Trong không gian tọa độ \(Oxyz\), cho hình thang cân \(ABCD\) có các cạnh đáy lần lượt là \(AB,CD\). Biết \(A\left( {3;1; - 2} \right)\), \(B\left( { - 1;3;2} \right),C\left( { - 6;3;6} \right)\) và \(D\left( {a;b;c} \right)\) với \(a,b,c \in \mathbb{R}\). Tính \(T = a + b + c\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( { - 4;2;4} \right),\,\,\,\overrightarrow {CD}  = \left( {a + 6;b - 3;c - 6} \right)\\\overrightarrow {AD}  = \left( {a - 3;b - 1;c + 2} \right),\,\,\overrightarrow {BA}  = \left( {4; - 2; - 4} \right),\,\,\,\overrightarrow {BC}  = \left( { - 5;0;4} \right)\end{array}\).

Từ giác \(ABCD\) là hình thang cân \( \Rightarrow \overrightarrow {CD}  = k\overrightarrow {AB}  \Leftrightarrow \dfrac{{a + 6}}{{ - 4}} = \dfrac{{b - 3}}{2} = \dfrac{{c - 6}}{4}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left( {a + 6} \right) =  - 4\left( {b - 3} \right)\\a + 6 =  - \left( {c - 6} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 6 =  - 2\left( {b - 3} \right)\\a + 6 =  - c + 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 2b\\c = 2b\end{array} \right.\)

Lại có \(\angle DAB = \angle CBA\) nên \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right) = \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{ - 4\left( {a - 3} \right) + 2\left( {b - 1} \right) + 4\left( {c + 2} \right)}}{{\sqrt {{4^2} + {2^2} + {4^2}} .\sqrt {{{\left( {a - 3} \right)}^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2} + {{\left( {c + 2} \right)}^2}} }} = \dfrac{{4.\left( { - 5} \right) + \left( { - 2} \right).0 + \left( { - 4} \right).4}}{{\sqrt {{4^2} + {2^2} + {4^2}} .\sqrt {{5^2} + {0^2} + {4^2}} }}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 4a + 2b + 4c + 18}}{{6\sqrt {{{\left( {a - 3} \right)}^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2} + {{\left( {c + 2} \right)}^2}} }} = \dfrac{{ - 36}}{{6\sqrt {41} }}\\ \Leftrightarrow \left( { - 4a + 2b + 4c + 18} \right)\sqrt {41}  =  - 36\sqrt {{{\left( {a - 3} \right)}^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2} + {{\left( {c + 2} \right)}^2}} \end{array}\)

Thay \(a =  - 2b,\,\,c = 2b\) vào phương trình trên ta được:

\(\begin{array}{l}\left( { - 4.\left( { - 2b} \right) + 2b + 4.2b + 18} \right)\sqrt {41}  =  - 36\sqrt {{{\left( { - 2b - 3} \right)}^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2} + {{\left( {2b + 2} \right)}^2}} \\ \Leftrightarrow \left( {18b + 18} \right)\sqrt {41}  =  - 36\sqrt {4{b^2} + 12b + 9 + {b^2} - 2b + 1 + 4{b^2} + 8b + 4} \\ \Leftrightarrow \left( {b + 1} \right)\sqrt {41}  =  - 2\sqrt {9{b^2} + 18b + 14}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b + 1 < 0\\41{\left( {b + 1} \right)^2} = 4\left( {9{b^2} + 18b + 14} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b <  - 1\\5{b^2} + 10b - 15 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b <  - 1\\\left[ \begin{array}{l}b = 1\\b =  - 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow b =  - 3\\ \Rightarrow a = 6,c =  - 6 \Rightarrow a + b + c =  - 3.\end{array}\)