Phương trình đường thẳng

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} - 1 = 1 + 2t\\ - 3 = 3 - 4t\\ - 6 = 6 - 5t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t =  - 1\\t = \dfrac{3}{2}\\t = \dfrac{{12}}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow t \in \emptyset$

Vậy $P\left( { - 1; - 3; - 6} \right) \notin d$.

Cho $t = 2$ thì $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2m + 2m = 1\\y =  - 2 + 2m + \left( {1 - m} \right).2 = 0\\z = 1 + 2 = 3\end{array} \right.$

Do đó (d) luôn đi qua điểm $M\left( {1;0;3} \right)$ cố định.

Gọi H là hình chiếu của A lên (d) thì $d\left( {A,\left( d \right)} \right) = AH \le AM$ với mọi vị trí của H.

Do đó để $d\left( {A,\left( d \right)} \right)$ đạt GTLN hay $A{H_{\max }}$ thì $H \equiv M$ hay $AM \bot d$

Ta có: $\overrightarrow {AM}  = \left( {\dfrac{1}{2}; - 1; - 1} \right),\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {m;1 - m;1} \right)$

$\begin{array}{l}AM \bot d \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {{u_d}}  = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.m - 1.\left( {1 - m} \right) - 1.1 = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{4}{3}.\end{array}$

Đường thẳng $d:\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{2} = \dfrac{z}{{ - 2}}$ có một vecto chỉ phương $\overrightarrow u  = \left( { - 1; - 2;2} \right)$.

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 2\\b = 2\end{array} \right.$$\Rightarrow T = {a^2} - 2b = {\left( { - 2} \right)^2} - 2.2 = 0$.

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M\left( { - 3;1;2} \right)$ và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow u  = \left( {2;4; - 1} \right)$ có phương trình tham số là $\left\{ \begin{array}{l}x =  - 3 + 2t\\y = 1 + 4t\\z = 2 - t\end{array} \right.$.

Ta có: $\overrightarrow {AB}  = \left( {4; - 2; - 2} \right)$, do đó đường thẳng $AB$ nhận $\overrightarrow u  = \left( {2; - 1; - 1} \right) = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB}$ là 1 VTCP.

Phương trình đường thẳng đi qua $B\left( {1; - 1;0} \right)$ và có 1 VTCP $\overrightarrow u  = \left( {2; - 1; - 1} \right)$ là $\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 1}} = \dfrac{z}{{ - 1}}$.

Đường thẳng $d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = 2 - 2t}\\{z =  - 3 - 3t}\end{array}} \right.$ đi qua điểm $M(1;2; - 3)$

Đường thẳng $d:\,\,\dfrac{{x - 3}}{1} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{z - 5}}{3}$ có 1 VTCP là $\overrightarrow u \left( {1; - 2;3} \right)$.

Ta có $d:\left\{ \begin{align} x=1+t \\  y=-\,1+2t \\  z=-\,2t \\ \end{align} \right.,$ với $t=0$ $\Rightarrow$ Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M\left( 1;-\,1;0 \right).$

Thay tọa độ $\left( x;y;z \right)$ vào phương trình đường thẳng $\left( d \right)$$\Rightarrow$ Điểm $M\left( 2;-\,1;-\,3 \right)\in \left( d \right).$

Đường thẳng $\Delta :\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y + 2}}{{ - 1}} = \dfrac{z}{2}$ có VTCP $\overrightarrow a  = \left( {1; - 1;2} \right)$ nên cũng nhận $- 2\overrightarrow a  = \left( { - 2;2; - 4} \right)$ làm VTCP.

Dễ thấy $M\left( 0;2;1 \right)$ không thỏa mãn phương trình $\frac{x-1}{1}=\frac{y}{-\,2}=\frac{z-1}{2}.$

+) $\left( -1;-4;1 \right)$

Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{align}  & -1=1+2t \\ & -4=-1+3t \\ & 1=-t \\\end{align} \right.\Leftrightarrow t=-1$

Vậy, điểm $\left( -1;-4;1 \right)$ nằm trên đường thẳng d.

+) $\left( 1;-1;0 \right)$

Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{align}  & 1=1+2t \\ & -1=-1+3t \\ & 0=-t \\\end{align} \right.\Leftrightarrow t=0$

Vậy, điểm $\left( 1;-1;0 \right)$ nằm trên đường thẳng d.

+) $\left( 3;2;1 \right)$

Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} 3 = 1 + 2t\\ 2 = - 1 + 3t\\ 1 = - t \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t = 1\\ t = - 1 \end{array} \right.$ vô lý $\Rightarrow$ Hệ phương trình vô nghiệm.

Vậy, điểm $\left( 3;2;1 \right)$ không nằm trên đường thẳng d.

+) $\left( 3;2;-1 \right)$

Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{align}  & 3=1+2t \\ & 2=-1+3t \\ & -1=-t \\\end{align} \right.\Leftrightarrow t=1$

Vậy, điểm $\left( 3;2;-1 \right)$ nằm trên đường thẳng d.

Dựa vào phương trình đường thẳng ta thấy đường thẳng d nhận $\overrightarrow{n}=\left( -1;2;1 \right)$ là 1 VTCP của đường thẳng d.

Véc tơ chỉ phương của $d$ là $\overrightarrow{u}=\left( -1;2;1 \right)$.

Theo đề bài ta có đường thẳng  $d:\;\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{2} \Rightarrow d$ có 1 vecto chỉ phương là: $\overrightarrow{u}=\left( 2;\ 1;\ 2 \right).$

Đường thẳng d có 1 VTCP là $\overrightarrow{u}=\left( 3;-2;1 \right)$

Phương trình chính tắc của đường thẳng $d$ là: $\dfrac{x-1}{-2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z-2}{1}$

Đường thẳng d đi qua M(2;0;-1) và có VTCP là $\overrightarrow{u}=(2;-3;1)$ có phương trình chính tắc: $\frac{x-2}{2}=\frac{y}{-3}=\frac{z+1}{1}$

Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left( 2;-2;6 \right)=2\left( 1;-1;3 \right)$.

$\Rightarrow$ đường thẳng d đi qua A và nhận $\overrightarrow{u}=\left( 1;-1;3 \right)$ là 1 VTCP nên có phương trình : $d:\,\,\frac{x+1}{1}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z+4}{3}$

Phương trình của $d$ đi qua điểm $M\left( {3; - 1;4} \right)$ và có một vecto chỉ phương $\overrightarrow u  = \left( { - 2;4;5} \right)$ là $\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 2t\\y =  - 1 + 4t\\z = 4 + 5t\end{array} \right.$.