Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \((S_1­)\) có tâm \(I(2;1;1)\) có bán kính bằng \(4\) và mặt cầu \((S_2)\) có tâm \(J(2;1;5)\) có bán kính bằng \(2\). \((P)\) là mặt phẳng thay đổi tiếp xúc với hai mặt cầu \((S_1­), (S_2­)\). Đặt \(M, m\) lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của khoảng cách từ điểm \(O\) đến \((P)\). Giá trị \(M + m\) bằng?

Giả sử \((P)\) tiếp xúc với \((S_1­), (S_2­)\) lần lượt tại \(A,B\).

Gọi $IJ \cap \left( P \right) = M$ ta kiểm tra được \(J\) là trung điểm \(IM \) do \(\dfrac{{IA}}{{JB}} = \dfrac{{MI}}{{MJ}} = 2\)  suy ra \(M\left( {2;1;9} \right)\)

Gọi \(\overrightarrow n  = \left( {a;b;c} \right),\,\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} \ne 0} \right)\) suy ra \(\left( P \right):\,a\left( {x - 2} \right) + b\left( {y - 1} \right) + c\left( {z - 9} \right) = 0\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}d\left( {I;\left( P \right)} \right) = {R_1} = 4\\d\left( {J;\left( P \right)} \right) = {R_2} = 2\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{\left| c \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 3{c^2} \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{a}{c}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{b}{c}} \right)^2} = 3\left( 1 \right)\)

Ta có: \(d\left( {O;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2a + b + 9c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \dfrac{{\left| {2a + b + 9c} \right|}}{{2\left| c \right|}} = \dfrac{1}{2}\left| {\dfrac{{2a}}{c} + \dfrac{b}{c} + 9} \right|\)

Đặt \(t = \dfrac{{2a}}{c} + \dfrac{b}{c} \Leftrightarrow \dfrac{b}{c} = t - \dfrac{{2a}}{c}\) ta được \(d\left( {O;\left( P \right)} \right) = \dfrac{1}{2}\left| {t + 9} \right|\)

Thay \(\dfrac{b}{c} = t - \dfrac{{2a}}{c}\) vào (1) ta thu được \({\left( {\dfrac{a}{c}} \right)^2} + {\left( {t - \dfrac{{2a}}{c}} \right)^2} = 3 \Leftrightarrow 5{\left( {\dfrac{a}{c}} \right)^2} - 4\dfrac{a}{c}t + {t^2} - 3 = 0\)

Để phương trình có nghiệm thì \(4{t^2} - 5{t^2} + 15 \ge 0 \Leftrightarrow  - \sqrt {15}  \le t \le \sqrt {15}  \Leftrightarrow 0 < 9 - \sqrt {15}  \le t + 9 \le 9 + \sqrt {15} \)

Suy ra \(\dfrac{{9 - \sqrt {15} }}{2} \le d\left( {O;\left( P \right)} \right) \le \dfrac{{9 + \sqrt {15} }}{2} \Rightarrow M = \dfrac{{9 + \sqrt {15} }}{2};m = \dfrac{{9 - \sqrt {15} }}{2}\)

Suy ra \(M + m = 9\).