Phương trình đường thẳng

Đường thẳng $d:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 - t\\z = 3 + t\end{array} \right.$ có 1 VTCP là $\overrightarrow u \left( {2; - 1;1} \right)$.

Đường thẳng $d:\dfrac{{x - 4}}{3} = \dfrac{{y + 2}}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 3}}{{ - 2}}$ có VTCP là: $\overrightarrow u  = \left( {3; - 1; - 2} \right)$.

Ta có: $A\left( {1;1;0} \right),\,\,B\left( {1;0;1} \right),\,\,C\left( {3;1;0} \right)$

$\Rightarrow \overrightarrow {BC}  = \left( {2;\,\,1; - 1} \right)$

Đường thẳng $d$  đi qua $A\left( {1;\,\,1;\,\,0} \right)$ nhận $\overrightarrow {BC}$ làm VTCP

$\Rightarrow d:\,\,\,\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{z}{{ - 1}}.$

Phương trình tham số $d:\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$.

Đường thẳng $\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}$ có một VTCP là $\left( {a;b;c} \right)$.

Đường thẳng đi qua điểm $\left( { - {x_0}; - {y_0}; - {z_0}} \right)$ và có VTCP $\left( { - a; - b; - c} \right)$ có phương trình:

$\dfrac{{x - \left( { - {x_0}} \right)}}{{ - a}} = \dfrac{{y - \left( { - {y_0}} \right)}}{{ - b}} = \dfrac{{z - \left( { - {z_0}} \right)}}{{ - c}} \Leftrightarrow \dfrac{{x + {x_0}}}{a} = \dfrac{{y + {y_0}}}{b} = \dfrac{{z + {z_0}}}{c}$

Vì $d:\left\{ \begin{array}{l}x =  - t\\y = 1 - t\\z = t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0 - t\\y = 1 - t\\z = 0 + t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$ nên $d$ đi qua điểm $\left( {0;1;0} \right)$.

Ngoài ra các điểm ở mỗi đáp án A, B, C đều không thỏa mãn phương trình của $d$ nên chỉ có đáp án D đúng.

Lần lượt thay tọa độ các điểm vào phương trình ta được:

$\dfrac{{0 + 1}}{2} = \dfrac{{1 - 2}}{{ - 2}} \ne \dfrac{2}{1}$ nên A sai.

$\dfrac{{1 + 1}}{2} = \dfrac{{0 - 2}}{{ - 2}} = \dfrac{1}{1}$ nên B đúng.

Thay tọa độ các điểm đáp án $C,D$ vào đường thẳng ta thấy đều không thỏa mãn.

Ta có:

$\begin{array}{l}\dfrac{{1 - 1}}{2} = \dfrac{{1 - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{ - 1 + 1}}{2} = 0 \Rightarrow A \in d\\\dfrac{{ - 1 - 1}}{2} \ne \dfrac{{ - 1 - 1}}{{ - 1}} \ne \dfrac{{1 + 1}}{2} \Rightarrow B \notin d\\\dfrac{{2 - 1}}{2} = \dfrac{{\dfrac{1}{2} - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{0 + 1}}{2} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow C \in d\end{array}$

Do đó cả hai điểm $A$ và $C$ đều thuộc $d$.

Phương trình chính tắc của (d) đi qua ${M_0}({x_0},{y_0},{z_0})$   và nhận $\vec u = (a,b,c)$ làm vecto chỉ phương là $(d):\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}$. Do đó D là đáp án sai. 

Ta có: $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2 + 3t\\z = 5 - t\end{array} \right.\left( {t \in R} \right) \Rightarrow d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 0t\\y = 2 + 3t\\z = 5 - t\end{array} \right.\left( {t \in R} \right) \Rightarrow \overrightarrow u  = \left( {0;3; - 1} \right)$

Phương trình trục $Oz:\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\\z = t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$

Phương trình trục $Oy:\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = t\\z = 0\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$. Do đó chỉ có điểm $N\left( {0,1,0} \right)$ thuộc trục $Oy$

Ta có: $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3t\\z =  - 2 + t\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M\left( {1;0; - 2} \right)\\\overrightarrow u  = \left( {2;3;1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{{z + 2}}{1}$

$\Delta :\dfrac{{x - 4}}{1} = \dfrac{{y + 3}}{2} = \dfrac{{z - 2}}{{ - 1}}$ đi qua $M\left( {4; - 3;2} \right)$ và nhận $\overrightarrow u  = \left( {1;2; - 1} \right)$  làm VTCP nên $\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + t\\y =  - 3 + 2t\\z = 2 - t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$

Ta có $\vec a = \left( {4; - 6;2} \right) = 2\left( {2; - 3;1} \right)$  nên chọn $\vec u = \left( {2; - 3;1} \right)$ là vecto chỉ phương của $d$.

Phương trình đường thẳng $d$ đi qua điểm $M\left( {2,0, - 1} \right)$ và có vecto chỉ phương $\vec u = \left( {2; - 3;1} \right)$ là $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y =  - 3t\\z =  - 1 + t\end{array} \right.$

Phương trình đường thẳng $AB$ nhận $\overrightarrow {AB}  = \left( {2; - 3;4} \right)$ là vectơ chỉ phương. Loại B, C.

Phương trình qua $A\left( {1,2, - 3} \right)$ nên có dạng $\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 3}} = \dfrac{{z + 3}}{4}$.

Ta có $I$ là trung điểm của $AB$. Suy ra $I\left( {2, - 1,1} \right)$.

Ta có $OI$  nhận $\overrightarrow {OI}  = \left( {2; - 1;1} \right)$ là vectơ chỉ phương và đi qua điểm $O\left( {0,0,0} \right)$ nên $d:\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{{ - 1}} = \dfrac{z}{1}$.

Gọi $I$  là tâm của hình bình hành $ABCD$. Suy ra $I$ là trung điểm của $AC$. Ta có $I\left( {2, - 1,1} \right)$.

Phương trình $BI$ cũng chính là phương trình đường chéo $BD$.

+ Phương trình $BI$ nhận $\overrightarrow {BI}  = (4, - 4,0)$ là vectơ chỉ phương

+ qua điểm $B\left( { - 2,3,1} \right)$ và cũng qua điểm $I\left( {2, - 1,1} \right)$.

Vì phương trình tham số ở câu D có vecto chỉ phương là $(1,1,0)$, đây không là vecto chỉ phương của $BI$.

Phương trình đường thẳng $d$ có vecto chỉ phương là $\vec u = (3,1,1)$ và đi qua điểm $A\left( {2,1,3} \right)$ nên có phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = 1 + t\\z = 3 + t\end{array} \right.$

+ Phương án A đúng.

+ Với $t =  - 1$ ta có $B\left( { - 1,0,2} \right)$ thuộc $d$ . Do đó B đúng.

+ Với $t = 1$, ta có $C\left( {5,2,4} \right)$ thuộc $d$ . Do đó C đúng.