi qua M2(1;1;2) và có VTCP u2=(2;1;1).

Ta có 22=11=11 nên u1//u2.                          (1)

          112=0+11=121 nên Md2.       (2)

Từ (1)(2), suy ra d1d2 trùng nhau.

Câu 9 Trắc nghiệm

Khi xét hệ phương trình giao hai đường thẳng, nếu hệ có nghiệm duy nhất thì:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Nếu hệ phương trình giao điểm hai đường thẳng có nghiệm duy nhất thì hai đường thẳng cắt nhau.

Câu 10 Trắc nghiệm

Khi xét hệ phương trình giao điểm hai đường thẳng, nếu hệ vô nghiệm và hai véc tơ u,u cùng phương thì hai đường thẳng:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Nếu hệ phương trình giao điểm hai đường thẳng vô nghiệm thì dd không có điểm chung thì hoặc song song hặc chéo nhau.

Hơn nữa u,u cùng phương thì hai đường thẳng song song.

Câu 11 Trắc nghiệm

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

d1:x1=y2=z23d2:{x=2ty=3tz=0. Mệnh đề nào sau đây đúng:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Đường thẳng d1 qua M1(0;0;2) và có VTCP u1=(1;2;3),

d2 qua M2(0;3;0) và có VTCP u2=(2;1;0).

+) u1.u2=22=0d1d2(1)

+) [u1.u2]=(3;6;5),M1M2=(0;3;2)M1M2.[u1.u2]=18+100

Vậy d1 vuông góc d2 và không cắt nhau.

Câu 12 Trắc nghiệm

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:x+22=y1=z+12. Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào song song với d?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Đường thẳng d3 qua M(2;3;1) và có VTCP u3=(4;2;4).

Đường thẳng d có VTCP ud=(2;1;2). Ta có u3=2(2;1;2)=2ud.

Thay tọa độ điểm M(2;3;1) vào d:2+22=31=1+12 không thỏa mãn.

Câu 13 Trắc nghiệm

Cho hình vẽ dưới đây, công thức nào không dùng để tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Quan sát hình vẽ ta thấy: {S_{AM'N'N}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AN} ,\overrightarrow {AM'} } \right]} \right| = AH.\left| {\overrightarrow {M'N'} } \right| \Rightarrow AH = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AN} ,\overrightarrow {AM'} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {M'N'} } \right|}} nên các đáp án A, B, D đều đúng.

Đáp án C sai vì \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AM'} ,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {NN'} } \right|}} = \dfrac{{{S_{AM'N'N}}}}{{\left| {\overrightarrow {NN'} } \right|}} = d\left( {A,NN'} \right)

Câu 14 Trắc nghiệm

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2\\z =  - t\end{array} \right..

Khoảng cách từ A\left( {0; - 1;3} \right) đến đường thẳng \Delta bằng:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Gọi M\left( {1 + 2t;2; - t} \right) \in \Delta .

Ta có A{M^2} = {\left( {1 + 2t} \right)^2} + 9 + {\left( { - t - 3} \right)^2} = 5{\left( {t + 1} \right)^2} + 14 \ge 14.

Suy ra d\left[ {A,\Delta } \right] = A{M_{\min }} \Leftrightarrow t =  - 1 \Leftrightarrow AM = \sqrt {14} .

Câu 15 Trắc nghiệm

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \Delta :\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{1} = \dfrac{{z - 1}}{2}. Khoảng cách từ A\left( {1;0;3} \right) đến \Delta bằng:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Đường thẳng \Delta đi qua M\left( {1; - 1;1} \right) và có VTCP \overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( {2;1;2} \right).

Ta có \overrightarrow {AM}  = \left( {0; - 1; - 2} \right), suy ra \left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right] = \left( {0; - 4;2} \right).

Khi đó d\left( {A,\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|}} = \dfrac{{2\sqrt 5 }}{3}.

Câu 16 Trắc nghiệm

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A\left( {1; - 1;0} \right),\,\,B\left( {1;0; - 2} \right), C\left( {3; - 1; - 1} \right). Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC.

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Ta có \overrightarrow {AB}  = \left( {0;1; - 2} \right)\overrightarrow {BC}  = \left( {2; - 1;1} \right). Suy ra \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right] = \left( { - 1; - 4; - 2} \right).

Khi đó d\left( {A,BC} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}} = \dfrac{{\sqrt {21} }}{{\sqrt 6 }} = \dfrac{{\sqrt {14} }}{2}.

Câu 17 Trắc nghiệm

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M\left( {2; - 1;1} \right) và hai đường thẳng {d_1}:\dfrac{{x - 2}}{1} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{z - 1}}{2}, {d_2}:\dfrac{{x - 2}}{2} = \dfrac{{y + 3}}{1} = \dfrac{{z - 1}}{{ - 1}}. Đường thẳng \Delta cắt {d_1}, {d_2} lần lượt tại AB sao cho M là trung điểm của AB có phương trình:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Do A = \Delta  \cap {d_1} suy ra A\in \Delta nên A\left( {2 + t;1 - 2t;1 + 2t} \right).

M là trung điểm AB, suy ra:

\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {x_M} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\ {y_M} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\\ {z_M} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_B} = 2{x_M} - {x_A}\\ {y_B} = 2{y_M} - {y_A}\\ {z_B} = 2{z_M} - {z_A} \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_B} = 2.2 - \left( {2 + t} \right) = 2 - t\\ {y_B} = 2.\left( { - 1} \right) - \left( {1 - 2t} \right) = - 3 + 2t\\ {z_B} = 2.1 - \left( {1 + 2t} \right) = 1 - 2t \end{array} \right.\\ \Rightarrow B\left( { - t + 2;2t - 3; - 2t + 1} \right) \end{array}

Theo giả thiết, B \in {d_2} nên \dfrac{{ - t + 2 - 2}}{2} = \dfrac{{2t - 3 + 3}}{1} = \dfrac{{ - 2t + 1 - 1}}{{ - 1}}

\Leftrightarrow t = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A\left( {2;1;1} \right)\\B\left( {2; - 3;1} \right)\end{array} \right.

Đường thẳng \Delta đi qua hai điểm A\left( {2;1;1} \right), B\left( {2; - 3;1} \right) nên \Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1 + t\\z = 1\end{array} \right.

Câu 18 Trắc nghiệm

Khoảng cách giữa hai đường thẳng {d_1}:\dfrac{x}{2} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{z}{3},{d_2}:\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 2}} là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Đường thẳng {d_1} đi qua điểm {M_1}\left( {0;1;0} \right) và có VTCP \overrightarrow {{u_1}}  = \left( {2; - 1;3} \right).

Đường thẳng {d_2} đi qua điểm {M_2}\left( { - 1;0; - 1} \right) và có VTCP \overrightarrow {{u_2}}  = \left( {1;3; - 2} \right).

Khi đó \overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = \left( { - 1; - 1; - 1} \right),\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l} - 1\\3\end{array}&\begin{array}{l}3\\ - 2\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}3\\ - 2\end{array}&\begin{array}{l}2\\1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}2\\1\end{array}&\begin{array}{l} - 1\\3\end{array}\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 7;7;7} \right)

Vậy d\left( {{d_1},{d_2}} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}} = \dfrac{{\left| {\left( { - 7} \right).\left( { - 1} \right) + 7.\left( { - 1} \right) + 7.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{7^2} + {7^2} + {7^2}} }} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}

Câu 19 Trắc nghiệm

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A\left( {1;0;2} \right) và đường thẳng d:\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z + 1}}{2}. Viết phương trình đường thẳng \Delta đi qua A, vuông góc và cắt d.

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Gọi B = \Delta  \cap d, suy ra B \in d nên B\left( {1 + t;t; - 1 + 2t} \right).

Khi đó \Delta có VTCP là \overrightarrow {AB}  = \left( {t;t;2t - 3} \right). Đường thẳng d có VTCP \overrightarrow {{u_d}}  = \left( {1;1;2} \right).

Theo đề bài: \Delta  \bot d \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_d}}  = t + t + 4t - 6 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow B\left( {2;1;1} \right).

Đường thẳng \Delta cần tìm đi qua hai điểm A,{\rm{ }}B nên \Delta :\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z - 2}}{{ - 1}}.

Câu 20 Trắc nghiệm

Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz , tính góc giữa hai đường  thẳng {d_1}:\dfrac{x}{1} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 1}}{2}  và {d_2}:\dfrac{{x + 1}}{{ - 1}} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z - 3}}{1}

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

{d_1} có vecto chỉ phương \overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1; - 1;2} \right); {d_2} có vecto chỉ phương \overrightarrow {{u_2}}  = \left( { - 1;1;1} \right)

\cos \left( {\widehat {{d_1},{d_2}}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right| = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}} = \dfrac{{\left| {1.( - 1) + ( - 1).1 + 2.1} \right|}}{{\sqrt {1 + 1 + 1} .\sqrt {1 + 1 + {2^2}} }} = 0 \Rightarrow \left( {\widehat {{d_1},{d_2}}} \right) = {90^0}