Phương trình đường thẳng

Đường thẳng \(d:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 - t\\z = 3 + t\end{array} \right.\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow u \left( {2; - 1;1} \right)\).

Đường thẳng \(d:\dfrac{{x - 4}}{3} = \dfrac{{y + 2}}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 3}}{{ - 2}}\) có VTCP là: \(\overrightarrow u  = \left( {3; - 1; - 2} \right)\).

Ta có: \(A\left( {1;1;0} \right),\,\,B\left( {1;0;1} \right),\,\,C\left( {3;1;0} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {BC}  = \left( {2;\,\,1; - 1} \right)\)

Đường thẳng \(d\)  đi qua \(A\left( {1;\,\,1;\,\,0} \right)\) nhận \(\overrightarrow {BC} \) làm VTCP

\( \Rightarrow d:\,\,\,\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{z}{{ - 1}}.\)

Phương trình tham số \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).

Đường thẳng \(\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}\) có một VTCP là \(\left( {a;b;c} \right)\).

Đường thẳng đi qua điểm \(\left( { - {x_0}; - {y_0}; - {z_0}} \right)\) và có VTCP \(\left( { - a; - b; - c} \right)\) có phương trình:

\(\dfrac{{x - \left( { - {x_0}} \right)}}{{ - a}} = \dfrac{{y - \left( { - {y_0}} \right)}}{{ - b}} = \dfrac{{z - \left( { - {z_0}} \right)}}{{ - c}} \Leftrightarrow \dfrac{{x + {x_0}}}{a} = \dfrac{{y + {y_0}}}{b} = \dfrac{{z + {z_0}}}{c}\)

Vì \(d:\left\{ \begin{array}{l}x =  - t\\y = 1 - t\\z = t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0 - t\\y = 1 - t\\z = 0 + t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\) nên \(d\) đi qua điểm \(\left( {0;1;0} \right)\).

Ngoài ra các điểm ở mỗi đáp án A, B, C đều không thỏa mãn phương trình của \(d\) nên chỉ có đáp án D đúng.

Lần lượt thay tọa độ các điểm vào phương trình ta được:

\(\dfrac{{0 + 1}}{2} = \dfrac{{1 - 2}}{{ - 2}} \ne \dfrac{2}{1}\) nên A sai.

\(\dfrac{{1 + 1}}{2} = \dfrac{{0 - 2}}{{ - 2}} = \dfrac{1}{1}\) nên B đúng.

Thay tọa độ các điểm đáp án \(C,D\) vào đường thẳng ta thấy đều không thỏa mãn.

Ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{1 - 1}}{2} = \dfrac{{1 - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{ - 1 + 1}}{2} = 0 \Rightarrow A \in d\\\dfrac{{ - 1 - 1}}{2} \ne \dfrac{{ - 1 - 1}}{{ - 1}} \ne \dfrac{{1 + 1}}{2} \Rightarrow B \notin d\\\dfrac{{2 - 1}}{2} = \dfrac{{\dfrac{1}{2} - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{0 + 1}}{2} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow C \in d\end{array}\)

Do đó cả hai điểm \(A\) và \(C\) đều thuộc \(d\).

Phương trình chính tắc của (d) đi qua \({M_0}({x_0},{y_0},{z_0})\)   và nhận \(\vec u = (a,b,c)\) làm vecto chỉ phương là \((d):\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}\). Do đó D là đáp án sai. 

Ta có: \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2 + 3t\\z = 5 - t\end{array} \right.\left( {t \in R} \right) \Rightarrow d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 0t\\y = 2 + 3t\\z = 5 - t\end{array} \right.\left( {t \in R} \right) \Rightarrow \overrightarrow u  = \left( {0;3; - 1} \right)\)

Phương trình trục \(Oz:\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\\z = t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)

Phương trình trục \(Oy:\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = t\\z = 0\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\). Do đó chỉ có điểm $N\left( {0,1,0} \right)$ thuộc trục \(Oy\)

Ta có: \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3t\\z =  - 2 + t\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M\left( {1;0; - 2} \right)\\\overrightarrow u  = \left( {2;3;1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{{z + 2}}{1}\)

\(\Delta :\dfrac{{x - 4}}{1} = \dfrac{{y + 3}}{2} = \dfrac{{z - 2}}{{ - 1}}\) đi qua \(M\left( {4; - 3;2} \right)\) và nhận \(\overrightarrow u  = \left( {1;2; - 1} \right)\)  làm VTCP nên \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + t\\y =  - 3 + 2t\\z = 2 - t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)

Ta có \(\vec a = \left( {4; - 6;2} \right) = 2\left( {2; - 3;1} \right)\)  nên chọn \(\vec u = \left( {2; - 3;1} \right)\) là vecto chỉ phương của \(d\).

Phương trình đường thẳng $d$ đi qua điểm $M\left( {2,0, - 1} \right)$ và có vecto chỉ phương \(\vec u = \left( {2; - 3;1} \right)\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y =  - 3t\\z =  - 1 + t\end{array} \right.\)

Phương trình đường thẳng $AB$ nhận \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2; - 3;4} \right)\) là vectơ chỉ phương. Loại B, C.

Phương trình qua $A\left( {1,2, - 3} \right)$ nên có dạng \(\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 3}} = \dfrac{{z + 3}}{4}\).

Ta có \(I\) là trung điểm của \(AB\). Suy ra $I\left( {2, - 1,1} \right)$.

Ta có \(OI\)  nhận \(\overrightarrow {OI}  = \left( {2; - 1;1} \right)\) là vectơ chỉ phương và đi qua điểm $O\left( {0,0,0} \right)$ nên \(d:\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{{ - 1}} = \dfrac{z}{1}\).

Gọi \(I\)  là tâm của hình bình hành $ABCD$. Suy ra \(I\) là trung điểm của $AC$. Ta có $I\left( {2, - 1,1} \right)$.

Phương trình $BI$ cũng chính là phương trình đường chéo $BD$.

+ Phương trình $BI$ nhận \(\overrightarrow {BI}  = (4, - 4,0)\) là vectơ chỉ phương

+ qua điểm $B\left( { - 2,3,1} \right)$ và cũng qua điểm $I\left( {2, - 1,1} \right)$.

Vì phương trình tham số ở câu D có vecto chỉ phương là \((1,1,0)\), đây không là vecto chỉ phương của $BI$.

Phương trình đường thẳng \(d\) có vecto chỉ phương là \(\vec u = (3,1,1)\) và đi qua điểm $A\left( {2,1,3} \right)$ nên có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = 1 + t\\z = 3 + t\end{array} \right.\)

+ Phương án A đúng.

+ Với $t =  - 1$ ta có $B\left( { - 1,0,2} \right)$ thuộc \(d\) . Do đó B đúng.

+ Với $t = 1$, ta có $C\left( {5,2,4} \right)$ thuộc \(d\) . Do đó C đúng.