Phương trình đường thẳng

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} - 1 = 1 + 2t\\ - 3 = 3 - 4t\\ - 6 = 6 - 5t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t =  - 1\\t = \dfrac{3}{2}\\t = \dfrac{{12}}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow t \in \emptyset \)

Vậy \(P\left( { - 1; - 3; - 6} \right) \notin d\).

Cho \(t = 2\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2m + 2m = 1\\y =  - 2 + 2m + \left( {1 - m} \right).2 = 0\\z = 1 + 2 = 3\end{array} \right.\)

Do đó (d) luôn đi qua điểm \(M\left( {1;0;3} \right)\) cố định.

Gọi H là hình chiếu của A lên (d) thì \(d\left( {A,\left( d \right)} \right) = AH \le AM\) với mọi vị trí của H.

Do đó để \(d\left( {A,\left( d \right)} \right)\) đạt GTLN hay \(A{H_{\max }}\) thì \(H \equiv M\) hay \(AM \bot d\)

Ta có: \(\overrightarrow {AM}  = \left( {\dfrac{1}{2}; - 1; - 1} \right),\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {m;1 - m;1} \right)\)

\(\begin{array}{l}AM \bot d \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {{u_d}}  = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.m - 1.\left( {1 - m} \right) - 1.1 = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{4}{3}.\end{array}\)

Đường thẳng \(d:\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{2} = \dfrac{z}{{ - 2}}\) có một vecto chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( { - 1; - 2;2} \right)\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 2\\b = 2\end{array} \right.\)\( \Rightarrow T = {a^2} - 2b = {\left( { - 2} \right)^2} - 2.2 = 0\).

Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( { - 3;1;2} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {2;4; - 1} \right)\) có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 3 + 2t\\y = 1 + 4t\\z = 2 - t\end{array} \right.\).

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {4; - 2; - 2} \right)\), do đó đường thẳng \(AB\) nhận \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 1; - 1} \right) = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} \) là 1 VTCP.

Phương trình đường thẳng đi qua \(B\left( {1; - 1;0} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 1; - 1} \right)\) là \(\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 1}} = \dfrac{z}{{ - 1}}\).

Đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = 2 - 2t}\\{z =  - 3 - 3t}\end{array}} \right.\) đi qua điểm \(M(1;2; - 3)\)

Đường thẳng \(d:\,\,\dfrac{{x - 3}}{1} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{z - 5}}{3}\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow u \left( {1; - 2;3} \right)\).

Ta có \(d:\left\{ \begin{align} x=1+t \\  y=-\,1+2t \\  z=-\,2t \\ \end{align} \right.,\) với \(t=0\) \(\Rightarrow \) Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( 1;-\,1;0 \right).\)

Thay tọa độ \(\left( x;y;z \right)\) vào phương trình đường thẳng \(\left( d \right)\)\(\Rightarrow \) Điểm \(M\left( 2;-\,1;-\,3 \right)\in \left( d \right).\)

Đường thẳng \(\Delta :\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y + 2}}{{ - 1}} = \dfrac{z}{2}\) có VTCP \(\overrightarrow a  = \left( {1; - 1;2} \right)\) nên cũng nhận \( - 2\overrightarrow a  = \left( { - 2;2; - 4} \right)\) làm VTCP.

Dễ thấy \(M\left( 0;2;1 \right)\) không thỏa mãn phương trình \(\frac{x-1}{1}=\frac{y}{-\,2}=\frac{z-1}{2}.\)

+) \(\left( -1;-4;1 \right)\)

Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{align}  & -1=1+2t \\ & -4=-1+3t \\ & 1=-t \\\end{align} \right.\Leftrightarrow t=-1\)

Vậy, điểm \(\left( -1;-4;1 \right)\) nằm trên đường thẳng d.

+) \(\left( 1;-1;0 \right)\)

Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{align}  & 1=1+2t \\ & -1=-1+3t \\ & 0=-t \\\end{align} \right.\Leftrightarrow t=0\)

Vậy, điểm \(\left( 1;-1;0 \right)\) nằm trên đường thẳng d.

+) \(\left( 3;2;1 \right)\)

Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
3 = 1 + 2t\\
2 = - 1 + 3t\\
1 = - t
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
t = 1\\
t = - 1
\end{array} \right.\) vô lý \(\Rightarrow \) Hệ phương trình vô nghiệm.

Vậy, điểm \(\left( 3;2;1 \right)\) không nằm trên đường thẳng d.

+) \(\left( 3;2;-1 \right)\)

Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{align}  & 3=1+2t \\ & 2=-1+3t \\ & -1=-t \\\end{align} \right.\Leftrightarrow t=1\)

Vậy, điểm \(\left( 3;2;-1 \right)\) nằm trên đường thẳng d.

Dựa vào phương trình đường thẳng ta thấy đường thẳng d nhận \(\overrightarrow{n}=\left( -1;2;1 \right)\) là 1 VTCP của đường thẳng d.

Véc tơ chỉ phương của \(d\) là \(\overrightarrow{u}=\left( -1;2;1 \right)\).

Theo đề bài ta có đường thẳng  \(d:\;\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{2} \Rightarrow d\) có 1 vecto chỉ phương là: \(\overrightarrow{u}=\left( 2;\ 1;\ 2 \right).\)

Đường thẳng d có 1 VTCP là \(\overrightarrow{u}=\left( 3;-2;1 \right)\)

Phương trình chính tắc của đường thẳng \(d\) là: \(\dfrac{x-1}{-2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z-2}{1}\)

Đường thẳng d đi qua M(2;0;-1) và có VTCP là \(\overrightarrow{u}=(2;-3;1)\) có phương trình chính tắc: \(\frac{x-2}{2}=\frac{y}{-3}=\frac{z+1}{1}\)

Ta có: \(\overrightarrow{AB}=\left( 2;-2;6 \right)=2\left( 1;-1;3 \right)\).

\(\Rightarrow \) đường thẳng d đi qua A và nhận \(\overrightarrow{u}=\left( 1;-1;3 \right)\) là 1 VTCP nên có phương trình : \(d:\,\,\frac{x+1}{1}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z+4}{3}\)

Phương trình của \(d\) đi qua điểm \(M\left( {3; - 1;4} \right)\) và có một vecto chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( { - 2;4;5} \right)\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 2t\\y =  - 1 + 4t\\z = 4 + 5t\end{array} \right.\).