Phương trình đường thẳng

$\overrightarrow {AB}  = \left( {1;2; - 4} \right)$ là 1 VTCP của đường thẳng AB, do đó phương trình đường thẳng AB là: $\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{{ - 4}}$.

Vì $H$ là trực tâm của $\Delta \,ABC$  và $O.ABC$ là tứ diện vuông tại $O$

$\Rightarrow \,\,OH$ vuông góc với mặt phẳng $\left( ABC \right)$ $\Rightarrow \,\,d\left( O;\left( ABC \right) \right)=OH.$

Phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là $\frac{x}{1}+\frac{y}{2}+\frac{z}{-\,3}=1\Leftrightarrow 6x+3y-2z-6=0.$

Vậy $OH=d\left( O;\left( ABC \right) \right)$$=\dfrac{\left| 6.0+3.0+2.0-6 \right|}{\sqrt{{{6}^{2}}+{{3}^{2}}+{{2}^{2}}}}=\dfrac{6}{7}.$

Thay tọa độ điểm $P\left( {1;2;3} \right)$ vào phương trình đường thẳng $d:\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 3}}{2}$  ta được

$\dfrac{{1 - 1}}{2} = \dfrac{{2 - 2}}{{ - 1}} = \dfrac{{3 - 3}}{2} = 0$  nên $P \in d.$

Ta có phương trình đường thẳng $d$ đi qua điểm $M\left( {1;5; - 2} \right)$ và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow u  = \left( {3; - 6;1} \right)$ là:

$\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 5 - 6t\\z =  - 2 + t\end{array} \right.$

Phương trình đường thẳng $d$ là: $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 5t\\y = 2 + 2t\\z = 1 - 3t\end{array} \right.$   

Đường thẳng $\Delta :\,\,\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y + 3}}{2} = \dfrac{{z - 3}}{{ - 5}}$ nhận vecto $\left( {1;\,2; - 5} \right)$ làm 1 VTCP

Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và nhận $\overrightarrow u  = \left( {a;b;c} \right)$ làm VTCP là $\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}$.

Đường thẳng $\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}$ đi qua điểm $\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$.

Đường thẳng $d$ có phương trình chính tắc $\dfrac{x}{1} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 2}}{1}$.

Thay các điểm ở mối đáp án vào phương trình trên ta thấy chỉ có đáp án D là cả hai điểm đều thỏa mãn phương trình.

Phương trình chính tắc của (d) đi qua ${M_0}({x_0},{y_0},{z_0})$   và nhận $\vec u = (a,b,c)$ làm vecto chỉ phương với $abc\ne 0$ là $(d):\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}$.

Do đó A đúng.

Phương trình trục $Ox:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 0\\z = 0\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$

Phương trình trục $Oz:\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\\z = t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$. Do đó chỉ có điểm $M\left( {0,0,3} \right)$ thuộc trục $Oz$

$\Delta :\dfrac{{x + 4}}{1} = \dfrac{{y - 3}}{2} = \dfrac{{z + 2}}{{ - 1}}$ đi qua $M\left( { - 4;3; - 2} \right)$ và nhận $\overrightarrow u  = \left( {1;2; - 1} \right)$  làm VTCP nên $\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x =  - 4 + t\\y = 3 + 2t\\z =  - 2 - t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$

Kiểm tra $M$ thuộc đường thẳng thì loại $\left( {{\rm{III}}} \right)$.

Kiểm tra VTCP của $\left( {\rm{I}} \right)$ là $\overrightarrow {{a_I}}  = \left( {2; - 3;5} \right)$ và VTCP của $\left( {{\rm{II}}} \right)$ là $\overrightarrow {{a_{II}}}  = \left( { - 4;6; - 10} \right)$ $=- 2\overrightarrow a$.

Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$, suy ra $G\left( {\dfrac{1}{3}; - \dfrac{1}{3};0} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1; - 2; - 1} \right);\,\,\overrightarrow {AC}  = \left( {2;1; - 2} \right)$

Đường thẳng $\Delta$ vuông góc với mp $\left( {ABC} \right)$ nên có VTCP $\overrightarrow u  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {5; - 4;3} \right)$.

Đường thẳng $AG$ cũng là đường thẳng $AM$ với $M$ là trung điểm của $BC$.

Ta có: $M\left( {1;0; - 1} \right)$ là trung điểm của $BC$ nên đường thẳng $AG$ đi qua $A\left( {0;0;1} \right)$ và nhận $\overrightarrow {AM}  = \left( {1;0; - 2} \right)$ làm VTCP.

Do đó $AG:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 0\\z = 1 - 2t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$.

Đường thẳng $d$ qua $M\left( {1; - 2;0} \right)$ và có VTCP $\overrightarrow u  = \left( {a;1; - 2} \right)$.

Đường thẳng $d'$ qua $M'\left( {0;3; - 2} \right)$ và có VTCP $\overrightarrow {u'}  = \left( {2; - 1;2} \right)$.

Thay điểm $M\left( {1; - 2;0} \right)$ vào phương trình $d'  :\dfrac{1}{2} = \dfrac{{ - 2 - 3}}{{ - 1}} = \dfrac{{0 + 2}}{2}$ không thỏa mãn.

Do đó để $d$song song $d'$, ta cần có $\overrightarrow u \parallel \overrightarrow {u'}  \Leftrightarrow \dfrac{a}{2} = \dfrac{1}{{ - 1}} = \dfrac{{ - 2}}{2} \Rightarrow a =  - 2$.

Ta có $d$ song song với $Oy$ nên có VTCP $\overrightarrow j  = \left( {0;1;0} \right)$.

Do đó $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2 + t\\z = 3\end{array} \right.$.

Đường ${d_1}$ có VTCP $\overrightarrow a  = \left( {1; - 4;6} \right)$;  ${d_2}$ có VTCP $\overrightarrow b  = \left( {2;1; - 5} \right)$.

Vì ${d_3}$ vuông góc với ${d_1};\,\,{d_2}$ nên có véc-tơ chỉ phương $\overrightarrow u  = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( {14;17;9} \right)$.

Đường thẳng $\Delta$ có VTCP $\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( {1; - 1; - 3} \right)$. Trục $Ox$ có VTCP $\overrightarrow i  = \left( {1;0;0} \right)$.

Do $d \bot Ox$ và $d \bot \Delta$ nên có VTCP $\overrightarrow {{u_d}}  = \left[ {\overrightarrow i ,\overrightarrow u } \right] = \left( {0;3; - 1} \right)$.