Tổng hợp câu hay và khó chương 7 phần 5

$\Delta$ là đường thẳng đi qua M và cách A một khoảng lớn nhất khi $AM \bot \Delta$, khi đó $\Delta$ có 1 VTPT là $\overrightarrow {AM} \left( { - 3; - 4;4} \right)$

Đường thẳng d có 1 VTCP $\overrightarrow {{u_d}} \left( {2;2; - 1} \right)$. Vì $\Delta$ vuông góc với đường thẳng d nên $\Delta$ nhận $\overrightarrow {{u_d}} \left( {2;2; - 1} \right)$ là 1 VTPT.

Ta có: $\left[ {\overrightarrow {AM} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( { - 4;5;2} \right)$

Khi đó, $\Delta$ có 1 VTCP $\overrightarrow u \left( { - 4;5;2} \right)$. Phương trình đường thẳng $\Delta$ là: $\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 - 4t\\y =  - 2 + 5t\\z = 1 + 2t\end{array} \right.$

* Kiểm tra các điểm có thuộc $\Delta$ hay không:

+) $\left( { - 1; - 2;3} \right)$:

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} - 1 =  - 2 - 4t\\ - 2 =  - 2 + 5t\\3 = 1 + 2t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t =  - \dfrac{1}{4}\\t = 0\\t = 1\end{array} \right.$ (vô lý)  $\Rightarrow \left( { - 1; - 2;3} \right) \notin \Delta$

+) $\left( {2; - 7; - 1} \right)$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}2 =  - 2 - 4t\\ - 7 =  - 2 + 5t\\ - 1 = 1 + 2t\end{array} \right. \Leftrightarrow t =  - 1$  $\Rightarrow \left( {2; - 7; - 1} \right) \in \Delta$

+)$\left( { - 1;2;3} \right)$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} - 1 =  - 2 - 4t\\2 =  - 2 + 5t\\3 = 1 + 2t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t =  - \dfrac{1}{4}\\t = \dfrac{4}{5}\\t = 1\end{array} \right.$ (vô lý)  $\Rightarrow \left( { - 1;2;3} \right) \notin \Delta$

+)$\left( { - 1; - 1; - 3} \right)$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} - 1 =  - 2 - 4t\\ - 1 =  - 2 + 5t\\ - 3 = 1 + 2t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t =  - \dfrac{1}{4}\\t = \dfrac{1}{5}\\t =  - 2\end{array} \right.$ (vô lý)  $\Rightarrow \left( { - 1; - 1; - 3} \right) \notin \Delta$

+) Ta có: 

$AM \bot CB$(vì M là trực tâm tam giác ABC)

$OA \bot CB$ (vì $OA \bot OB,\,\,OA \bot OC \Rightarrow OA \bot \left( {OBC} \right) \Leftrightarrow OA \bot BC$)

$\Rightarrow BC \bot \left( {OMA} \right) \Rightarrow BC \bot OM$

Tương tự, chứng minh được $AC \bot OM \Rightarrow OM \bot \left( {ABC} \right)$

+) Viết phương trình mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$:

$M\left( { - 1;3;4} \right),\,\,\overrightarrow {OM} \left( { - 1;3;4} \right)$

Phương trình mặt phẳng (ABC): $- 1\left( {x + 1} \right) + 3\left( {y - 3} \right) + 4\left( {z - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow  - x + 3y + 4z - 26 = 0$

+)  Tìm tọa độ các điểm A, B, C:

Cho $y = z = 0 \Rightarrow x = 26 \Rightarrow A\left( {26;0;0} \right)$

Cho $x = z = 0 \Rightarrow y = \dfrac{{26}}{3} \Rightarrow B\left( {0;\dfrac{{26}}{3};0} \right)$

Cho $x = y = 0 \Rightarrow z = \dfrac{{13}}{2} \Rightarrow C\left( {0;0;\dfrac{{13}}{2}} \right)$

Thể tích khối tứ diện OABC :  $V = \dfrac{1}{6}.26.\dfrac{{26}}{3}.\dfrac{{13}}{2} = \dfrac{{2197}}{9}$.

+) Mặt cầu $\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 1$ có tâm $J\left( {1;1;1} \right)$, bán kính $R = 1$.

+) Tìm $I$:  $3\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow 6\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \overrightarrow {IA}  =  - \dfrac{{2\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} }}{6}$

Ta có: $A\left( {0;1;1} \right),\,B\left( {3;0; - 1} \right),\,C\left( {0;21; - 19} \right) \Rightarrow \overrightarrow {IA} \left( { - {x_I};1 - {y_I};1 - {z_I}} \right),\,\,\overrightarrow {AB} \left( {3; - 1; - 2} \right),\,\,\overrightarrow {AC} \left( {0;20; - 20} \right)$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {x_I} =  - \dfrac{{2.3 + 0}}{6}\\1 - {y_I} =  - \dfrac{{2.\left( { - 1} \right) + 20}}{6}\\1 - {z_I} =  - \dfrac{{2.\left( { - 2} \right) + \left( { - 20} \right)}}{6}\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {1;4; - 3} \right)$

+) Ta có:

$\begin{array}{l}3M{A^2} + 2M{B^2} + M{C^2} = 3{\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + 2{\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IC} } \right)^2}\\ = 6M{I^2} + 3I{A^2} + 2I{B^2} + I{C^2} + 2.\overrightarrow {MI} .\left( {3\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC} } \right) = 6M{I^2} + 3I{A^2} + 2I{B^2} + I{C^2} + 2.\overrightarrow {MI} .\overrightarrow 0 \\ = 6M{I^2} + 3I{A^2} + 2I{B^2} + I{C^2}\end{array}$

Để tổng trên là nhỏ nhất thì MI nhỏ nhất $\Rightarrow M$là giao điểm của đoạn thẳng $IJ$ và  mặt cầu $\left( S \right)$.

$\overrightarrow {JI}  = \left( {0;3; - 4} \right)$

$\Rightarrow$Tọa độ điểm $M$thuộc đoạn IJ có dạng $\left( {1;1 + 3t;1 - 4t} \right),\,\,t \in \left[ {0;1} \right]$

Mặt khác $M \in \left( S \right) \Rightarrow {\left( {1 - 1} \right)^2} + {\left( {1 - \left( {1 + 3t} \right)} \right)^2} + {\left( {1 - \left( {1 - 4t} \right)} \right)^2} = 1$

$\Leftrightarrow {t^2} = \dfrac{1}{{25}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{1}{5}\\t =  - \dfrac{1}{5}\,(L)\end{array} \right. \Leftrightarrow t = \dfrac{1}{5}$  $\Rightarrow M\left( {1;\dfrac{8}{5};\dfrac{1}{5}} \right) \Rightarrow OM = \dfrac{{3\sqrt {10} }}{5}$.

$(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x + 4y - 2z + 5 = 0 \Leftrightarrow {(x - 3)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 1)^2} = 9$

$\Rightarrow \left( S \right)$ có tâm $I(3; - 2;1)$, bán kính $R = 3$.

$(Q)$ cắt $(S)$ theo giao tuyến là một đường tròn bán kính $r = 2$

Ta có:  ${d^2} + {r^2} = {R^2} \Leftrightarrow {d^2} + {2^2} = {3^2} \Leftrightarrow d = \sqrt 5$

Gọi $\overrightarrow n (a;b;c),\,\,\,\left( {\overrightarrow n  \ne \overrightarrow 0 } \right)$ là một VTPT của (Q). Khi đó $\overrightarrow n$ vuông góc với VTCP $\overrightarrow u (1;0;0)$của Ox  $\Rightarrow 1.a + 0.b + 0.c = 0 \Leftrightarrow a = 0$

Phương trình mặt phẳng (Q) đi qua O(0;0;0) và có VTPT $\overrightarrow n (0;b;c),\,\,\,\left( {\overrightarrow n  \ne \overrightarrow 0 } \right)$ là:

$0.(x - 0) + b(y - 0) + c(z - 0) = 0 \Leftrightarrow by + cz = 0$

Khoảng cách từ tâm I đến (Q):

$d = \dfrac{{\left| {b.( - 2) + c.1} \right|}}{{\sqrt {{b^2} + {c^2}} }} = \sqrt 5  \Rightarrow {\left( {2b - c} \right)^2} = 5({b^2} + {c^2}) \Leftrightarrow {b^2} + 4bc + 4{c^2} = 0 \Leftrightarrow {(b + 2c)^2} = 0 \Leftrightarrow b =  - 2c$

Cho $c =  - 1 \Rightarrow b = 2 \Rightarrow \overrightarrow n (0;2; - 1)$. Phương trình mặt phẳng (Q): $2y - z = 0$.

Đặt $A\left( {x;0;0} \right),\,\,B\left( {0;y;0} \right),\,\,\left( {x,y > 0} \right)$

Vì $OA + OB = OC = 1 \Rightarrow x + y = 1$

Gọi J, F lần lượt là trung điểm AB, OC. Kẻ đường thẳng qua F song song OJ, đường thẳng qua J song song OC, 2 đường thẳng này cắt nhau tại G.

$\Delta OAB$ vuông tại O $\Rightarrow J$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.

$GJ//OC \Rightarrow GJ \bot (OAB) \Rightarrow GO = GA = GB$

$GF//JO,\,\,JO \bot OC \Rightarrow GF \bot OC$, mà F là trung điểm của OC

$\Rightarrow GF$ là đường trung trực của OC $\Rightarrow GC = GO$

$\Rightarrow GO = GA = GB = GC \Rightarrow G$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC : $R = OG = FJ = \sqrt {O{F^2} + O{J^2}}  = \sqrt {{{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2} + O{J^2}}$

Ta có: $OJ = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}{2} \ge \dfrac{{\sqrt {\dfrac{{{{(x + y)}^2}}}{2}} }}{2} = \dfrac{{\sqrt {\dfrac{{{1^2}}}{2}} }}{2} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{4}$$\Rightarrow R \ge \sqrt {{{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{4}} \right)}^2}}  = \sqrt {\dfrac{3}{8}}  \Rightarrow {R_{\min }} = \sqrt {\dfrac{3}{8}}  = \dfrac{{\sqrt 6 }}{4}$

Gọi M, N lần lượt là giao điểm của d và ${d_1},\,\,{d_2}$ $\Rightarrow$Giả sử $M(1 - t;3t; - 2 + t),\,\,N( - 1 + 3{t_1};2 + 4{t_1};\,\,1 + {t_1})$

$\Rightarrow \overrightarrow {MA}  = \left( { - 5 + t;7 - 3t;7 - t} \right),\,\,\overrightarrow {MB}  = \left( { - 3 - 3{t_1};5 - 4{t_1};4 - {t_1}} \right)$

Vì A, M, N thẳng hàng nên $\dfrac{{ - 5 + t}}{{ - 3 - 3{t_1}}} = \dfrac{{7 - 3t}}{{5 - 4{t_1}}} = \dfrac{{7 - t}}{{4 - {t_1}}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( { - 5 + t} \right)\left( {5 - 4{t_1}} \right) = \left( {7 - 3t} \right)\left( { - 3 - 3{t_1}} \right)\\\left( { - 5 + t} \right)\left( {4 - {t_1}} \right) = \left( {7 - t} \right)\left( { - 3 - 3{t_1}} \right)\end{array} \right.$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 25 + 20{t_1} + 5t - 4t{t_1} =  - 21 - 21{t_1} + 9t + 9t{t_1}\\ - 20 + 5{t_1} + 4t - t{t_1} =  - 21 - 21{t_1} + 3t + 3t{t_1}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}41{t_1} - 4t - 13t{t_1} = 4\\26{t_1} + t - 4t{t_1} =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}41{t_1} - 4t - 13t{t_1} = 4\\104{t_1} + 4t - 16t{t_1} =  - 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}145{t_1} - 29t{t_1} = 0\\26{t_1} + t - 4t{t_1} =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}{t_1} = 0\\t = 5\end{array} \right.\\26{t_1} + t - 4t{t_1} =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{t_1} = 0\\t =  - 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}t = 5\\{t_1} =  - 1\end{array} \right.\,\,(L)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_1} = 0\\t =  - 1\end{array} \right.\end{array}$

 $\Rightarrow \overrightarrow {MA}  = \left( { - 6;10;8} \right),\,\,M\left( {2; - 3; - 3} \right)$

Phương trình đường thẳng d  đi qua $M\left( {2; - 3; - 3} \right)$ và có 1 VTCP $\overrightarrow u  = \left( { - 3;5;4} \right)$ là:   $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 3t\\y =  - 3 + 5t\\z =  - 3 + 4t\end{array} \right.$

$M\left( {a;b;c} \right) \in \left( {Oxy} \right) \Rightarrow c = 0 \Rightarrow M\left( {a;b;0} \right)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 3M{A^2} + 2M{B^2} = 3\left[ {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {b^2} + 9} \right] + 2\left[ {{{\left( {a - 11} \right)}^2} + {{\left( {b + 5} \right)}^2} + {{12}^2}} \right]\\ = 3\left( {{a^2} - 2a + {b^2} + 10} \right) + 2\left( {{a^2} - 22a + {b^2} + 10b + 290} \right)\\ = 3{a^2} - 6a + 3{b^2} + 30 + 2{a^2} - 44a + 2{b^2} + 20b + 580\\ = 5{a^2} - 50a + 5{b^2} + 20b + 610\\ = 5\left( {{a^2} - 10a + {b^2} + 4b + 122} \right)\\ = 5\left[ {{{\left( {a - 5} \right)}^2} + {{\left( {b + 2} \right)}^2} + 93} \right] \ge 465\end{array}$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b =  - 2\end{array} \right. \Rightarrow P = a + b + c = 5 - 2 + 0 = 3$ 

Ta có ${d_1}:\dfrac{{x - 2}}{{ - 1}} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z}{1} \Rightarrow vtcp\,\,\overrightarrow {{u_1}}  = \left( { - 1;1;1} \right)$

${d_2}:\dfrac{x}{{ - 2}} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{{z - 2}}{1}. \Rightarrow vtcp\,\,\overrightarrow {{u_2}} \left( { - 2;1;1} \right)$

Khi đó ta có $vtpt\,\overrightarrow {\,n}  = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {0; - 1;1} \right)$

Khi đó phương trình mặt phẳng (P) có dạng: $- y + z + D = 0$

Ta lại có: Phương trình mặt phẳng (P) cách đều hai đường thẳng ${d_1},{d_2}$nên: $d\left( {{d_1};\left( P \right)} \right) = d\left( {{d_2};\left( P \right)} \right) \Leftrightarrow d\left( {A;\left( P \right)} \right) = d\left( {B;\left( P \right)} \right)$  với $A\left( {2;0;0} \right);B\left( {0;1;2} \right)$

$\Leftrightarrow \dfrac{{\left| D \right|}}{{\sqrt {1 + 1} }} = \dfrac{{\left| { - 1 + 2 + D} \right|}}{{\sqrt {1 + 1} }} \Leftrightarrow \left| D \right| = \left| {D + 1} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}D = D + 1\\D =  - D - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 = 1\left( {vn} \right)\\D = \dfrac{{ - 1}}{2}\end{array} \right.$

Vậy phương trình mặt phẳng (P) cần tìm là: $- y + z - \dfrac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow 2y - 2z + 1 = 0$

Bước 1:

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {2; - 5;1} \right)$, bán kính $R = \sqrt {4 + 25 + 1 + 6}  = 6$.

Giao tuyến của hai mặt phẳng $y = m$ và $x + z - 3 = 0$ là nghiệm của hệ phương trình $\;\left\{ \begin{array}{l}y = m\\x + z - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = m\\z = 3 - t\end{array} \right.\,\,\left( d \right)$

$\Rightarrow$Đường thẳng (d) đi qua $M\left( {0;m;3} \right)$ và có 1 VTCP là $\overrightarrow u  = \left( {1;0; - 1} \right)$.

Bước 2:

Đường thẳng (d) tiếp xúc với mặt cầu $\left( S \right) \Leftrightarrow d\left( {I;d} \right) = R$.

$\Rightarrow \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IM} ;\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = R \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {m + 5} \right|\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m + 5 = 6\\m + 5 =  - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m =  - 11\end{array} \right.$

Vậy tích các giá trị của m là $1.(-11)=-11$

Gọi điểm $N\left( {x;y;z} \right)$.

Ta có O, M, N thẳng hàng $\Rightarrow OM.ON = \overrightarrow {OM} .\overrightarrow {ON}  = 12$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {OM}  = \dfrac{{12}}{{\overrightarrow {ON} }} = \dfrac{{12}}{{O{N^2}}}.\overrightarrow {ON}  = \dfrac{{12}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}\left( {x;y;z} \right)\\ \Rightarrow M\left( {\dfrac{{12x}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}};\dfrac{{12y}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}};\dfrac{{12z}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}} \right)\end{array}$

Mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ có phương trình $\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{4} + \dfrac{z}{6} = 1 \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 12 = 0$

Do $M \in \left( {ABC} \right)$ nên thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng (ABC) ta có:

$\begin{array}{l}6\dfrac{{12x}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}} + 3\dfrac{{12y}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}} + 2\dfrac{{12z}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}} - 12 = 0\\ \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - \left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x - 3y - 2z = 0\end{array}$

Vậy khi M thay đổi trên $\left( {ABC} \right)$ thì N luôn thuộc mặt cầu tâm $I\left( {3;\dfrac{3}{2};1} \right)$, bán kính $R = \sqrt {9 + \dfrac{9}{4} + 1}  = \dfrac{7}{2}$.

Ta có $\overrightarrow {AM}  = \left( {3;4;0} \right);\,\,\overrightarrow {AN}  = \left( {2;2;1} \right)$

$\Rightarrow$ phương trình đường thẳng AM và AN lần lượt là :

$\begin{array}{l}\left( {AM} \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y =  - 1 + 4t\\z = 1\end{array} \right.;\,\,\,\left( {AN} \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t'\\y =  - 1 + 2t'\\z = 1 + t'\end{array} \right.\\B \in AM \Rightarrow B\left( {2 + 3t; - 1 + 4t;1} \right);\,\,\,D \in AN \Rightarrow D\left( {2 + 2t'; - 1 + 2t';1 + t'} \right)\\ \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( {3t;4t;0} \right);\,\,\overrightarrow {DC}  = \left( {{x_C} - 2 - 2t';\,{y_C} + 1 - 2t';{z_C} - 1 - t'} \right)\end{array}$

Do $ABCD$ là hình thoi $\Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} - 2 - 2t' = 3t\\{y_C} + 1 - 2t' = 4t\\{z_C} - 1 - t' = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 3t + 2t' + 2\\{y_C} = 4t + 2t' - 1\\{z_C} = t' + 1\end{array} \right.$

Mà $C \in \left( P \right) \Rightarrow 4t + 2t' - 1 + t' + 1 = 27 \Leftrightarrow 4t + 3t' = 27$

ABCD là hình thoi $\Rightarrow \overrightarrow {AC}  \bot \overrightarrow {BD}  \Rightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD}  = 0$

Ta có $\overrightarrow {AC}  = \left( {3t + 2t';4t + 2t';t'} \right);\,\,\overrightarrow {BD}  = \left( {2t' - 3t;2t' - 4t;t'} \right)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {3t + 2t'} \right)\left( {2t' - 3t} \right) + \left( {4t + 2t'} \right)\left( {2t' - 4t} \right) + t{'^2} = 0\\ \Leftrightarrow 4t{'^2} - 9{t^2} + 4t{'^2} - 16{t^2} + t{'^2} = 0\\ \Leftrightarrow 9t{'^2} = 25{t^2}\\ \Leftrightarrow 3t' =  \pm 5t\end{array}$ 

TH1 : $\left\{ \begin{array}{l}4t + 3t' = 27\\3t' = 5t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 3\\t' = 5\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {21;21;6} \right)$

TH2 :  $\left\{ \begin{array}{l}4t + 3t' = 27\\3t' =  - 5t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t =  - 27\\t' = 45\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {11; - 19;46} \right)$

Nhận xét $\left( P \right)//\left( Q \right)//\left( R \right)$ và (P) nằm giữa (Q) và (R).

Ta có $BH = d\left( {\left( Q \right);\left( P \right)} \right) = 9;\,\,HK = d\left( {\left( P \right);\left( R \right)} \right) = 3$

Áp dụng định lí Ta-lét ta có: $\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{BH}}{{HK}} = 3$.

Áp dụng BĐT Cauchy ta có :

$\begin{array}{l}AB + \dfrac{{96}}{{A{C^2}}} = \dfrac{{AB}}{2} + \dfrac{{AB}}{2} + \dfrac{{96}}{{A{C^2}}}\mathop  \ge \limits^{Cauchy} 3\sqrt[3]{{\dfrac{{AB}}{2}.\dfrac{{AB}}{2}.\dfrac{{96}}{{A{C^2}}}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3.\sqrt[3]{{24.{{\left( {\dfrac{{AB}}{{AC}}} \right)}^2}}} = 3.\sqrt[3]{{24.9}} = 18\end{array}$

Giả sử $(P)$ tiếp xúc với $(S_1­), (S_2­)$ lần lượt tại $A,B$.

Gọi $IJ \cap \left( P \right) = M$ ta kiểm tra được $J$ là trung điểm $IM$ do $\dfrac{{IA}}{{JB}} = \dfrac{{MI}}{{MJ}} = 2$  suy ra $M\left( {2;1;9} \right)$

Gọi $\overrightarrow n  = \left( {a;b;c} \right),\,\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} \ne 0} \right)$ suy ra $\left( P \right):\,a\left( {x - 2} \right) + b\left( {y - 1} \right) + c\left( {z - 9} \right) = 0$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}d\left( {I;\left( P \right)} \right) = {R_1} = 4\\d\left( {J;\left( P \right)} \right) = {R_2} = 2\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{\left| c \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 3{c^2} \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{a}{c}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{b}{c}} \right)^2} = 3\left( 1 \right)$

Ta có: $d\left( {O;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2a + b + 9c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \dfrac{{\left| {2a + b + 9c} \right|}}{{2\left| c \right|}} = \dfrac{1}{2}\left| {\dfrac{{2a}}{c} + \dfrac{b}{c} + 9} \right|$

Đặt $t = \dfrac{{2a}}{c} + \dfrac{b}{c} \Leftrightarrow \dfrac{b}{c} = t - \dfrac{{2a}}{c}$ ta được $d\left( {O;\left( P \right)} \right) = \dfrac{1}{2}\left| {t + 9} \right|$

Thay $\dfrac{b}{c} = t - \dfrac{{2a}}{c}$ vào (1) ta thu được ${\left( {\dfrac{a}{c}} \right)^2} + {\left( {t - \dfrac{{2a}}{c}} \right)^2} = 3 \Leftrightarrow 5{\left( {\dfrac{a}{c}} \right)^2} - 4\dfrac{a}{c}t + {t^2} - 3 = 0$

Để phương trình có nghiệm thì $4{t^2} - 5{t^2} + 15 \ge 0 \Leftrightarrow  - \sqrt {15}  \le t \le \sqrt {15}  \Leftrightarrow 0 < 9 - \sqrt {15}  \le t + 9 \le 9 + \sqrt {15}$

Suy ra $\dfrac{{9 - \sqrt {15} }}{2} \le d\left( {O;\left( P \right)} \right) \le \dfrac{{9 + \sqrt {15} }}{2} \Rightarrow M = \dfrac{{9 + \sqrt {15} }}{2};m = \dfrac{{9 - \sqrt {15} }}{2}$

Suy ra $M + m = 9$.

Xét hình lăng trụ tam giác đều có các cạnh đều bằng $2$.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ có gốc tọa độ là trung điểm của $BC.$ 

Ta có các điểm: $O\left( {0;\;0;\;0} \right);\;A \in Ox \Rightarrow A\left( {\sqrt 3 ;\;0;\;0} \right)$

$\begin{array}{l}B;\;C \in Oy \Rightarrow B\left( {0;\; - 1;\;0} \right),\;\;C\left( {0;\;1;\;0} \right).\\A'\left( {\sqrt 3 ;\;0;\;2} \right);\;C'\left( {0;\;1;\;2} \right).\\ \Rightarrow \overrightarrow {A'C}  = \left( { - \sqrt 3 ;\;1;\; - 2} \right);\;\;\overrightarrow {BC}  = \left( {0;\;2;\;2} \right) = \left( {0;\;1;\;1} \right).\end{array}$

Phương trình đường thẳng $A'C$ là: $\left\{ \begin{array}{l}x =  - \sqrt 3 {t_1}\\y = 1 + {t_1}\\z =  - 2{t_1}\end{array} \right..$

Phương trình đường thẳng $BC'$ là: $\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y =  - 1 + {t_2}\\z = {t_2}\end{array} \right..$

Ta có điểm $M \in A'C \Rightarrow M\left( { - \sqrt 3 {t_1};1 + {t_1}; - 2{t_1}} \right);\;N \in BC' \Rightarrow N\left( {0;\; - 1 + {t_2};\;{t_2}} \right).$

$\Rightarrow \overrightarrow {MN} \left( {\sqrt 3 {t_1};\;{t_2} - {t_1} - 2;\;{t_2} + 2{t_1}} \right)$

$MN$ là đoạn vuông góc chung của $A'C$ và $BC' \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}MN \bot A'C\\MN \bot BC'\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {AC'}  = 0\\\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {BC'}  = 0\end{array} \right.$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \sqrt 3 {t_1}.\sqrt 3  + {t_2} - {t_1} - 2 - 2\left( {{t_2} + 2{t_1}} \right) = 0\\{t_2} - {t_1} - 2 + {t_2} + 2{t_1} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 8{t_1} - {t_2} = 2\\{t_1} + 2{t_2} = 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_1} =  - \dfrac{2}{5}\\{t_2} = \dfrac{6}{5}\end{array} \right. \Rightarrow N\left( {0;\;\dfrac{1}{5};\;\dfrac{6}{5}} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {NB}  = \left( {0;\; - \dfrac{6}{5};\; - \dfrac{6}{5}} \right)\\\overrightarrow {NC'}  = \left( {0;\;\dfrac{4}{5};\;\dfrac{4}{5}\;} \right)\end{array} \right..\\ \Rightarrow \dfrac{{NB}}{{NC}} = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {NB} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {NC'} } \right|}} = \dfrac{{\sqrt {\dfrac{{36}}{{25}}.2} }}{{\sqrt {\dfrac{{16}}{{25}}.2} }} = \sqrt {\dfrac{9}{4}}  = \dfrac{3}{2}.\end{array}$

$(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z - 67 = 0$ có tâm $I\left( {1;2;3} \right)$, bán kính $R = 9$.

Gọi $M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên đường thẳng $d$.

+) Tìm tọa độ điểm M:

Mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$qua I vuông góc d có phương trình:

$\begin{array}{l} - 1\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 2} \right) + 4\left( {z - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow  - x + y + 4z - 13 = 0\\M \in d \Rightarrow M\left( {13 - t; - 1 + t;4t} \right)\\M \in \left( \alpha  \right) \Rightarrow  - \left( {13 - t} \right) + \left( { - 1 + t} \right) + 4.4t - 13 = 0 \Leftrightarrow 18t - 27 = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{3}{2}\\ \Rightarrow M\left( {\dfrac{{23}}{2};\dfrac{1}{2};6} \right) \Rightarrow IM = \dfrac{{9\sqrt 6 }}{2}\end{array}$

* Xét mặt phẳng qua I và vuông góc $d$:

H là trung điểm của  ${T_1}{T_2} \Rightarrow$$H = {T_1}{T_2} \cap IM$

Khi đó,  $IH = \dfrac{{{R^2}}}{{IM}} = \dfrac{{81}}{{\dfrac{{9\sqrt 6 }}{2}}} = 3\sqrt 6  \Rightarrow \dfrac{{IH}}{{IM}} = \dfrac{{3\sqrt 6 }}{{\dfrac{{9\sqrt 6 }}{2}}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow \overrightarrow {IH}  = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {IM}$

Ta có: $\overrightarrow {IH}  = \left( {{x_H} - 1;{y_H} - 2;{z_H} - 3} \right);\,\,\,\,\overrightarrow {IM}  = \left( {\dfrac{{21}}{2}; - \dfrac{3}{2};3} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_H} = 8\\{y_H} = 1\\{z_H} = 5\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {8;1;5} \right)$