Câu hỏi:
2 năm trước
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {3;2;0} \right)\) và đường thẳng \(\Delta :\,\,\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z + 1}}{2}\). Đường thẳng đi qua \(A\), vuông góc và cắt \(\Delta \) có phương trình là:
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: d
Gọi đường thẳng cần tìm là \(d\). Gọi \(B = d \cap \Delta \).
Vì \(B \in \Delta \Rightarrow B\left( {1 + t;\,\,t;\,\, - 1 + 2t} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {t - 2;\,\,t - 2;\,\,2t - 1} \right)\).
Đường thẳng \(\Delta \) có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {1;1;2} \right)\).
Vì \(d \bot \Delta \) nên \(\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {{u_\Delta }} \).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_\Delta }} = 0\\ \Leftrightarrow 1.\left( {t - 2} \right) + 1.\left( {t - 2} \right) + 2.\left( {2t - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 6t - 6 = 0 \Leftrightarrow t = 1\end{array}\)
\( \Rightarrow B\left( {2;1;1} \right)\) và \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 1;1} \right)\).
Vậy đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {3;2;0} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow u = - \overrightarrow {AB} = \left( {1;1; - 1} \right)\) có phương trình là: \(\dfrac{{x - 3}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{1} = \dfrac{z}{{ - 1}}\).
Hướng dẫn giải:
- Gọi đường thẳng cần tìm là \(d\).
- Tham số hóa tọa độ điểm \(B = d \cap \Delta \).
- Vì \(d \bot \Delta \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_\Delta }} = 0\) với \(\overrightarrow {{u_\Delta }} \) là 1 VTCP của đường thẳng \(\Delta \). Từ đó tìm tọa độ điểm \(B\).
- Đường thẳng \(d\) cần tìm đi qua \(A\) và nhận \(\overrightarrow {AB} \) là 1 VTCP.
- Phương trình đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)\) là: \(\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}\).
