Tích có hướng của hai vec tơ \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) là một véc tơ có thể được kí hiệu là:
Tích có hướng của hai véc tơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) có thể được kí hiệu là \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\).
Tích có hướng của hai véc tơ \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\) được xác định bằng tọa độ là:
Công thức xác định tọa độ tích có hướng \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}{y_1}\\{y_2}\end{array}&\begin{array}{l}{z_1}\\{z_2}\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}{z_1}\\{z_2}\end{array}&\begin{array}{l}{x_1}\\{x_2}\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}{x_1}\\{x_2}\end{array}&\begin{array}{l}{y_1}\\{y_2}\end{array}\end{array}} \right|} \right) = \left( {{y_1}{z_2} - {y_2}{z_1};{z_1}{x_2} - {z_2}{x_1};{x_1}{y_2} - {x_2}{y_1}} \right)\)
Cho hai véc tơ \(\overrightarrow u = \left( {0;2;0} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {3;0;0} \right)\). Tích có hướng của \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) có tọa độ:
Ta có: \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}2\\0\end{array}&\begin{array}{l}0\\0\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}0\\0\end{array}&\begin{array}{l}0\\3\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}0\\3\end{array}&\begin{array}{l}2\\0\end{array}\end{array}} \right|} \right)\) \( = \left( {0;0; - 6} \right)\)
Cho hai véc tơ \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) không cùng phương. Kí hiệu \(\overrightarrow w \) là véc tơ tích có hướng của hai véc tơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \). Chọn mệnh đề đúng:
Vì \(\overrightarrow w \) là véc tơ tích có hướng của hai véc tơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) nên \(\overrightarrow w \) vuông góc với cả \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) hay \(\overrightarrow u .\overrightarrow w = 0\).
Tích có hướng của hai véc tơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) là \(\overrightarrow w = \left( {5;2; - 3} \right)\). Tích có hướng của hai véc tơ \(\overrightarrow v \) và \(\overrightarrow u \) là:
Do \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( {5;2; - 3} \right)\) nên \(\left[ {\overrightarrow v ,\overrightarrow u } \right] = - \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( { - 5; - 2;3} \right)\)
Cho hai véc tơ \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) khác \(\overrightarrow 0 \), giả sử tồn tại số thực \(k \ne 0\) thỏa mãn \(\overrightarrow u = k\overrightarrow v \). Chọn mệnh đề đúng:
Do \(\overrightarrow u = k\overrightarrow v \) nên \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) cùng phương, suy ra \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \overrightarrow 0 \).
Tích có hướng của hai véc tơ \(\overrightarrow u = \left( {1;2; - 1} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {2;4; - 2} \right)\) là:
Tích có hướng của hai véc tơ là một véc tơ nên loại A và B.
Dễ thấy \(\overrightarrow v = 2\overrightarrow u \) nên hai véc tơ cùng phương, do đó tích có hướng của chúng chính là véc tơ \(\overrightarrow 0 = \left( {0;0;0} \right)\).
Biết tích có hướng của hai véc tơ \(\overrightarrow u = \left( {1;m;n} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( { - \dfrac{1}{2};2;3} \right)\) bằng \(\overrightarrow 0 \). Giá trị của \(T = m + n\) là:
Do tích có hướng của hai véc tơ bằng \(\overrightarrow 0 \) nên \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) cùng phương.
Do đó \(\dfrac{1}{{ - \dfrac{1}{2}}} = \dfrac{m}{2} = \dfrac{n}{3} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - 4\\n = - 6\end{array} \right. \Rightarrow T = m + n = \left( { - 4} \right) + \left( { - 6} \right) = - 10\)
Cho hai véc tơ \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 6;100;10} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 2019;0;0} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_3}} \) là tích có hướng của hai véc tơ \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \). Chọn mệnh đề đúng:
Ta có: \(\overrightarrow {{u_3}} = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]\) nên \(\overrightarrow {{u_3}} \) có phương vuông góc với cả hai véc tơ còn lại.
Do đó \(\overrightarrow {{u_3}} .\overrightarrow {{u_1}} = \overrightarrow {{u_3}} .\overrightarrow {{u_2}} = 0\), A đúng.
Ngoài ra các đáp án còn lại đều sai.
Điều kiện nào dưới đây không được dùng để xét tính đồng phẳng của ba véc tơ khác \(\overrightarrow 0 \) \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow {{u_3}} \)?
Để xét tính đồng phẳng của ba vec tơ \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow {{u_3}} \) ta chỉ cần kiểm tra tích có hướng của hai véc tơ này nhân vô hướng với véc tơ thứ 3, nếu được kết quả bằng \(0\) nghĩa là ba véc tơ đồng phẳng.
Nghĩa là kiểm tra \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{u_3}} = 0\) hoặc \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_3}} } \right].\overrightarrow {{u_2}} = 0\) hoặc \(\left[ {\overrightarrow {{u_3}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{u_1}} = 0\).
Cho hai véc tơ \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) có độ dài lần lượt là \(2\) và \(3\). Góc giữa chúng bằng \({60^0}\). Độ dài tích có hướng của hai véc tơ này là:
Ta có: \(\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right| = \left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|\sin \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)\) \( = 2.3.\sin {60^0} = 6.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = 3\sqrt 3 \)
Cho hai véc tơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) có độ dài lần lượt là \(1\) và \(2\). Biết tích có hướng của chúng là véc tơ \(\overrightarrow w \) có độ dài bằng \(2\). Góc tạo bởi \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) có độ lớn là:
Ta có: \(\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right| = \left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|\sin \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)\) \( \Rightarrow 2 = 1.2.\sin \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right) \Leftrightarrow \sin \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right) = 1 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right) = {90^0}\)
Diện tích tam giác \(ABC\) không được tính theo công thức nào sau đây:
Dễ thấy các công thức ở mỗi đáp án A, B, C đều có thể dùng được để tính diện tích tam giác \(ABC\), chỉ có công thức ở đáp án D sai nên chọn D.
Cho tam giác \(ABC\) có tọa độ \(3\) đỉnh \(A\left( {1;2;3} \right),B\left( {0; - 1;1} \right)\) và \(C\left( { - 1;1;1} \right)\). Diện tích tam giác là:
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 3; - 2} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 2; - 1; - 2} \right)\) suy ra \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {4;2; - 5} \right)\).
Vậy diện tích tam giác \(ABC\) là \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = \dfrac{1}{2}\sqrt {{4^2} + {2^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} = \dfrac{{3\sqrt 5 }}{2}\)
Công thức nào sau đây được dùng để tính diện tích hình bình hành \(ABCD\) ?
Công thức tính diện tích hình bình hành \(ABCD\) là \({S_{ABCD}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right]} \right|\).
Công thức nào dưới đây không dùng để tính diện tích hình bình hành \(ABCD\)?
Hình bình hành \(ABCD\) có thể được tính theo các công thức A, B, D và không được tính theo công thức C.
Diện tích hình bình hành \(ABCD\) biết \(A\left( {1;2;3} \right),B\left( {0; - 1;1} \right)\) và \(C\left( { - 1;1;1} \right)\) là:
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 3; - 2} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 2; - 1; - 2} \right)\) suy ra \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {4;2; - 5} \right)\).
Vậy diện tích hình bình hành \(ABCD\) là \({S_{ABCD}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = \sqrt {{4^2} + {2^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} = 3\sqrt 5 \)
Thể tích khồi tứ diện \(ABCD\) không được tính theo công thức:
Các công thức A, B, C đều được dùng để tính thể tích khối tứ diện \(ABCD\), chỉ có công thức D là sai.
Cho tứ diện \(ABCD\), biết \(A\left( {1;2;0} \right),B\left( {0;1; - 1} \right),C\left( {0;0;1} \right)\) và \(G\left( {2; - 1;0} \right)\) là trọng tâm tứ diện. Thể tích khối tứ diện đã cho là:
\(G\) là trọng tâm tứ diện nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 4{x_G} - {x_A} - {x_B} - {x_C} = 4.2 - 1 - 0 - 0 = 7\\{y_D} = 4{y_G} - {y_A} - {y_B} - {y_C} = 4.\left( { - 1} \right) - 2 - 1 - 0 = - 7\\{z_D} = 4{z_G} - {z_A} - {z_B} - {z_C} = 4.0 - 0 - \left( { - 1} \right) - 1 = 0\end{array} \right.\) \( \Rightarrow D\left( {7; - 7;0} \right)\)
Khi đó \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 1; - 1} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 1; - 2;1} \right),\overrightarrow {AD} = \left( {6; - 9;0} \right)\).
Ta có \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 3;2;1} \right)\) \( \Rightarrow V = \dfrac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right| = \dfrac{1}{6}\left| { - 3.6 + 2.\left( { - 9} \right) + 1.0} \right| = 6\)
Thể tích khối hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) không được tính theo công thức nào dưới đây?
Các công thức A, C, D đều là các công thức tính thể tích khối hộp \(ABCD.A'B'C'D'\).
Công thức B không phải công thức tính thể tích khối hộp vì đây là một véc tơ, không phải một số.
