Hệ tọa độ trong không gian (tích có hướng và ứng dụng)

Tích có hướng của hai véc tơ $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$ có thể được kí hiệu là $\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]$.

Công thức xác định tọa độ tích có hướng $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}{y_1}\\{y_2}\end{array}&\begin{array}{l}{z_1}\\{z_2}\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}{z_1}\\{z_2}\end{array}&\begin{array}{l}{x_1}\\{x_2}\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}{x_1}\\{x_2}\end{array}&\begin{array}{l}{y_1}\\{y_2}\end{array}\end{array}} \right|} \right) = \left( {{y_1}{z_2} - {y_2}{z_1};{z_1}{x_2} - {z_2}{x_1};{x_1}{y_2} - {x_2}{y_1}} \right)$

Ta có: $\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}2\\0\end{array}&\begin{array}{l}0\\0\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}0\\0\end{array}&\begin{array}{l}0\\3\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}0\\3\end{array}&\begin{array}{l}2\\0\end{array}\end{array}} \right|} \right)$ $= \left( {0;0; - 6} \right)$

Vì $\overrightarrow w$ là véc tơ tích có hướng của hai véc tơ $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$ nên $\overrightarrow w$ vuông góc với cả $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$ hay $\overrightarrow u .\overrightarrow w  = 0$.

Do $\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( {5;2; - 3} \right)$ nên $\left[ {\overrightarrow v ,\overrightarrow u } \right] =  - \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( { - 5; - 2;3} \right)$

Do $\overrightarrow u  = k\overrightarrow v$ nên $\overrightarrow u ,\overrightarrow v$ cùng phương, suy ra $\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \overrightarrow 0$.

Tích có hướng của hai véc tơ là một véc tơ nên loại A và B.

Dễ thấy $\overrightarrow v  = 2\overrightarrow u$ nên hai véc tơ cùng phương, do đó tích có hướng của chúng chính là véc tơ $\overrightarrow 0  = \left( {0;0;0} \right)$.

Do tích có hướng của hai véc tơ bằng $\overrightarrow 0$ nên $\overrightarrow u ,\overrightarrow v$ cùng phương.

Do đó $\dfrac{1}{{ - \dfrac{1}{2}}} = \dfrac{m}{2} = \dfrac{n}{3} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m =  - 4\\n =  - 6\end{array} \right. \Rightarrow T = m + n = \left( { - 4} \right) + \left( { - 6} \right) =  - 10$

Ta có: $\overrightarrow {{u_3}}  = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]$ nên $\overrightarrow {{u_3}}$ có phương vuông góc với cả hai véc tơ còn lại.

Do đó $\overrightarrow {{u_3}} .\overrightarrow {{u_1}}  = \overrightarrow {{u_3}} .\overrightarrow {{u_2}}  = 0$, A đúng.

Ngoài ra các đáp án còn lại đều sai.

Để xét tính đồng phẳng của ba vec tơ $\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow {{u_3}}$ ta chỉ cần kiểm tra tích có hướng của hai véc tơ này nhân vô hướng với véc tơ thứ 3, nếu được kết quả bằng $0$ nghĩa là ba véc tơ đồng phẳng.

Nghĩa là kiểm tra $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{u_3}}  = 0$ hoặc $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_3}} } \right].\overrightarrow {{u_2}}  = 0$ hoặc $\left[ {\overrightarrow {{u_3}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{u_1}}  = 0$.

Ta có: $\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right| = \left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|\sin \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)$ $= 2.3.\sin {60^0} = 6.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = 3\sqrt 3$

Ta có: $\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right| = \left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|\sin \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)$ $\Rightarrow 2 = 1.2.\sin \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right) \Leftrightarrow \sin \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right) = 1 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right) = {90^0}$

Dễ thấy các công thức ở mỗi đáp án A, B, C đều có thể dùng được để tính diện tích tam giác $ABC$, chỉ có công thức ở đáp án D sai nên chọn D.

Ta có: $\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1; - 3; - 2} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( { - 2; - 1; - 2} \right)$ suy ra $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {4;2; - 5} \right)$.

Vậy diện tích tam giác $ABC$ là ${S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = \dfrac{1}{2}\sqrt {{4^2} + {2^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}}  = \dfrac{{3\sqrt 5 }}{2}$

Công thức tính diện tích hình bình hành $ABCD$ là ${S_{ABCD}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right]} \right|$.

Hình bình hành $ABCD$ có thể được tính theo các công thức A, B, D và không được tính theo công thức C.

Ta có: $\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1; - 3; - 2} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( { - 2; - 1; - 2} \right)$ suy ra $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {4;2; - 5} \right)$.

Vậy diện tích hình bình hành $ABCD$ là ${S_{ABCD}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = \sqrt {{4^2} + {2^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}}  = 3\sqrt 5$

Các công thức A, B, C đều được dùng để tính thể tích khối tứ diện $ABCD$, chỉ có công thức D là sai.

$G$ là trọng tâm tứ diện nên $\left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 4{x_G} - {x_A} - {x_B} - {x_C} = 4.2 - 1 - 0 - 0 = 7\\{y_D} = 4{y_G} - {y_A} - {y_B} - {y_C} = 4.\left( { - 1} \right) - 2 - 1 - 0 =  - 7\\{z_D} = 4{z_G} - {z_A} - {z_B} - {z_C} = 4.0 - 0 - \left( { - 1} \right) - 1 = 0\end{array} \right.$ $\Rightarrow D\left( {7; - 7;0} \right)$

Khi đó $\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1; - 1; - 1} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( { - 1; - 2;1} \right),\overrightarrow {AD}  = \left( {6; - 9;0} \right)$.

Ta có $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 3;2;1} \right)$ $\Rightarrow V = \dfrac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right| = \dfrac{1}{6}\left| { - 3.6 + 2.\left( { - 9} \right) + 1.0} \right| = 6$

Các công thức A, C, D đều là các công thức tính thể tích khối hộp $ABCD.A'B'C'D'$.

Công thức B không phải công thức tính thể tích khối hộp vì đây là một véc tơ, không phải một số.