Bài tập ôn tập chương 6

Nếu $OH < R$ thì $\left( P \right)$ cắt $\left( S \right)$ theo giao tuyến là một đường tròn.

Bán kính đáy của hình nón là $r = \sqrt {{l^2} - {h^2}}  = \sqrt {{{25}^2} - {{15}^2}}  = 20$

Thể tích khối nón là $V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}.\pi {.20^2}.15 = 2000\pi \left( {c{m^3}} \right)$

Nếu $\left( P \right)$ là mặt phẳng kính thì $OH = 0\left( {H \equiv O} \right)$ hay $\left( P \right)$ đi qua $O$ là tâm mặt cầu.

Đáp án A: Phép vị tự tỉ số $k$ là phép đồng dạng tỉ số $\left| k \right|$: Đúng.

Đáp án B: Phép đồng dạng là phép biến hình: Sai vì nếu tỉ số đồng dạng khác $1$ thì nó làm thay đổi khoảng cách giữa các điểm.

Mặt cầu $\left( S \right)$ và đường thẳng $d$ không có điểm chung nếu $d\left( {O;d} \right) > R$.

Phép quay biến đưởng thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thảnh đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó,biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính với nó.

Giả sử thiết diện của mặt phẳng đi qua trục của hình nón với hình nón là tam giác $ABC$, theo giả thiết bài toán, ta có $ABC$ là tam giác đều cạnh $2a$. Do đó hình nón có:

Bán kính đáy $R = a$.

Độ dài đường sinh $l = AC = 2a$.

Diện tích xung quanh cần tìm ${S_{xq}} = \pi Rl = \pi .a.2a = 2\pi {a^2}$.

Gọi $l$ là đường sinh của hình nón, ta có $l = \sqrt {{R^2} + {h^2}}$.

Diện tích xung quanh của hình nón là $15\pi$, suy ra $15\pi  = \pi Rl \Leftrightarrow 15 = 3.\sqrt {{3^2} + {h^2}}  \Leftrightarrow h = 4$

Thể tích khối nón là $V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h = \dfrac{1}{3}\pi {.3^2}.4 = 12\pi$ (đvtt).

Trục đa giác đáy: là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy.

Gọi $J$ là trung điểm của $AB$.

Có : $\left\{ \begin{array}{l}AB \bot IJ\\AB \bot SI\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SJI} \right)$

Nên : $\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {SIJ} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {SIJ} \right) = SJ\\IH \bot SJ\end{array} \right. \Rightarrow d\left( {I,\left( {SAB} \right)} \right) = IH = 24$

$\dfrac{1}{{I{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{I^2}}} + \dfrac{1}{{{\rm{I}}{{\rm{J}}^2}}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{\rm{I}}{{\rm{J}}^2}}} =  - \dfrac{1}{{{{40}^2}}} + \dfrac{1}{{{{24}^2}}} \Leftrightarrow JI = 30$

Nên : $BJ = \sqrt {{{50}^2} - {{30}^2}}  = 40$

Và $SJ = \sqrt {{{40}^2} + {{30}^2}}  = 50$

Vậy : ${S_{\Delta SAB}} = \dfrac{1}{2}SJ.AB = \dfrac{1}{2}50.80 = 2000\left( {c{m^2}} \right).$

Mọi điểm nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng và ngược lại.

Ta có $EF = AF.\tan \beta  = a.\tan 30^\circ  = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}$

Khi quay quanh trục $DF$, tam giác $AEF$ tạo ra một hình nón có thể tích

${V_1} = \dfrac{1}{3}\pi .E{F^2}.AF = \dfrac{1}{3}\pi .{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)^2}.a = \dfrac{{\pi {a^3}}}{9}$

Khi quay quanh trục $DF$, hình vuông $ABCD$ tạo ra một hình trụ có thể tích

${V_2} = \pi .D{C^2}.BC = \pi .{a^2}.a = \pi {a^3}$

Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay mô hình (như hình vẽ) quanh trục $DF$là

$V = {V_1} + {V_2} = \dfrac{{\pi {a^3}}}{9} + \pi {a^3} = \dfrac{{10}}{9}\pi {a^3}$

${S_{tp}} = 2{S_d}{\rm{  +  }}{{\rm{S}}_{xq}} = l.2\pi r + 2\pi .{r^2} = 2\pi r\left( {l + r} \right)$

Hình trụ có bán kính đáy $R = 5\left( {cm} \right)$ và chiều cao $h = 4\left( {cm} \right).$

Diện tích toàn phần của hình trụ này là: ${S_{tp}} = 2\pi {R^2} + 2\pi Rh = 2\pi .25 + 2\pi .5.4 = 90\pi \left( {c{m^2}} \right).$

Ta có mặt phẳng $\left( {A'AB} \right)//O'O$

Kẻ $A'B'//AB$ $\Rightarrow$ thiết diện tạo thành là hình chữ nhật $ABB'A'$

Kẻ $OH \bot AB,OH \bot A'A$ $\Rightarrow OH \bot \left( {A'AB} \right)$

$\Rightarrow$ $d\left( {O'O,\left( {A'AB} \right)} \right) = d\left( {O,\left( {A'ABB'} \right)} \right)$ $= OH = 4$

Mà $AH = \sqrt {O{A^2} - O{H^2}}  = 2\sqrt 5$ $\Rightarrow AB = 4\sqrt 5  \Rightarrow {S_{ABB'A'}} = 32\sqrt 5$

Đáy là tam giác với độ dài cạnh đáy lần lượt là $5cm;12cm;13cm$ nên đáy là tam giác vuông với độ dài cạnh huyền là $13cm$. Suy ra hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ đứng có đáy là đường tròn bán kính là $\dfrac{{13}}{2}cm$ .

Vậy thể tích hình trụ đó là $V = \pi {\left( {\dfrac{{13}}{2}} \right)^2}.8 = 338\pi (cm^3)$

Có $S = 4\pi {R^2} = 72\pi  \Rightarrow R = \sqrt {\dfrac{{72\pi }}{{4\pi }}}  = \sqrt {18}  = 3\sqrt 2 \left( {cm} \right)$

Ta có đường chéo hình hộp $d = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}}  = 3$.

 $\Rightarrow R = \dfrac{d}{2} = \dfrac{3}{2}$.

Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABB'C'$ cũng là mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$

Do đó bán kính là $R = \dfrac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {{\left( {2a} \right)}^2} + {{\left( {2a} \right)}^2}}  = \dfrac{{3a}}{2}$.

Gọi $N,\,M$ lần lượt là trung điểm của $AC;\,SC$.

$ABC$ là tam giác vuông tại $B$, $\widehat {BAC} = {60^o}$ và $AB = \dfrac{a}{2}$ nên $NA = NB = NC$; $AC = a \Rightarrow SC = a\sqrt 2  \Rightarrow MC = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}$.

$NM$ là đường trung bình của tam giác $SAC$ nên $NM//SA \Rightarrow NM \bot \left( {ABC} \right)\, \Rightarrow \,\,{\rm{MS = MC = MA = MB}}$

$\Rightarrow$ $M$ là tâm của $\left( S \right)$ có bán kính $MC = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}$.

$\Rightarrow {V_{{}_{\left( S \right)}}} = \dfrac{4}{3}\pi {\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^3} = \dfrac{{\sqrt 2 \pi {a^3}}}{3}$.

Diện tích của $\left( S \right):\,S = 4\pi {r^2} = 4\pi {\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = 2\pi {a^2}.$