Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S_1­)$ có tâm $I(2;1;1)$ có bán kính bằng $4$ và mặt cầu $(S_2)$ có tâm $J(2;1;5)$ có bán kính bằng $2$. $(P)$ là mặt phẳng thay đổi tiếp xúc với hai mặt cầu $(S_1­), (S_2­)$. Đặt $M, m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của khoảng cách từ điểm $O$ đến $(P)$. Giá trị $M + m$ bằng?

Giả sử $(P)$ tiếp xúc với $(S_1­), (S_2­)$ lần lượt tại $A,B$.

Gọi $IJ \cap \left( P \right) = M$ ta kiểm tra được $J$ là trung điểm $IM$ do $\dfrac{{IA}}{{JB}} = \dfrac{{MI}}{{MJ}} = 2$  suy ra $M\left( {2;1;9} \right)$

Gọi $\overrightarrow n  = \left( {a;b;c} \right),\,\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} \ne 0} \right)$ suy ra $\left( P \right):\,a\left( {x - 2} \right) + b\left( {y - 1} \right) + c\left( {z - 9} \right) = 0$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}d\left( {I;\left( P \right)} \right) = {R_1} = 4\\d\left( {J;\left( P \right)} \right) = {R_2} = 2\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{\left| c \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 3{c^2} \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{a}{c}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{b}{c}} \right)^2} = 3\left( 1 \right)$

Ta có: $d\left( {O;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2a + b + 9c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \dfrac{{\left| {2a + b + 9c} \right|}}{{2\left| c \right|}} = \dfrac{1}{2}\left| {\dfrac{{2a}}{c} + \dfrac{b}{c} + 9} \right|$

Đặt $t = \dfrac{{2a}}{c} + \dfrac{b}{c} \Leftrightarrow \dfrac{b}{c} = t - \dfrac{{2a}}{c}$ ta được $d\left( {O;\left( P \right)} \right) = \dfrac{1}{2}\left| {t + 9} \right|$

Thay $\dfrac{b}{c} = t - \dfrac{{2a}}{c}$ vào (1) ta thu được ${\left( {\dfrac{a}{c}} \right)^2} + {\left( {t - \dfrac{{2a}}{c}} \right)^2} = 3 \Leftrightarrow 5{\left( {\dfrac{a}{c}} \right)^2} - 4\dfrac{a}{c}t + {t^2} - 3 = 0$

Để phương trình có nghiệm thì $4{t^2} - 5{t^2} + 15 \ge 0 \Leftrightarrow  - \sqrt {15}  \le t \le \sqrt {15}  \Leftrightarrow 0 < 9 - \sqrt {15}  \le t + 9 \le 9 + \sqrt {15}$

Suy ra $\dfrac{{9 - \sqrt {15} }}{2} \le d\left( {O;\left( P \right)} \right) \le \dfrac{{9 + \sqrt {15} }}{2} \Rightarrow M = \dfrac{{9 + \sqrt {15} }}{2};m = \dfrac{{9 - \sqrt {15} }}{2}$

Suy ra $M + m = 9$.