Một số bài toán liên quan đến khảo sát hàm số bậc ba, bậc bốn trùng phương

Đồ thị có dạng như hình bên là của hàm đa thức bậc ba.

Nhận xét:  Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số bậc 3 có hệ số $a > 0$ nên loại đáp án A, C

Xét 2 đáp án B và D

Thay $x = 0;\,y = 2$ thì cả 2 đáp án B, D đều thỏa mãn

Thay $x = 2;\,y =  - 2$ chỉ có đáp án B thỏa mãn 

Đồ thị hàm số đã cho là hàm đa thức bậc ba có \(a > 0\) do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  + \infty  \Rightarrow \) Loại đáp án A.

Đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {2;1} \right) \Rightarrow \) Loại các đáp án B và D.

Dựa vào hình dạng đồ thị:

+ Đồ thị hàm số có dạng chữ “N” $ \Rightarrow $ Đồ thị hàm số bậc 3

+ Khi $x \to {\rm{\;}} + \infty $ thì $y \to {\rm{\;}} + \infty {\rm{\;}} \Rightarrow $ Hệ số của ${x^3}$ là dương

Từ hai kết luận trên ta thấy chỉ có hàm số $y = {x^3} - 3x + 1$ thỏa mãn

Đồ thị là dạng của hàm số ba, nhánh cuối của đồ thị đi lên \( \Rightarrow \) hệ số của \({x^3}\) mang dấu dương.

Từ đồ thị ta quan sát thấy $y\left( 0 \right) =  - 1,y\left( 1 \right) = 0$ do đó loại A và C.

Hàm số bậc ba nhận nghiệm của phương trình y’’=0 làm tâm đối xứng. Đồ thị đối xứng qua điểm A (1; 0) nên phương trình y’’=0 có nghiệm x = 1.

Đáp án D ta có: $y' = 3{x^2} \Rightarrow y'' = 6x = 0 \Leftrightarrow x = 0 \ne 1 \Rightarrow $ D sai

Do đó chỉ có hàm số $y = {\left( {x - 1} \right)^3}$ thỏa mãn.

Ta sử dụng theo cách trắc nghiệm để giải bài toán

Hàm số có nét cuối đi lên nên ta có: $a > 0$. Nên ta loại đáp án A.

Đồ thị hàm số  đi qua điểm $A(1;0) $ ta thay tọa độ điểm A vào 3 đáp án B, C, D thì đáp án D loại.

Đồ thị hàm số đi qua điểm $B(0;2)$ nên ta thay tọa độ điểm B vào đáp án B và C thì ta loại được đáp án C.

Dạng đồ thị đã cho có thể là hàm bậc bốn trùng phương.

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số có 3 điểm cực trị nên hàm số cần tìm là hàm số bậc $4 \Rightarrow $ loại đáp án C và D.

Đồ thị hàm số hướng xuống dưới nên hệ số $a < 0 \Rightarrow $ loại đáp án B.

Dễ thấy $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {\mkern 1mu} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {\mkern 1mu} y =  - \infty  \Rightarrow a < 0 \Rightarrow $ Loại A và B.

Đồ thị hàm số đi qua $\left( {0; - 1} \right) \Rightarrow $ Loại C.

Dựa vào hình vẽ, ta thấy rằng :

Hàm số là hàm số trùng phương, có dạng $y = a{x^4} + b{x^2} + C.$

 Giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x{\kern 1pt}  \to {\kern 1pt}  + {\kern 1pt} \infty } {\mkern 1mu} y = \mathop {\lim }\limits_{x{\kern 1pt}  \to {\kern 1pt}  - \infty } {\mkern 1mu} y =  - {\mkern 1mu} \infty $$ \Rightarrow $ Hệ số $a < 0.$

 Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại $\left( {0; - {\mkern 1mu} 2} \right)$$ \Rightarrow $$c =  - {\mkern 1mu} 2.$

 Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. Hàm số có ba điểm cực trị, trong đó có điểm cực trị có hoành độ lớn hơn 1.

Vậy hàm số cần tìm là $y =  - {\mkern 1mu} {x^4} + 4{x^2} - 2.$

Từ bảng biến thiên ta thấy:

- Đồ thị hàm số đi qua điểm $\left( {0;2} \right)$ nên loại B, D.

- Đồ thị hàm số đi qua điểm $\left( {2; - 2} \right)$ nên thay $x = 2$ vào hi hàm số A và C ta được:

Đáp án A: $y = {2^3} - 3.2 + 2 = 4 \ne  - 2$ nên loại A.

Đáp án C: $y = {2^3} - {3.2^2} + 2 =  - 2$ nên đáp án C đúng.

Dựa vào BBT và các phương án lựa chọn, ta thấy:

Đây là dạng hàm số trùng phương có hệ số $a < 0$. Loại A và C.

Mặt khác, đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {0;2} \right)\) nên loại B.

Hàm số đã cho có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {\rm{\;}} \pm \infty } y = {\rm{\;}} - \infty $ nên không có GTNN trên tập ℝ

Dễ thấy, đồ thị hàm số luôn đi qua điểm \(\left( {0;1} \right)\) cố định nên A đúng.

Đồ thị hàm số không có tâm đối xứng nên B đúng.

Có \(y' = 4a{x^3} + 2{b^2}x = 2x\left( {4a{x^2} + {b^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\4a{x^2} + {b^2} = 0\end{array} \right.\)

Phương trình \(4a{x^2} + {b^2} = 0\) chỉ có thể vô nghiệm nếu \(b \ne 0\) và có nghiệm duy nhất \(x = 0\) nếu \(b = 0\).

Do đó phương trình \(y' = 0\) chỉ có nghiệm duy nhất \(x = 0\) và \(y'\) đổi dấu qua nghiệm đó nên hàm số chỉ có duy nhất \(1\) điểm cực trị (cụ thể là điểm cực tiểu) nên C đúng.

D sai vì đồ thị hàm số đa thức bậc bốn trùng phương không có tâm đối xứng.

- Tại $x = 0$, y’ chuyển từ dấu dương sang dấu âm, đồng thời $x = 0$ xác định giá trị một giá trị của y = 0

=> Đáp án A: Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$ là đúng.

- Hàm số có 3 điểm cực trị => Đáp án B sai.

- Hàm số không có GTLN => Đáp án C sai.

- Hàm số có giá trị cực tiếu bằng -3 => Đáp án D sai.

Đáp án A đúng. Ta thấy hàm số nghịch biến trên $\left( {0;2} \right) \Rightarrow y' < 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in \left( {0;2} \right)$.

Đáp án B sai. Hàm số không có GTLN.

Đáp án C đúng. Hàm số có hai điểm cực trị $x = {\rm{\;}} - 2$ và $x = 0$.

Đáp án D đúng

Ta có : $f(x) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$; $f'(x) = 3a{x^2} + 2bx + c$

Do $f(x) \to  + \infty $ khi $x \to  + \infty $ nên $a > 0$

Do đồ thị hàm số$f(x)$ có hai điểm cực trị là $\left( {{x_0};0} \right)$ và $\left( {0;{y_0}} \right)$ với ${x_0} < 0$ và ${y_0} < 0$

Nên : $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f(0) = {y_0} < 0}\\{f\left( {{x_0}} \right) = 0}\\{f'\left( 0 \right) = 0}\\{f'\left( {{x_0}} \right) = 0}\end{array}} \right.$

 Ta có : $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f(0) = d}\\{f'(0) = c}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{d < 0}\\{c = 0}\end{array}} \right.$ ;

+ $f'\left( {{x_0}} \right) = 0$$ \Leftrightarrow 3a{x_0}^2 + 2b{x_0} = 0$$ \Leftrightarrow {x_0} = \dfrac{{ - 2b}}{{3a}}$  Mà ${x_0} < 0$;$a > 0$ $ \Rightarrow b > 0$

Vậy, $a > 0;b > 0;c = 0;d < 0$

Vì $y \to  - \infty $ khi $x \to {\rm{\;}} + \infty $ nên $a < 0$

Đồ thị hàm số cắt Oy tại điểm có tung độ dương $ \Rightarrow d > 0$

Có $y' = 3a{x^2} + 2bx + c = 0$ có $2$ nghiệm dương ($2$ điểm cực trị của đồ thị hàm số có hoành độ dương) $ \Rightarrow b$ trái dấu với $a$ và $c$ cùng dấu với $a$$ \Rightarrow b > 0$ và $c < 0$

Đồ thị hàm số thể hiện \(a < 0.\)

Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị nên \(ab < 0 \Rightarrow b > 0\)

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên \(c < 0.\)

Vậy \(a < 0,{\rm{ }}b > 0,{\rm{ }}c < 0\)