Bài toán về điểm và véc tơ

Trục $Oz$ đi qua điểm $O\left( {0;0;0} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\vec k\left( {0;0;1} \right)$.

Suy ra phương trình trục $Oz$ là: $\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\\z = t\end{array} \right.$.

Gọi $\left( \alpha  \right)$ là mặt phẳng chứa điểm $A$ và vuông góc với trục $Oz$.

Suy ra $\left( \alpha  \right)$ nhận $\vec k\left( {0;0;1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ đi qua điểm $A\left( {3;0;3} \right)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec k\left( {0;0;1} \right)$.

Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$: $0.\left( {x - 3} \right) + 0.\left( {y - 0} \right) + 1.\left( {z - 3} \right) = 0$

$\Leftrightarrow z - 3 = 0$.

Gọi $H$ là giao điểm của trục $Oz$ và mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$.

Ta có $H \in Oz \Rightarrow H\left( {0;0;t} \right)$.

Lại có $H \in \left( \alpha  \right) \Rightarrow t = 3$.

Khi đó $H\left( {0;0;3} \right)$.

Chứng minh tương tự, ta tìm được hình chiếu của điểm $B$ lên trục $Oy$ là $K\left( {0;3;0} \right)$.

Chọn $A'\left( {0; - 3;3} \right) \in \left( {Oyz} \right)$ và $B'\left( {0;3; - 1} \right) \in \left( {Oyz} \right)$.

Xét $\Delta AHM$ và $\Delta A'HM$, có:

$HM$ chung.

$AH = A'H\,\,\left( { = 3} \right)$.

$\widehat {AHM} = \widehat {A'HM} = 90^\circ$.

Do đó $\Delta AHM = \Delta A'HM$ (c.g.c)

$\Rightarrow AM = A'M$ (cặp cạnh tương ứng)

Chứng minh tương tự, ta được $BN = B'N$.

Trong mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$, ta có độ dài đường gấp khúc $AMNB$ là:

$AM + MN + NB = A'M + MN + NB' \ge A'B' = 2\sqrt {13}$.

Khi đó độ dài nhỏ nhất của đường gấp khúc $AMNB$ là $2\sqrt {13}  \approx 7,21$.

Vậy ta chọn phương án A.

Ta có:

$\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( { - 4;2;4} \right),\,\,\,\overrightarrow {CD}  = \left( {a + 6;b - 3;c - 6} \right)\\\overrightarrow {AD}  = \left( {a - 3;b - 1;c + 2} \right),\,\,\overrightarrow {BA}  = \left( {4; - 2; - 4} \right),\,\,\,\overrightarrow {BC}  = \left( { - 5;0;4} \right)\end{array}$.

Từ giác $ABCD$ là hình thang cân $\Rightarrow \overrightarrow {CD}  = k\overrightarrow {AB}  \Leftrightarrow \dfrac{{a + 6}}{{ - 4}} = \dfrac{{b - 3}}{2} = \dfrac{{c - 6}}{4}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left( {a + 6} \right) =  - 4\left( {b - 3} \right)\\a + 6 =  - \left( {c - 6} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 6 =  - 2\left( {b - 3} \right)\\a + 6 =  - c + 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 2b\\c = 2b\end{array} \right.$

Lại có $\angle DAB = \angle CBA$ nên $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right) = \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right)$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{ - 4\left( {a - 3} \right) + 2\left( {b - 1} \right) + 4\left( {c + 2} \right)}}{{\sqrt {{4^2} + {2^2} + {4^2}} .\sqrt {{{\left( {a - 3} \right)}^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2} + {{\left( {c + 2} \right)}^2}} }} = \dfrac{{4.\left( { - 5} \right) + \left( { - 2} \right).0 + \left( { - 4} \right).4}}{{\sqrt {{4^2} + {2^2} + {4^2}} .\sqrt {{5^2} + {0^2} + {4^2}} }}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 4a + 2b + 4c + 18}}{{6\sqrt {{{\left( {a - 3} \right)}^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2} + {{\left( {c + 2} \right)}^2}} }} = \dfrac{{ - 36}}{{6\sqrt {41} }}\\ \Leftrightarrow \left( { - 4a + 2b + 4c + 18} \right)\sqrt {41}  =  - 36\sqrt {{{\left( {a - 3} \right)}^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2} + {{\left( {c + 2} \right)}^2}} \end{array}$

Thay $a =  - 2b,\,\,c = 2b$ vào phương trình trên ta được:

$\begin{array}{l}\left( { - 4.\left( { - 2b} \right) + 2b + 4.2b + 18} \right)\sqrt {41}  =  - 36\sqrt {{{\left( { - 2b - 3} \right)}^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2} + {{\left( {2b + 2} \right)}^2}} \\ \Leftrightarrow \left( {18b + 18} \right)\sqrt {41}  =  - 36\sqrt {4{b^2} + 12b + 9 + {b^2} - 2b + 1 + 4{b^2} + 8b + 4} \\ \Leftrightarrow \left( {b + 1} \right)\sqrt {41}  =  - 2\sqrt {9{b^2} + 18b + 14}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b + 1 < 0\\41{\left( {b + 1} \right)^2} = 4\left( {9{b^2} + 18b + 14} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b <  - 1\\5{b^2} + 10b - 15 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b <  - 1\\\left[ \begin{array}{l}b = 1\\b =  - 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow b =  - 3\\ \Rightarrow a = 6,c =  - 6 \Rightarrow a + b + c =  - 3.\end{array}$  

Ta có $2\overrightarrow a  - \overrightarrow b  = \left( {5;2; - 3} \right)$. Gọi $M\left( {x;y;z} \right)$, suy ra $\overrightarrow {AM}  = \left( {x;y - 2;z - 1} \right)$.

Theo giả thiết, suy ra $\left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y - 2 = 2\\z - 1 =  - 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 4\\z =  - 2\end{array} \right.$.

Ta có $m.\overrightarrow a  + n.\overrightarrow b  = \left( {m - 2n;\,n; - 2m + 3n} \right)$.

Suy ra $m.\overrightarrow a  + n.\overrightarrow b  = \overrightarrow c  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 2n =  - 4\\n = 3\\ - 2m + 3n = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2\\n = 3\end{array} \right..$

$M$ là trung điểm của $AB$ suy ra tọa độ điểm $M\left( {1;1;0} \right)$.

$N$ là trung điểm của $CD$ suy ra tọa độ điểm $N\left( {1;1;2} \right)$.

$I$ là trung điểm của $MN$ suy ra tọa độ điểm $I\left( {1;1;1} \right)$.

Có $\overrightarrow {BC}  = (4; - 1;1)$. Suy ra $BC = 3\sqrt 2$.

Theo tính chất đường trung bình có $MN = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}$.

Ta có $\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {1 + 1 + 0}  = \sqrt 2$; $\left| {\overrightarrow c } \right| = \sqrt {1 + 1 + 1}  = \sqrt 3 .$

Xét $\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left( { - 1} \right).\left( { - 2} \right) + 1.\left( { - 2} \right) + 0.0 = 0$, suy ra $\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b .$

Vậy đáp án còn lại D là sai.

Ta có $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$ cùng phương $\Leftrightarrow \exists k \in \mathbb{R}:{\rm{ }}\overrightarrow u  = k\overrightarrow v  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 0\\ - 2 = k\left( {m - 2} \right)\\m + 1 = k\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 0\\k = 1\end{array} \right..$

Gọi $G'\left( {x;y;z} \right)$ là trọng tâm của tam giác $A'B'C'$.

Ta có $\overrightarrow {G'A'}  + \overrightarrow {G'B'}  + \overrightarrow {G'C'}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {G'A}  + \overrightarrow {AA'} } \right) + \left( {\overrightarrow {G'B}  + \overrightarrow {BB'} } \right) + \left( {\overrightarrow {G'C}  + \overrightarrow {CC'} } \right) = \overrightarrow 0$$\Leftrightarrow \overrightarrow {G'A}  + \overrightarrow {G'B}  + \overrightarrow {G'C}  = \overrightarrow {A'A}  + \overrightarrow {B'B}  + \overrightarrow {C'C}  = \overrightarrow 0$.

Suy ra $G'$ cũng là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên có tọa độ $\left( {2;\dfrac{4}{3};\dfrac{1}{3}} \right).$

Áp dụng công thức $\left| {\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]} \right| = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\sin \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$, ta được $\left| {\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]} \right| = 2.5.\sin {30^0} = 5.$

Ta có $A\left( {1;1;1} \right)$, $B\left( {5;1; - 1} \right)$ và $\overrightarrow {BC}  = \left( {2;8;3} \right)$. Suy ra tọa độ điểm $C\left( {7;9;2} \right)$.

Gọi $D\left( {x;y;z} \right)$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên

          $\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {BA}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = {x_A} + {x_C} - {x_B}\\y = {y_A} + {y_C} - {y_B}\\z = {z_A} + {z_C} - {z_B}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 9\\z = 4\end{array} \right.$.

Do $ABCD$ là hình bình hành nên $I$ là trung điểm của $BD$, suy ra $D\left( {1; - 1;1} \right)$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( {1;1;1} \right)\\\overrightarrow {AD}  = \left( {0; - 1;0} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right] = \left( {1;0; - 1} \right)$

Diện tích của hình bình hành: ${S_{ABCD}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right]} \right| = \sqrt {{1^2} + {0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = \sqrt 2$

Ta có $A{B^2} = 125;\,A{C^2} = 45;\,B{C^2} = 80$

Do đó $A{B^2} = C{A^2} + C{B^2} \Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại $C$.

Gọi $I$ là trung điểm của $AB$, ta có $\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = 2\overrightarrow {MI}$.

Khi đó $\left[ {\left( {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right),\overrightarrow {AC} } \right] = \overrightarrow 0$$\Leftrightarrow \left[ {2\overrightarrow {MI} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \overrightarrow 0$.

Suy ra $\overrightarrow {MI}$ cùng phương với $\overrightarrow {AC}$.

Ta có: $\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow w } \right] = \left( { - 3; - 1;5} \right)$

Để ba vectơ đồng phẳng thì $\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow w } \right].\overrightarrow v  = 0 \Leftrightarrow  - 3m - 3 - 5 = 0 \Leftrightarrow m =  - \dfrac{8}{3}.$

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {0;2; - 1} \right)$, $\overrightarrow {AC}  = \left( { - 1;1;2} \right)$, $\overrightarrow {AD}  = \left( { - 1;m + 2;p} \right)$.

Suy ra $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {5;1;2} \right)$

Để bốn điểm $A,\,{\rm{ }}B,\,{\rm{ }}C,\,{\rm{ }}D$ đồng phẳng thì $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD}  = 0$$\Leftrightarrow m + 2p = 3$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH}  = \left( {a - 1;b - 2;c + 1} \right)\\\overrightarrow {BH}  = \left( {a - 2;b - 1;c - 1} \right)\end{array} \right.$ và $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( {1; - 1;2} \right)\\\overrightarrow {AC}  = \left( { - 1; - 1;3} \right)\\\overrightarrow {BC}  = \left( { - 2;0;1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 1; - 5; - 2} \right)$.

Do $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC}  = 0\\\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AH}  = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2\left( {a - 1} \right) + \left( {c + 1} \right) = 0\\ - 1\left( {a - 2} \right) - 1\left( {b - 1} \right) + 3\left( {c - 1} \right) = 0\\ - 1\left( {a - 1} \right) - 5\left( {b - 2} \right) - 2\left( {c + 1} \right) = 0\end{array} \right.$

                $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a + c =  - 3\\ - a - b + 3c = 0\\ - a - 5b - 2c =  - 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 1\\c = 1\end{array} \right.$.

Do đó $a + b + c = 4$.

Gọi $M\left( {x;0;z} \right) \in \left( {Oxz} \right)$.

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}MA = MB\\MA = MC\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}M{A^2} = M{B^2}\\M{A^2} = M{C^2}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {1 - x} \right)^2} + {\left( {1 - 0} \right)^2} + {\left( {1 - z} \right)^2} = {\left( { - 1 - x} \right)^2} + {\left( {1 - 0} \right)^2} + {\left( {0 - z} \right)^2}\\{\left( {1 - x} \right)^2} + {\left( {1 - 0} \right)^2} + {\left( {1 - z} \right)^2} = {\left( {3 - x} \right)^2} + {\left( {1 - 0} \right)^2} + {\left( { - 1 - z} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5/6\\z =  - 7/6\end{array} \right..$

Điểm $M \in Oy$ nên $M\left( {0;m;0} \right)$. Ta có $\overrightarrow {BM}  = \left( { - 2;m;0} \right)$, $\overrightarrow {BC}  = \left( {2;0;0} \right)$.

      Suy ra $\left[ {\overrightarrow {BM} ,\overrightarrow {BC} } \right] = \left( {0;0; - 2m} \right)$. Theo giả thiết

             ${S_{\Delta MBC}} = 3 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {BM} ,\overrightarrow {BC} } \right]} \right| = 3 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left| { - 2m} \right| = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3\\m =  - 3\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}M\left( {0;3;0} \right)\\M\left( {0; - 3;0} \right).\end{array} \right.$.

$M$ thuộc trong mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$, giả sử $M(0;m;n)$.

Ta có:

$\begin{array}{l}MA = \sqrt {{{(0 - 0)}^2} + {{(m - 2)}^2} + {{(n + 1)}^2}}  = \sqrt {{{(m - 2)}^2} + {{(n + 1)}^2}} \\MB = \sqrt {{{(0 - 2)}^2} + {{(m - 0)}^2} + {{(n - 1)}^2}}  = \sqrt {{m^2} + {{(n - 1)}^2} + 4} \end{array}$

Suy ra

$\begin{array}{l}M{A^2} + M{B^2} = {(m - 2)^2} + {(n + 1)^2} + {m^2} + {(n - 1)^2} + 4\\ = 2{m^2} - 4m + 2{n^2} + 10 = 2({m^2} - 2m + 1) + 2{n^2} + 8\\ = 2{(m - 1)^2} + 2{n^2} + 8 \ge 8\end{array}$

$\Rightarrow \min \left( {M{A^2} + M{B^2}} \right) = 8 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 = 0\\n = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 1\\n = 0\end{array} \right.$.

Vậy $M(0;1;0)$