Phương trình mặt phẳng - Lý thuyết

Để \(\left( \alpha  \right)//\left( \beta  \right)\) thì \(\frac{2}{1}=\frac{4}{2}=\frac{-m}{-1}\ne \frac{-2}{-1}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m=2 \\  & m\ne 2 \\ \end{align} \right.\Rightarrow m\in \varnothing .\)

Mặt phẳng (P) : \(2x-y+3z-2=0\) có một vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=(2;-1;3)\).

Mặt phẳng (P) : \(2x-y+3z-2=0\) có một vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=(2;-1;3)\).

Vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\) là \(\vec{n}=\left( 0;1;-\,2 \right).\)

\((P):2x-z+1=0\) có 1 VTPT \(\overrightarrow{n}=(2;0;-1)\)

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) là \(\vec{n}=\left( 2;1;-\,1 \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left( 4;\ 2;-2 \right);\ \overrightarrow{{{n}_{2}}}=\left( -2;-1;\ 1 \right)\) cũng là VTPT của mặt phẳng \(\left( \alpha  \right).\)

Mặt phẳng \(\left( P \right):x+3y-5z+2=0\) có vectơ pháp tuyến là \({{\vec{n}}_{\left( P \right)}}=\left( 1;3;-\,5 \right).\)

Do đó véc tơ: (-1;-3;5)=-(1;3;-5) cũng là 1 VTPT của (P).

(-3;-9;15)=-3(1;3;-5) cũng là 1 VTPT của (P).

(2;6;-10)=2(1;3;-5) cũng là 1 VTPT của (P).

Chỉ có véc tơ (-2;-6;-10) không cùng phương với \({{\vec{n}}_{\left( P \right)}}\) nên không phải VTPT của (P).

Quan sát các đáp án ta thấy, chỉ có phương trình ở đáp án A là không phải phương trình mặt phẳng.

Ta có: \(2.1 + \left( { - 1} \right) - 1 + 3 = 3 \ne 0 \Rightarrow T \notin \left( P \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,4\left( x+1 \right)-5\left( z-0 \right)=0\Leftrightarrow 4x-5z+4=0\)

Ta có \(\overrightarrow{AB}=\left( 2;2;-\,1 \right);\,\,\overrightarrow{AC}=\left( -\,1;-\,1;0 \right)\) suy ra \({{\vec{n}}_{\left( ABC \right)}}=\left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right]=\left( -\,1;1;0 \right).\)

Do \(\vec n = \left( {2; - 1;1} \right)\) là một VTPT của \(\left( P \right)\) nên \(2\overrightarrow n  = \left( {4; - 2;2} \right)\) cũng là một VTPT của \(\left( P \right)\).

Mặt phẳng \((P)\) có một VTPT là: \(\vec n = (2; - 3;4)\).

Mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x - 2y + 2z - 3 = 0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1; - 2;2} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( P \right):4x + 3y + z - 1 = 0.\) có  VTPT là \(\overrightarrow {{n_3}}  = \left( {4;3;1} \right).\)

Mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 4y - z - 1 = 0\) có vtpt là \(\overrightarrow n  = \left( {2;4; - 1} \right)\)

Mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có phương trình là \(z = 0\)

Mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) có phương trình là \(x = 0\)

Ta có: \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1;\;2;\;2} \right),\;\;\overrightarrow {{n_Q}}  = \left( {1;\;2;\;2} \right)\)

\( \Rightarrow \dfrac{A}{{A'}} = \dfrac{B}{{B'}} = \dfrac{C}{{C'}} \ne \dfrac{D}{{D'}} \Rightarrow \left( P \right)//\left( Q \right)\)

\(d\left( {\left( P \right),\;\left( Q \right)} \right) = d\left( {M,\;\left( Q \right)} \right)\) với \(M\) là một điểm thuộc \(\left( P \right).\)

Chọn \(M\left( {10;\;0;\;0} \right)\) là một điểm thuộc \(\left( P \right).\)

Khi đó ta có: \(d\left( {\left( P \right),\;\left( Q \right)} \right) = d\left( {M,\;\left( Q \right)} \right) = \dfrac{{\left| {10 + 2.0 + 2.0 - 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \dfrac{7}{3}.\)

Mặt phẳng \(\left( P \right):3x - y + 2z - 1 = 0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {3; - 1;2} \right)\).